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1-2-1绝对值三角不等式

1-2-1绝对值三角不等式


第一讲

不等式和绝对值不等式



绝对值不等式

1

绝对值三角不等式

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学 习 目 标 1. 理解绝对值的几何意义. 2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义. 3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用.

课 前 预 习 1.定理 1 如果 a,b 是实数,那么 |a+b|≤|a|+|b|. 当且仅当________时,等号成立. 在上面的不等式中, 用向量 a, b 分别替换实数 a, b, 当 a, b 不共线时,由向量加法的三角形法则知 a+b,a,b 构成三角 形,因此有向量形式的不等式________.

它的几何意义是三角形的________. 由于定理 1 与三角形之间的这种联系,我们称其中的不等 式为________. 2.定理 2 如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤________,当且仅当(a -b)(b-c)≥0 时,等号成立.

答 案

ab≥0

|a+b|<|a|+|b|

两边之和大 |a-

于第三边 b|+|b-c|

绝对值三角不等式

思考探究 1.|a+b|与|a|-|b|,|a -b|与 |a|-|b|及 |a|+|b|分别具有什么 关系? 提示 |a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.

2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的? 提示 的距离. 数轴上任意一点到两点的距离之和,不小于这两点

名 师 点 拨 1.绝对值三角不等式 (1)定理 1 中|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成 立.其等号成立有以下四种情形: ①a=0,b∈R;②b=0,a∈R;③a>0 且 b>0;④a<0 且 b<0. 在|a+b|≤|a|+|b|中,若用-b 代换 b,则有|a-b|≤|a|+|- b|=|a|+|b|.又|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,故|a|-|b|≤|a-b|.

由此可以得到绝对值三角不等式的完整形式. |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|. 也可表示为:
? ? ? ?≤|a± |a|-|b|? b|≤|a|+|b|. ?

应用时应注意左、右两边等号成立的条件.该公式的几何 意义是:三角形任意两边之差小于第三边,任意两边之和大于 第三边.故该公式称为“三角不等式”.

(2)绝对值三角不等式的拓展 绝对值三角不等式推广到 n 个实数的形式如下: |a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|(n∈N+), 当且仅当 a1, a2,?,an 同号或 a1,a2,?,an 为 0 时,等号成立.

2.定理 2 如果 a、b、c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 其实这个不等式仍然是绝对值三角不等式.下面作一种推 广,如果将 a,b,c 换成向量 a,b,c,如下图,可以看出 a- c,a-b,b-c 构成一个三角形.

对于定理 2,同学们不但要记住它的形式,还应注意它的 特点,尤其是它的左边没有字母 b,只有右边才有.还要注意 等号成立的条件(a-b)(b-c)≥0,与以前的不一样.

3.利用绝对值三角不等式证明不等式 绝对值三角不等式结构优美、构思巧妙,通过它的发现、 证明、应用能够培养学生的探索、推理能力. 用三角不等式放缩,主要用在含有绝对值的表达式中.由 于它有|a± b|,|a|+|b|,± (|a|-|b|),||a|-|b||多种结构形式,因此, 应在熟练的基础上,灵活应用.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析

【例 1】

ε ε “|x-A|< ,|y-A|< ”是|x-y|<ε 的( 2 2 B.必要而非充分条件

)

A.充分而非必要条件 C.充分且必要条件

D.既非充分也非必要条件

ε ε 【解析】 若|x-A|<2, |y-A|<2, 则|x-y|=|x-A+A-y|≤|x ε ε -A|+|y-A|<2+2=ε. ε ε 故|x-A|<2,|y-A|<2是|x-y|<ε 的充分条件. 3ε ε 反之,若|x-y|<ε,则可取|x-A|< 4 , |y-A|=4,显然|x- ε ε A|< ,|y-A|< 不成立. 2 2 ε ε 故|x-A|<2,|y-A|<2不是|x-y|<ε 成立的必要条件. 【答案】 A

规律技巧

在证充分性时,|x-y|变形为|x-A+A-y|是关

键,它将条件与结论联系起来.

【变式训练 1】 若|x-a|<m,|y-a|<n, 则下列不等式一定 成立的是( ) B.|x-y|<2n D.|x-y|<m+n

A.|x-y|<2m C.|x-y|<n-m

解析

|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|<m+n.

答案 D

【例 2】 若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是________.
【解析】 因为|x-a|+|x-1|≥|a-1|,

则只需要|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.

