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安徽省皖南八校2019届高三第二次(12月)联考数学(文科)试题(含答案解析)(精编)

安徽省皖南八校2019届高三第二次(12月)联考数学(文科)试题(含答案解析)(精编)

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安徽省皖南八校 2019 届高三第二次(12 月)联考数学文试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A = {x ? Z | 4 < x < 4} , B = {- 5, - 2,0,1,4,6} ,则 A ? B A.

{- 2,0,1, 4}

B.

{- 2,0,1}

C.

{0,1, 4}

D.

{- 5, - 2,0,1}

【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 A,根据交集求解. 【详解】因为 A = {- 3, - 2, - 1,0,1,2,3} , 所以 A ? B 故选 B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集,属于中档题. 2. i 为虚数单位,若 z = A. 第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】 计算 z ,根据实部,虚部确定复数 z 对应的点所在的象限. 【详解】因为 z =

{- 2,0,1} .

1 + 2i 3 ,则在复平面中,复数 z 对应的点在 1 +i
C. 第三象限 D. 第四象限

B. 第二象限

1 + 2i 3 1 - 2i (1 - 2i)(1 - i) - 1 - 3i 3 1 = = = =- - i, 1 +i 2 2 2 2 1 +i

所以复数 z 对应的点在第三象限. 故选 C. 【点睛】本题主要考查了复数的运算,复数的几何意义,属于中档题. 3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(图 1) ,图 2 是由 弦图变化得到,它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图 2 中大正方形的 内部去投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为 5 和 12,则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率 为

.

A.

49 169

B.

30 169

C.

49 289

D.

60 289

【答案】C 【解析】 【分析】 首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例,根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形(阴影)区域 的概率. 【详解】直角三角形的直角边长分别为 5 和 12,则小正方形的边长为 5+12 - (5 + 5) = 7 ,最大正方形的边 长为 5+12=17 ,小正方形面积 49,大正方形面积 289,由几何概型公式得: P = 【点睛】本题主要考查了几何概型,属于中档题. 4.已知 a = 30.4 , b = 0.43 , c = log3 0.4 ,则 A. a > b > c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数的性质,估算三个数的大致范围,即可比较大小. 【详解】因为 a = 30.4 > 30 = 1 , 0 < b = 0.43 < 0.40 = 1 , c = log3 0.4 < log3 1 = 0 , 所以 a > b > c . 故选 A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的增减性,属于中档题. 5.已知 D ABC 中,角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,且 a = 5 , cos C = A. B. a > c > b C. c > b > a D. c > a > b

49 ,故选 C. 289

4 ,D ABC 的面积为 3,则 c = 5

11

B. 2 3

C.

13

D.

14

【答案】C 【解析】 【分析】 由三角形面积公式可求 b,再根据余弦定理可求 c. 【详解】因为 cosC =

4 3 ,所以 sin C = , 5 5

.

由S =

1 ab sin C ,可得 b = 2 , 2

根据余弦定理,

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C = 29 - 20?
所以 c = 13 ,故选 C.

4 13 , 5

【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,属于中档题. 6.如图,在 D ABC 中, AD ^ AB , DC = 2BD , AB = 2 ,则 AC ×AB 的值为

A. -4

B. -3

C. -2

D. -8

【答案】D 【解析】 【分析】 由题意把 AC 转化为 AB 、 BD 求解即可. 【详解】因为 AD ^ AB , DC = 2BD , AB = 2 , 所以 AC ×AB = ( AB + BC)? AB
2

( AB +3BD)? AB

= AB + 3BD ? AB 4 - 3 AB | BD cos ? ABD 4 - 3 AB |2 = - 8 ,
故选 D. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算,向量在向量方向上的投影,属于中档题. 7.直线 y = kx + 3 与圆 C : ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4 相交于 AB 两点,若 AB ? 2 ,则 k 的取值范围是 A. [-

2 2 , ] 2 2

B. [-

3 3 , ] 3 3

C. [- 1,1]

D. [-

1 1 , ] 2 2

【答案】A 【解析】 【分析】 直线与圆相交,则圆心距,半弦长,半径构成一直角三角形,利用该三角形即可表示出弦长,从而求解. 【详解】由圆 C : x - 3

(

) +( y - 3)

2

2

= 4 可知,圆心为 (3,3) ,半径 R = 2 ,

.

