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数学理卷·2014届四川省雅安市高二下学期期末考试(2013.07)扫描版

数学理卷·2014届四川省雅安市高二下学期期末考试(2013.07)扫描版


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雅安市 2012-2013 学年下期期末检测高中二年级
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数学(理)参考答案及评分意见
一、选择题: 1. A 2.D 3.B 4.D 5. B 6. B 7.A 8.D 9.C 10. A 二、填空题: 11. 22、12 12. 5 13.

2x ? y ?1 ? 0

14.

2 2

15.①②④

三、解答题: 16. 解: p : ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ? a ? x ? 3a(a ? 0)

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? ?2 ? x ? 3 ? q:? 2 ?? ? 2 ? x ? 3 ???????????3 分 ?x ? 2x ? 8 ? 0 ? x ? ?4或x ? 2 ?
(1)若 a ? 1 ,则 p :1 ? x ? 3 ∴? ∵ p ? q 为真,

?1 ? x ? 3 ?2 ? x ? 3

∴ 2 ? x ? 3 ?????????????????????6 分 (2)∵ ?p 是 ?q 的充分不必要条件 ∴ q 是 p 的充分不必要条件 即 (2,3] ? ( a,3a ) ? ∴?

?a ? 2 ? 3a ? 3

∴ 1 ? a ? 2 ????????(12 分) 17.解: (1)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 A, “取出 2 个红色球,1 个黑色球” 为事件 B . 则 P(A+B)=P(A)+P(B)=
1 2 1 C2 ? C32 C2 ? C4 5 ? ? --- ??????????5 分 3 3 C9 C9 42

(2) ? 可能的取值为 0.1.2.3

P(? ? 0) ?

3 C6 5 ? ; 3 C9 21

P (? ? 1) ?

1 C3 ? C62 15 ? 3 C9 28

1 C32 ? C6 3 P (? ? 2) ? ? ; 3 C9 14

3 C3 1 P(? ? 3) ? 3 ? C9 84

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? 的分布列为: ?
P 0 1 2 3 ?????11 分 3 15 1 14 28 84 5 15 3 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. ????????????12 分 21 28 14 84 18.解: (1)由题知 F (1,0) 2 ∴抛物线方程: y ? 4 x ???????????????????6 分 (2)法 1:设 P( x, y ) ,

5 21

则 P 到直线 y ? x ? 3 的距离 d ?

| x ? y ?3| 2

又 y ? 4x
2

y2 ? y ?3| | y 2 ? 4 y ? 12 | ( y ? 2) 2 ? 8 8 ∴d ? 4 ? ? ? ? 2 ?????10 分 2 4 2 4 2 4 2 |

∴当 P(1, 2) 时, d min ?

2 ????????12 分

法 2:设 l 与直线 y ? x ? 3 平行且与抛物线相切, 即 l: y ? x ? b ,由 ?
2

?y ? x ?b
2 ? y ? 4x
2 2 2

有: x ? (2b ? 4) x ? b ? 0 , ? ? (2b ? 4) ? 4b ? 0 此时切点 P(1, 2) ,P 到直线 y ? x ? 3 的距离最小为

∴b ?1

| 3 ? 1| ? 2 ?12 分 2

19、解:法一:以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分 别经过点 A 和点 E,则各点的坐标为 D (0, 0, 0) , A (2, 0, 0) ,

E (0, 0, 2) , B (2, 0,1) , C (1, 3, 0) ,
(1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明:

1 3 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为 F ( , ,1) 2 2 ???? ??? ? 3 3 ∴ BF ? (? , , 0) , DE ? (0,0, 2) 2 2
又∵ BF ? DE ? 0 ∴ BF 与平面 xOy 平行,此即证得 BF∥平面 ACD; (2)设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则 n ? CB ,且 n ? CE ,由 CB ? (1, ? 3,1) ,

??? ???? ?
??? ?

???????4 分

?

?

??? ?

?

??? ?

??? ?

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??? ? CE ? (?1, ? 3, 2) ,
∴?

?x ? 3y ? z ? 0 ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?

zE
3,
B F A G C D

,不妨设 y ?

则?

? ?x ? 1 ,即 n ? (1, 3, 2) , ?z ? 2

x

? n ? (0, 0,1) 2 ? ∴所求角 ? 满足 cos ? ? ? 2 |n|
∴? ?

y

?
4

;????????????????????????8 分

(3)由已知 G 点坐标为(1,0,0) ,∴ BG ? (?1, 0, ?1) , 由(2)平面 BCE 的法向量为 n ? (1, 3, 2) , ∴所求距离

??? ?

?

