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2018学年高中数学第二章数列2.3等比数列2.3.2等比数列的前n项和第二课时数列求和习题课课件新人教B版必修51_图文

2018学年高中数学第二章数列2.3等比数列2.3.2等比数列的前n项和第二课时数列求和习题课课件新人教B版必修51_图文

第二课时

数列求和(习题课)

分组转化法求和 1 1 1 [典例] 已知数列{cn}:12,24,38,…,试求{cn}的前 n 项和. [解] 令{cn}的前 n 项和为 Sn, ? ?1?n? 1 1 1 则 Sn=12+24+38+…+?n+?2? ? ? ? ? ? ?1 1 1 ?1?n? =(1+2+3+…+n)+?2+4+8+…+?2? ? ? ? ? ? ?1?n? 1? ? ? ? ? ?1?n n?n+1? 2?1-?2? ? n?n+1? = 2 + = 2 +1-?2? . 1 ? ? 1-2 ?1?n n2+n 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn= 2 +1-?2? . ? ?

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而 后相加减.

[活学活用]

1. 数列{(-1)nn}的前 n 项和为 Sn, 则 S2 016 等于 A.1 008 C.2 016
解析:选 A =1 008.

(

)

B.-1 008 D.-2 016
S2 016=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2 015+2 016)

2.已知数列{an}的首项 a1=3,通项 an=2np+nq(n∈N+,p,q 为常数),且 a1,a4,a5 成等差数列. (1)求 p,q 的值; (2)求数列{an}前 n 项和 Sn 的公式.

解:(1)由 a1=3,得 2p+q=3,又因为 a4=24p+4q, a5=25p+5q,且 a1+a5=2a4,得 3+25p+5q=25p+8q,解得 p=1,q=1. (2)由(1),知 an=2n+n,所以 Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+… +n)=2
n+1

n?n+1? -2+ 2 .

裂项相消法求和
[典例] a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=-log
? ? 1 ? ? ? 3an,求数列 b b ?的前 ? ? n n+1? ?

已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,

n 项和 Tn.

[解]

(1)设数列{an}的公比为 q, 由

2 a3 =9a2a6 得

1 2 2 2 a3=9a4, ∴q = . 9

1 由条件可知 q>0,故 q=3. 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,∴a1=3. 1 故数列{an}的通项公式为 an=3n.

1 1 (2)∵an=3n,∴bn=-log 33n=2n, 1 ? 1 1 1? ?1 ∴ = =4?n-n+1? ?, bnbn+1 4n?n+1? ? ?
?1 ? 1 ? 1 ? ?1 1 ? 1? ?? ? ? ∴Tn=4??1-2?+?2-3?+…+?n-n+1?? ? ? ? ? ?? ? ??

1 ? 1? n ? ? 1 - =4? n+1?= . 4 ? n + 1 ? ? ?

(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以 相互抵消,从而求得其和. (2)裂项求和的几种常见类型: 1 ? 1 1? ?1 ① =k?n-n+k? ; ? n?n+k? ? ? 1 1?? ? ?; n + k - n ② =k? ? n+k+ n 1 ? 1 1? ? 1 ③ =2?2n-1-2n+1? ?; ?2n-1??2n+1? ? ? 1 ? 1 1? ?1 ④若{an}是公差为 d 的等差数列,则 =d?a -a ? ?. anan+1 n+1? ? n

[活学活用]
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=15,a5+a9=30. (1)求 an 及 Sn; (2)若数列{bn}满足 bn(Sn-n)=2(n∈N+),数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 求证:Tn<2.
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
? ?a1+a2+a3=15, ? ? ?a5+a9=30 ? ?3a1+3d=15, ?? ? ?2a1+12d=30 ? ?a1=3, ?? ? ?d=2,

则 an=3+2(n-1)=2n+1, 2n?n-1? 2 Sn=3n+ = n +2n. 2

(2)证明:由题意可得
?1 1 ? 2 2 ? bn= = 2 =2?n-n+1? ?, Sn-n n +n ? ?

∴Tn=b1+b2+…+bn
?? ?1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?? ? ? =2? 1-2?+?2-3?+…+?n-n+1?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 1 ? ? =2?1-n+1? ?<2. ? ?

错位相减法求和
[典例] 2 2an 已知数列{an}的首项 a1=3,an+1= ,n=1,2,3,…. an+1

?1 ? (1)证明:数列?a -1?是等比数列; ? n ? ?n? (2)求数列?a ?的前 ? n?

n 项和 Sn.

2an [解] (1)证明:由 an+1= , an+1 an+1 1 1 1 所以 = 2a =2+2×a , an+1 n n 1 1
? 1? 1 所以 -1=2?a -1?, an+1 ? n ?

?1 ? 2 1 1 1 1 ? ? 又 a1=3,所以a -1=2,所以数列 a -1 是以2为首项,2为 ? n ? 1

公比的等比数列. 1 1 1 1 1 1 (2)由(1)得a -1=2× n-1=2n,即a =2n+1, 2 n n n n 所以a =2n+n. n 1 2 3 n 设 Tn=2+22+23+…+2n, n-1 1 1 2 n 则2Tn=22+23+…+ 2n + n+1, 2 1 1 1 1 n 由①-②得2Tn=2+22+…+2n- n+1 2 ① ②

1? 1? ?1- n? 2? 2? n 1 n = 1 -2n+1=1-2n-2n+1, 1- 2 n Tn=2- n-1-2n. 2 n?n+1? 又 1+2+3+…+n= 2 ,
?n? 所以数列?a ?的前 ? n?

1

n 项和

2+n n?n+1? Sn=2- 2n + 2 n2+n+4 n+2 = - 2n . 2

如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an· bn} 的前 n 项和时,可采用错位相减法. 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

[活学活用]

数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N+.
?an? (1)证明:数列? n ?是等差数列; ? ?

(2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
an+1 an an+1 an 解:(1)证明:由已知可得 = n +1,即 - n =1. n+1 n+1
?an? a1 ? ? 所以 n 是以 1 =1 ? ?

为首项,1 为公差的等差数列.

关键在态度

an (2)由(1)得 n =1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2. 从而 bn=n· 3n. Sn=1· 31+2· 32+3· 33+…+n· 3n, 3Sn=1· 32+2· 33+…+(n-1)· 3n+n· 3n+1. ①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n· 3n+1 3· ?1-3n? = -n· 3n+1 1-3 ?1-2n?· 3n+1-3 = . 2 ?2n-1?· 3n+1+3 所以 Sn= . 4 ① ②


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