圆心到直线 y = kx + 3 的距离 d =

3k 1+k
2



因为圆心距,半弦长,半径构成直角三角形,

骣 1 所以 琪 琪 AB 2 桫
故选 A.

2

= R2 - d 2 = 4 -

2 9k 2 # k ? 1 , 解得 2 2 1+k

2 . 2

【点睛】本题主要考查了直线与圆的相交,圆的平面几何性质,属于中档题. 8.某几何体的三视图如图所示,该几何体表面上的点 P 与点 Q 在三视图上的对应点分别为 A , B ,则在该 几何体表面上,从点 P 到点 Q 的路径中,最短路径的长度为

A.

14

B. 2 3

C.

10

D. 2 2

【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图可判断出 P,Q 点的位置,然后利用侧面展开图求 PQ 间距离,比较不同展开图得到的距离即可求 解. 【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱,底面边长为 1,高为 2,P,Q 位置如图:

沿 EF 展开,计算 PQ = 12 + (2 +1) 2 = 10 ,沿 FM 展开,计算 PQ = 22 + (1 +1) 2 = 2 2 , 因此点 P 到点 Q 的路径中,最短路径的长度为 2 2 . 故选 D. 【点睛】本题主要考查了三视图,棱柱的侧面展开图,属于中档题.

.

9.已知曲线 f ( x) =

1 ,则过点 (- 1,3) ,且与曲线 y = f ( x) 相切的直线方程为 x
B. y = - x + 2 或 y = - 9 x - 6 D. y = 2 x + 5 或 y = - 7 x - 4

A. y = 2 x + 5 或 y = - 9 x - 6 C. y = - x + 2 或 y = - 8x - 5 【答案】B 【解析】 【分析】

设切点为 ( x0 , y0 ) ,根据导数的几何意义求出曲线在点 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率,写出切线方程,把点 - 1,3 代入,列方程求出 x0 , y0 ,代入切线方程化简即可.

(

)

1 【详解】设切点为 ( x0 , y0 ) ,切线斜率 k = f ? ( x0 ) = - 2 , x0
则切线方程是 y - y0 = 所以 3 - y0 = 又 y0 =

1 ( x - x0 ) ,又过点 ( - 1,3) , x0 2

1 (- 1 - x0 ) , ① x0 2

1 ,② x0

ì 1 ì ? x =? x0 = 1 由①②解得, í 或í 0 3 ,代入切线方程化简可得: ? ? y0 = 1 ? y = - 3 ? 0
切线方程为 x + y - 2 = 0 或 9 x + y + 6 = 0 . 故选 B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于中档题. 10.已知函数 f ( x ) 的图像与函数 y = cos(2 x -

p p ) 的图像关于 y 轴对称,将函数 f ( x) 的图像向左平移 个 3 6

单位长度后,得到函数 g ( x) 的图像,则 g ( x) = A. sin(2 x 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数 f x 的图像与函数 y = cos 琪 2x 琪

p ) 6

B. - sin(2 x -

p ) 6

C. sin(2 x + )

p 6

D. - sin(2 x + )

p 6

()

骣 桫

p 的图像关于 y 轴对称, 3

.

可得 f ( x) = cos(- 2 x -

p p p ) = cos(2 x + ) ,向左平移 个单位长度可得 3 3 6

p p 2p ,再由诱导公式即可求解. g ( x) = cos[2( x + ) + ] = cos (2 x + ) 6 3 3
【详解】因为 f x 的图像与函数 y = cos 琪 2x 琪

()

骣 桫

p 的图像关于 y 轴对称 3

所以 f ( x) = cos(- 2 x 向左平移

p p ) = cos(2 x + ) , 3 3

p p p 2p 个单位长度可得 g ( x) = cos[2( x + ) + ] = cos , (2 x + ) 6 6 3 3
2p p p p ) = cos(2 x + + ) = - sin(2 x + ) 3 6 2 6

因为 g ( x) = cos (2 x + 故选 D.