【答案】 -2≤a≤4

规律技巧

利用绝对值三角不等式求最值的技巧

绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系,有些对于 y =|x-a|+|x-b|或 y=|x+a|-|x-b|型的函数最值求法,利用该 不等式或其几何意义更简捷、方便.

【变式训练 2】 求函数 f(x)=|x-3|+|x-1|的最小值,并 求出取最小值时 x 的范围.



根据定理 2, f(x)=|x-3|+|x-1|≥|(x-3)-(x-1)|=2,

当且仅当(x-3)(x-1)≥0,即 x≥3 或 x≤1 时,f(x)取得最小值 2.

【例 3】 设 x,y∈R,求证: x+y |2 -x|+|2 -y|+|x+y|≥2 +1. 2
x y

【证明】

由绝对值三角不等式得:

|2x-x|+|2y-y|≥|2x+2y-(x+y)|≥|2x+2y|-|x+y|. ∴|2x-x|+|2y-y|+|x+y|≥|2x+2y|. 而|2x+2y|=2x+2y≥2 2x· 2y =2 2
x x +y

x+y x+y =2· 2 2 ≥2 2 +1,
y

x+y ∴|2 -x|+|2 -y|+|x+y|≥2 +1. 2

规律技巧 题顺利得解.

把绝对值不等式和均值不等式结合起来,使问

【变式训练 3】 M),求证:|xy-ab|<ε.

ε ε 已知|x-a|<2M,0<|y-b|<2|a|,y∈(0,

证明 ∵|xy-ab| =|xy-ya+ya-ab| =|y(x-a)+a(y-b)| ε ε ≤|y||x-a|+|a||y-b|<M· 2M+|a|· 2|a|=ε, ∴|xy-ab|<ε.

【例 4】 已知 a,b,c 为实数,函数 f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b,当-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,试证明:当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤2. 【分析】 本题是通过二次函数与一次函数的知识结合考

查不等式的变换能力的问题.在证明中要注意合理应用绝对值 不等式的性质定理. 由于 g(x)是一次函数, 可将|g(x)|≤2 转化为 g(-1)与 g(1)与 2 的关系加以证明.也可以挖掘 g(x)与 f(x)的隐 含关系,构造函数模型,寻求整体突破.

【证明】 是增函数,

(方法一):当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上

∴g(-1)≤g(x)≤g(1). ∵-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1, ∴|c|=|f(0)|≤1. ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2. ∴|g(x)|≤2.

当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数, ∴g(1)≤g(x)≤g(-1). ∵-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,∴|c|=|f(0)|≤1. ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2, g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2. ∴|g(x)|≤2. 当 a=0 时,g(x)=b,f(x)=bx+c. ∵-1≤x≤1,

∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2. 综上所述,当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤2. ?x+1?2-?x-1?2 (方法二):∵x= , 4 ∴g(x)=ax+b
??x+1? ? ? ? ?x+1 x-1? ?? ?2 ?x-1?2? ? ? =a?? - + b - ? ? 2 ? ? ? 2 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?x+1? ?x+1? ? ? ? ?2 ? ? ? =?a? + b + c ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?x-1? ?x-1? ? ? ? ?2 ? ? ? -?a? + b + c ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ?

?x+1? ?x-1? ? ? ? ? =f? - f ? ? 2 ?. 2 ? ? ? ?

x+1 x-1 当-1≤x≤1 时,有 0≤ 2 ≤1,-1≤ 2 ≤0. ∴ |g(x)| = |g(x)|≤2.
? ?x+1? ?x-1?? ?? ? ? ?? f - f ?? 2 ? ? 2 ?? ?? ? ? ?? ? ?x+1?? ? ?? ≤? f ? ? 2 ?? ?? ?? ? ?x-1?? ? ?? +? f ? ? 2 ?? ≤2. ∴ ?? ??

规律技巧

当函数 f(x)中 x 的最高次项含有字母时, 要对字

母进行分类讨论,如方法一,方法二思维巧妙,构造函数,不 需讨论,方法简捷.

【变式训练 4】 设 f(x)=x2-x+13,实数 a 满足|x-1|<1, 求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

证明 ∵f(x)=x2-x+13. ∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a| =|x-a|· |x+a-1|<|x+a-1|, 又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1| ≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1 =2(|a|+1), ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).


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