【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性,三角函数图象的平移变换,诱导公式,属于中档题. 11.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2, a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱所在直线是异面直线, 则三棱锥的体积的最大值为( A. ) D.

2 12

B.

3 12

C.

2 6

3 6

【答案】A 【解析】 如图所示,三棱锥 A - BCD 中, AD = a, BC = 2, AB = AC = BD = CD = 1, 则该三棱锥为满足题意的三棱锥,将△BCD 看作底面,则当平面 ABC ^ 平面 BCD 时,该三棱锥的体积有 最大值,此时三棱锥的高 h =

2 , 2
BCD

△BCD 是等腰直角三角形,则 S

=

1 , 2

综上可得,三棱锥的体积的最大值为 创 本题选择 A 选项.

1 1 3 2

2 2 . = 2 12

.

点睛:求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面,选择合适的底面是处理三棱锥体积问题 的关键所在. 12.已知函数 f x = ln 琪 琪

( )

骣 2+x , g ( x) = m x 2- x 桫

(

4 - x + 2 ,对于 " x1 ? ( 0, 4) , $ x2 ? [ 0,1] ,使得

)

f ( x2 ) < g ( x1) ,则实数 m 的取值范围是
A. 犏 ln3 -

轾 1 犏 4 臌

1 1 ,1 - ln3 2 2
D. 犏 - ,1

B. 琪 琪 ln3 -

骣 1 4 桫

1 1 ,1 - ln3 2 2

C. 琪 琪

骣1 桫2

,1

轾1 犏 臌2

【答案】D 【解析】 【分析】

" x1 ? ( 0, 4) ,$ x2 ? [ 0,1] ,使得 f ( x2 ) < g ( x1) ,可得 f ( x2 )min < g ( x1 )min ,利用 f ( x) , g ( x) 的单调
性、最值即可求得. 【详解】对于 " x1 ? 0,4 , $ x2 ? 0,1 ,使得 f x2 < g x1 , 等价于 f ( x2 )min < g ( x1 )min

( )

[ ]

( )

( )

骣 4 2+x = ln(- 1 ), 琪 f ( x) = ln 琪 x- 2 2- x 桫
因为 u = - 1 -

4 , y = ln u 是增函数,由复合函数增减性可知 x- 2

骣 4 2+x = ln(- 1 ) 在 [ 0,1] 上是增函数, f ( x) = ln 琪 琪 x- 2 2- x 桫
所以当 x = 0 时, f ( x2 )min = 0 , 令 t = 4 - x ? (0, 2) ,则 y = m(- t 2 - t + 4) + 2 ,

.

若 m > 0 时, - 2m + 2 < y < 4m + 2 , g ( x)min > - 2m + 2 , 所以只需 - 2m + 2 ? 0 ,解得 0 < m ? 1 . 若 m < 0 时, 4m + 2 < y < - 2m + 2 , g ( x)min > 4m + 2 , 所以只需 4m + 2 ? 0 ,解得 -

1 ? m 0. 2

当 m = 0 时, g ( x) = 2 > 0=f ( x)min 成立. 综上 -

1 #m 1 ,故选 D. 2

【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性,换元法求值域,转化思想,属于难题.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
ì y ? 2 x, ? ? 13.已知实数 x , y 满足条件 í 2 x + y ? 2, 则 z = x - y 的最大值为__________. ? ? ? x ? 1,
【答案】1 【解析】 【分析】 作出可行域,根据线性规划知识求最优解即可. 【详解】作出可行域如图:

作出直线 l0 : y = x ,平移直线 l0 ,当直线在 y 轴上的截距最小时, Z 有最大值, 如图平移 l0 过点 (1, 0) 时, Zmax = 1 - 0 = 1 . 故填 1. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,直线的截距,属于中档题. 14.若 sin a =

3 p , a 是第二象限角,则 sin(2a + ) = __________. 5 4

.

【答案】 【解析】 【分析】

17 2 50

根 据 sina =

3 4 24 , a 是 第 二 象 限 角 , 可 得 cos a = , 由 二 倍 角 公 式 可 得 sin 2a = , 5 5 25 7 ,再由两角和的正弦公式即可求解. 25

cos 2a = 2 cos 2 a - 1 =
【详解】因为 sina = 所以 cos a = -

3 , a 是第二象限角, 5

4 , 5 24 7 , cos 2a = 2 cos 2 a - 1 = , 25 25

由二倍角公式可得 sin 2a = -

所以 sin(2a + ) = sin 2a cos

p 4

p p 2 24 7 17 2 . + cos 2a sin = ?( + ) =4 4 2 25 25 50

故填 -

17 2 . 50

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系,正余弦的二倍角公式,两角和的正弦公式,属于中档题. 15.已知过 P(1,1) 的直线 l 与双曲线 C : x 2 - y 2 = 1 只有一个公共点,则直线 l 的条数为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】 求出双曲线 C : x 2 - y 2 = 1 的渐近线方程 y = ? x ,结合双曲线的性质讨论,直线 l 斜率不存在时和双曲线 右支相切,有一个公共点,直线过点 P 1,1 ,可作与 y = - x 平行的直线,此时与双曲线有一个公共点. 【详解】双曲线 C : x 2 - y 2 = 1 的渐近线方程 y = ? x , 其中一条渐近线 y = x 过点 P 1,1 , 所以过点 P 1,1 的直线 x = 1 与双曲线右支相切,只有一个公共点, 过 P 1,1 与 y = - x 平行的直线 y = - x + 2 和双曲线右支相交,只有一个公共点, 综上共有 2 条直线符合要求. 故填 2. 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质,直线与双曲线的位置关系,属于中档题.

( )

( )

( )

( )

.

16.若函数 f ( x) = 2x - a ?2- x 为奇函数,则不等式 8 f ( ) - 63a < 0 的解集为__________. 【答案】 (- ト, 0) ( , +? ) 【解析】 【分析】 根据函数为奇函数知 f (0) = 0 求出 a = 1 ,原不等式转化为 f ( ) < 数,即可求解. 【详解】因为 f ( x ) 为奇函数, 所以有 f (0) = 1 - a = 0 ,得 a = 1 , 故 f ( x) = 2x - 2- x , 所以 f (3) =

1 x

1 3

1 x

63 =f (3) ,又函数 f ( x) 在 R 上为增函 8

63 . 8 1 x 63 , 8

不等式 8 f ( ) - 63a < 0 可化为 f ( ) < 由函数 f ( x ) 在 R 上为增函数,可得 解得: x >

1 x

1 < 3, x

1 或x <0. 3

所以不等式的解集为 - ト, 0

(

)

骣 1 琪 琪 , +? 3 桫

,故填 - ト,0

(

)

骣 1 琪 琪 , +? 3 桫

.

【点睛】本题主要考查了奇函数的性质,不等式的解法,转化思想,属于中档题.

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分
17.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = n 2 + (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若

a1n . 2

1 1 1 a1 , k - a3 , S 3 - 5k 成等比数列,求实数 k 的值. 2 3 2

【答案】 (1) an = 2n ; (2) k = 1 或 - 2 . 【解析】 【分析】

.

(1)当 n = 1 时,可得 a1 = 2 , Sn = n2 + n ,转化为由 Sn 求 an (2)根据等比中项列方程即可求解. 【详解】 (1)当 n = 1 时, S1 = 1 +

a1 ,解得: a1 = 2 ,可得 Sn = n2 + n , 2

当 n ? 2 时, an = Sn - Sn- 1 = n2 + n - 轾 n- 1 犏 臌

(

) ( ) +( n - 1)
2

= 2n ,

由 a1 符合 a = 2n ( n ? 2 且 n ? N * ) , 故数列 {an } 的通项公式为 an = 2n , (2)由

1 1 1 a1 = 1 , k - a3 = k - 2 , S3 - 5k = 6 - 5k , 2 3 2

有í

k ì ? ( = 6 - 5k , 解得 k = 1 或-2. k 2 ? 0, ? ?

【点睛】本题主要考查了 Sn 与 an 的关系,等比中项,属于中档题. 18.如图是 2011 年至 2018 年天猫双十一当天销售额 y (单位:百亿元)的折线图,为了预测 2019 年双十一 当天销售额,建立了 y 与时间变量 t 的线性回归模型.

(Ⅰ)根据 2011 年至 2018 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,3,4,5,6,7,8) ,用最小二乘法, 得到了 y 关于 t 的线性回归方程 y ? = 2.97t + a ,求 a 的值,并预测 2019 年(此时 t = 9 )双十一当天销售额; (Ⅱ)假设你作为天猫商城董事会成员,针对双十一当天销售额增长情况,给天猫商城管理层制定一个股 权奖励方案.从 2012 年开始到 2017 年,如果该年度双十一当天销售对比上一年增长超过五成,则对天猫商 城管理层进行股权奖励.从 2012 年到 2017 年中,求天猫商城管理层连续两年都能获得股权奖励的概率. 附: a = y ? - bt , (0.52 +1.91 + 3.5 + 5.71 + 9.12 +12.07 +16.82 + 21.35) = 8.875 【答案】 (1)预测 2019 年双十一当天销售额大约为 22.24 百亿元; (2) 0.6 . 【解析】 【分析】 (1)根据直线回归方程过样本中心点 ( x , y ) 即可求出 a = - 4.49 ,直线回归方程代入 t = 9 ,即可(2)根

1 8

.

据图象计算可知从 2012 年到 2017 年管理层只有 2012 年、2013 年、2014 年、2015 年能获得股票奖励,连 续两年作为基本事件,基本事件总数 5,连续两年能得到股票奖励的基本事件共有 3 个,由古典概型计算其 概率即可. 【详解】 (1)由 t =

1 (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 )= 4.5 , y = 8.875 ,代入线性回归方程 y = 2.97t + a ,有 8

8.875 =2.97 ? 4.5

a ,得 a = - 4.49 ,可得 y 关于 t 的线性回归方程为 y = 2.97t - 4.49 ,

当 t = 9 时, y = 2.97? 9 4.49 = 22.24 ,可预测 2019 年双十一当天销售额大约为 22.24 百亿元. (2)由

1.91 3.5 3 5.71 5.5 11 4 9.12 9 > 1.5 , > = 1.5 , > = = 1 + > 1.5 , > = 1.5 , 0.52 1.91 2 3.5 3.5 7 7 5.17 6

12.07 12.07 16.82 17.07 5 < = 1.207 < 1.5 , < =1+ < 1.5 , 9.12 10 12.07 12.07 12.07
故从 2012 年到 2017 年管理层只有 2012 年、2013 年、2014 年、2015 年能获得股票奖励.从 2012 年到 2017

) ( ) ( ) ( ) 共 5 个基本事件;连续两年能得到股票奖励的基本事件为 ( 2012,2013) 、 ( 2013,2014) 、 ( 2014,2015) , (
共 3 个基本事件.从 2012 年到 2017 年中, 天猫商城管理层连续两年都能获得股权奖励的概率为 P = 【点睛】本题主要考查了线性回归方程,古典概型,属于中档题. 19.如图,四棱锥 V - ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ? BAD

年中连续两年, 基本事件为 2012,2013 、 2013,2014 、 2014,2015 、 2015,2016 、 2016,2017 ,

) (

3 = 0.6 . 5

60 , E 为 AB 的中点.

(Ⅰ)在侧棱 VC 上找一点 F ,使 BF

平面 VDE ,并证明你的结论;

(Ⅱ)若 VA = VC = 5 , VD = 3 ,求四棱锥 V - ABCD 的体积. 【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】 【分析】 (1)F 为 VC 的中点.取 VD 的中点为 H , 连 EH 、HF , 可证四边形 EBFH 为平行四边形, 可得 HE

2 6 . 3

BF

即可证明(2)连接 AC , BD 交于点 O ,连接 VO ,根据 VO ^ AC , VO ^ OD 可证 VO ^ 平面 ABCD ,

.

根据棱锥体积公式计算即可. 【详解】 (1) F 为 VC 的中点.取 VD 的中点为 H ,连 EH 、 HF .

∵ ABCD 为菱形, E 为 AB 的中点,∴ BE

=

1 CD , 2 1 CD ,∴ HF BE , = 2 =
平面 VDE .

∵ H 为 VD 的中点, F 为 VC 的中点,∴ HF ∴四边形 EBFH 为平行四边形,∴ HE

BF ,

∵ EH ? 平面 VDE , BF ? 平面 VDE ,∴ BF (2)连接 AC , BD 交于点 O ,连接 VO ,

∵ ABCD 是边长为 2 的菱形, ? BAD

60 ,

∴ AC ^ BD , OB = OD = 1 , OA = OC = 3 , ∵ VA = VC = 5 ,∴ VO ^ AC , VO = VA2 - OA2 = 2 . 又 VD = 3 ,∴ VD 2 = VO 2 + OD 2 ,∴ VO ^ OD . ∵ AC ? OD

O , AC , OD ? 平面 ABCD ,∴ VO ^ 平面 ABCD .

∵易求得菱形 ABCD 的面积为 2 3 , ∴四棱锥 V - ABCD 的体积为 创 2 3

1 3

2=

2 6 . 3

【点睛】本题主要考查了线线平行,线面平行,线面垂直,棱锥体积公式,属于中档题. 20.如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F ,点 (- 1, ) 在椭圆 C 上,过原点 O 的直线与 2 a b 2

.

椭圆 C 相交于 M 、 N 两点,且 MF + NF = 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 设 P0 1 ,) ( 【答案】 (1) 【解析】 【分析】

, 过点 Q 且斜率不为零的直线与椭圆 C 相交于 A 、 证明: B 两点, Q(4, 0) , ? APO

? BPQ .

x2 (2)见解析. + y 2 = 1; 4

(Ⅰ) 取椭圆 C 的左焦点 F ' , 连 MF ' 、 由椭圆的几何性质知 NF = MF ' , 则M NF ' , F '+ M F 设椭圆方程代入点 琪 - 1, 方程为:y = k x - 4

= a2 =4 ,

骣 琪 桫

3 即可求解(Ⅱ)设点 A 的坐标为 ( x1 , y1) ,点 B 的坐标为 ( x2 , y2 ) ,直线 AB 的 2
2

(

)( k ? 0) ,联立方程组,消元得 ( 4k

写出 AP 的斜率, +1 x 2 - 32k 2 x + 64k 2 - 4 = 0 ,

)

同理得直线 BP 的斜率,利用根与系数的关系化简即可得出结论. 【详解】 (Ⅰ)如图,取椭圆 C 的左焦点 F ' ,连 MF ' 、 NF ' ,由椭圆的几何性质知 NF = MF ' ,则

MF ' + MF = 2 a = 4 ,得 a = 2 ,
将点 琪 - 1,

骣 琪 桫

1 3 3 代入椭圆 C 的方程得: 2 + 2 = 1,解得: b = 1 a 4b 2

故椭圆 C 的方程为:

x2 + y 2 = 1. 4

(Ⅱ)设点 A 的坐标为 x1 , y1 ,点 B 的坐标为 x2 , y2

(

)

(

)
( )( k ? 0)

由图可知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为: y = k x - 4

.

ì x2 ? + y2 =1 ? 联立方程 í 4 ,消去 y 得: 4k 2 +1 x 2 - 32k 2 x + 64k 2 - 4 = 0 , ? ? ? y = k ( x - 4)

(

)

D= 32k 2

(

)

2

- 4 4k 2 +1 64k 2 - 4 > 0 , k 2 <

(

)(

)

1 . 12

ì 32k 2 ? x1 + x2 = 2 ? 4k +1 有í ? 64k 2 - 4 ? x1 x2 = 4k 2 +1 ?
直线 AP 的斜率为:

k x -4 y1 = ( 1 ). x1 - 1 x1 - 1 k ( x2 - 4) x2 - 1
=
.

同理直线 BP 的斜率为:



k ( x1 - 4) x1 - 1

+

k ( x2 - 4) x2 - 1

k ( x1 - 4) ( x2 - 1) + k ( x2 - 4) ( x1 - 1)

( x - 1) ( x - 1)
1 2

k轾 2 x1 x2 - 5 ( x1 + x2 ) + 8 = 臌 = x1 x2 - ( x1 + x2 ) +1

骣 128k 2 - 8 160k 2 k琪 琪 4k 2 +1 - 4k 2 +1 + 8 桫 64k 2 - 4 32k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1

=

k 128k 2 - 8 - 160k 2 + 32k 2 +8 64k - 4 - 32k + 4k +1
2 2 2

(

)

=

k 160k 2 - 8 - 160k 2 +8 36k - 3
2

(

) =0.

由上得直线 AP 与 BP 的斜率互为相反数,可得 ? APO

? BPQ .

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,直线的斜率,属于难题. 21.已知函数 f ( x) = ln x - ax + a(a ? R) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a = 1 时,对任意的 0 < m < n ,求证: f (n) - f (m) <

n- m . m(1 + m)
1 a

【答案】 (1) f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ,单调递减区间为 ( , +? ) ; (2)见解析. 【解析】 【分析】

1 a

1 1 - ax (Ⅰ) 写出导函数 f ? x = - a = ( x > 0) ,根据 a 分类讨论 f ? ( x) 的正负,即可求出单调区间(Ⅱ)

( )

x

x

a =1 时 , f ( x ) = l n x- x+1, 根 据 ( Ⅰ ) 知 f ( x) = l n x- x+1 ? (f )1

,原不等式转化为 0

ln

n n- m n- m n- m n n ,再转化为 ln < - 1 ,根据 lnx ? x 1 可证. - ( n - m) < = m m m m (1 + m) m 1+m

.

1 1 - ax 【详解】 (Ⅰ) f ? x = - a = ( x > 0) .

( )

x

x

当 a ? 0 时, f ? x > 0 恒成立.

()

∴此时 f x 的单调递增区间为 0, +?

()

(

) ,无单调递减区间.
a

1 1 当 a > 0 时,由 f ? x > 0 得: 0 < x < ,由 f ? x < 0 ,得 x > .

()

()

a

∴此时 f x 的单调递增区间为 琪 0, 琪

()

骣 1 骣 1 ,单调递减区间为 琪 琪 , +? a 桫 a 桫

.

(Ⅱ) a = 1 时, f x = lnx - x +1,由(1)知 f x 在 0,1 上为增函数,在 1, +? ∴ f x = lnx - x +1 ? f 1

()

() ( ]

[

) 上为减函数,

()

()

0,

∴ lnx ? x 1 ,当且仅当 x = 1 时取“ = ”.

f ( n) - f ( m) = ( lnn - n +1) - ( lnm - m +1) = ln

n - ( n - m) . m

n- m n- m n- m . = m (1 + m) m 1+m
∵ 0 < m < n ,∴ 1 + m > 1 , n - m > 0 , ∴- n- m <∴只要证明: ln 又

n > 1, m

(

)

n- m . 1+n
n n < - 1. m m

n > 1 ,∴上式成立. m

∴f n - f m <

( )

( )

n- m . m (1 + m)

【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性,利用导数证明不等式,分类讨论思想,转化思想,属于 难题.

(二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分.
22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 í

ì ? x = 2cosq ( 为参数) ,直线 l 的参数方程为 q ? ? y = 2sin q

ì ? x = 1 + (a - 1)t ( 为参数) t í ? ? y = 1 + at

.

(Ⅰ)若 a =

3 ,求曲线 C 与直线 l 的交点坐标; 2

(Ⅱ)求直线 l 所过定点 P 的坐标,并求曲线 C 上任一点 Q 到点 P 的距离的最大值和最小值. 【答案】 (1) (0, - 2) 与 ( , ) ; (2) dmax = 2 + 2 , dmin = 2 【解析】 【分析】 (Ⅰ)求出曲线 C 和直线 l 的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标(Ⅱ)直线 l 所过定点 P 的坐标为

6 8 5 5

2.

(1,1) ,曲线 C 上任一点 Q 到 P 的距离利用两点间距离公式写出,利用三角函数值域的有界性求距离的最值
即可. 【详解】 (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 x 2 + y 2 = 4 ,当 a =

3 时,直线 l 的普通方程为: y = 3x - 2 2

ì 6 ?x= 2 2 ì ì 骣 6 8 ? x + y = 4 ,解得: ? x = 0 或 ? 5 ,曲线 C 与 l 的交点为 联立 í 0, - 2) 与 琪 , . í í ( 琪 5 5 ? ? 桫 ? y =-2 ? y = 8 ? y = 3x - 2 ? 5 ?
(Ⅱ)当 t = 0 时, x = 1 , y = 1 ,则直线 l 过定点 P 的坐标为 1,1 , 故曲线 C 上任一点 Q 到点 P 的距离为: d =

( )

( 2cosq - 1) +( 2sinq - 1)

2

2

= 6 - 4 ( sinq + cosq )

骣 p = 6 - 4 2sin 琪 q+ 琪 桫 4
由 - 1 ? sin 琪 q 琪

骣 p ? 1 ,故 d max = 6 + 4 2 = 2 + 2 , d min = 6 - 4 2 = 2 桫 4

2

【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程,直线系的定点,两点间的距离,属于中档题. 23.已知函数 f ( x) = x - 2 + 2 x + 4 . (Ⅰ)解不等式: f ( x) ? 3x + 4 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的最小值为 a ,且 m + n = a(m > 0, n > 0) ,求 【答案】 (1) {x | x ? 【解析】 【分析】 (Ⅰ)去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可(Ⅱ)求出分段函数的最小值 f - 2 = 4 ,则 m + n = 4 ,

1 1 + 的最小值. m n

1 (2)1. }; 2

( )

.

m > 0 , n > 0 ,根据

骣 1 1 1 1 1 + = ( m + n) 琪 琪 + ,利用均值不等式求最值即可. m n 4 m n 桫

ì - 3 x - 2, x < - 2 ? ? 【详解】 (Ⅰ) f ( x) = x - 2 + 2 x + 4 = í x + 6, - 2 #x 2 ? ? ? 3 x + 2, x > 2
可得当 x < - 2 时, - 3x - 2 ? 3x + 4 ,即 - 2 ? 4 ,所以无解; 当 - 2 #x

2 时, x + 6 ? 3 x + 4 ,得 x ?

1 1 ,可得 - #x 2 2

2;

当 x > 2 时, 3 x + 2 ? 3 x + 4 ,得 x ? ∴不等式的解集为 {x | x ?

1 ,可得 x > 2 . 3

1 }. 2

ì - 3 x - 2, x < - 2 ? ? (Ⅱ)根据函数 f ( x) = í x + 6, - 2 #x 2 ? ? ? 3 x + 2, x > 2
可知当 x = - 2 时,函数取得最小值 f - 2 = 4 ,可知 a = 4 , ∵ m +n = 4, m > 0, n > 0 , ∴

( )

骣 1 1 1 1 1 + = ( m + n) 琪 琪 + m n 4 m n 桫

1骣 n m 1 = 琪 1 +1 + + ? ( 2 2) = 1 . 琪 4桫 m n 4

当且仅当

n m = ,即 m = n = 2 时,取“=”. m n



1 1 + 的最小值为 1. m n

【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,分段函数,均值不等式,属于中档题.


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