??? ? ? BG ? n 3 d ?| ? |? 2 .????????????????????12 分 4 |n|
解法二: (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴ AB//ED,设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 // 1 CD 的中点,连接 FH,则 FH ? ED ,∴
E

2 // FH ? AB ???????2 分

B

F

∴四边形 ABFH 是平行四边形, ∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,
A G H C D

? BF // 平面 ACD;??????4 分 (2)由已知条件可知 ?ACD 即为 ?BCE 在平面 ACD 上的射影,
设所求的二面角的大小为 ? ,则 cos ? ? 易求得 BC=BE ? 5 ,CE ? 2 2 , ∴ S?BCE ? 1 | CE | ? BE 2 ? ( CE ) 2 ? 6 , 2 2 而 S?ACD ? ∴ cos ? ? ∴? ?

S ?ACD ,??????6 分 S ?BCE

3 | AC |2 ? 3 , 4

S?ACD 2 ? ? ,而 0 ? ? ? S?BCE 2 2

?
4

????????????????????????8 分 平

(3) 连结 BG、 EG, CG、 得三棱锥 C—BGE, ED ? 平面 ACD, 由 ∴平面 ABED ? 面 ACD ,又 CG ? AD ,∴ CG ? 平面 ABED,
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设 G 点到平面 BCE 的距离为 h , VC ?E 则 B G 由 S?BGE ?

?B V GC E

?

即1S
3

?BGE

1 ? GC ? S?BCE ? h , 3

3 , S ?BCE ? 6 , CG ? 3 , 2

3 3 S?BGE ? GC 2 3 ∴h ? ? ? 2 即为点 G 到平面 BCE 的距离.??12 分 S?BCE 4 6
20、解:(1)由已知 b ? 4 ,且

c2 1 c 5 ,即 2 ? , ? a 5 5 a



a 2 ? b2 1 x2 y 2 ? ,解得 a 2 ? 20 ,∴椭圆方程为 ? ? 1 ; ???3 分 20 16 5 a2
40 , 9

由 4 x 2 ? 5 y 2 ? 80 与 y ? x ? 4 联立, 消去 y 得 9 x 2 ? 40 x ? 0 ,∴ x1 ? 0 , x2 ? ∴所求弦长 | MN |? 1 ? 12 | x2 ? x1 |? (2)椭圆右焦点 F 的坐标为 (2, 0) , 设线段 MN 的中点为 Q ( x0 , y0 ) , 由三角形重心的性质知 BF ? 2 FQ ,又 B(0, 4) , ∴ (2. ? 4) ? 2( x0 ? 2, y0 ) ,故得 x0 ? 3, y0 ? ?2 , 求得 Q 的坐标为 (3, ?2) ; ????9 分 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ? ?4 ,且
2 x1 y2 x2 y 2 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1,???????????????????11 分 20 16 20 16

40 2 ;??????????6 分 9

??? ?

??? ?

以上两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 , 20 16

∴ kMN ?

y1 ? y2 4 x ?x 4 6 6 ?? ? 1 2 ?? ? ? , x1 ? x2 5 y1 ? y2 5 ?4 5

故直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 . ????13 分 (注:直线方程没用一般式给出但结果正确的扣 1 分) 21、解: (1)由已知 g / ( x) ? ? 即

6 5

1 sin ? ? x
2

?

sin ? ? x ? 1 ? 0 ,∵ ? ? (0, ? ) ,∴ sin ? ? 0 , sin ? ? x 2 故 sin ? ? x ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,只需 sin ? ? 1 ? 1 ? 0 ,
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1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, x

即 sin ? ? 1 ,∴只有 sin ? ? 1 ,由 ? ? (0, ? ) 知 ? ? (2)∵ m ? 0 ,∴ f ( x) ? ?

?
2

;??????4 分

?1 ? 2e ? ln x , x ? (0, ??) , x 2e ? 1 1 2e ? 1 ? x ∴ f / ( x) ? , ? ? x2 x x2 / 令 f ( x) ? 0 ,则 x ? 2e ?1 ? (0, ??) , / ∴ x , f ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表:
(0, 2e ? 1)
+ ↗

x
f / ( x)
f ( x)

2e ? 1
0 极大值

(2e ? 1, ??)
?


f (2e ?1) ? ?1 ? ln(2e ? 1)

函数的单调递增区间是 (0, 2e ? 1) ,递减区间为 (2e ? 1, ??) , 有极大值 f (2e ? 1) ? ?1 ? ln(2e ? 1) ; (3)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? mx ? ????9 分

m ? 2e ? 2ln x , x m 2e 当 m ? 0 时,由 x ? [1, e] 有 mx ? ? 0 ,且 ?2ln x ? ? 0, x x
∴此时不存在 x0 ? [1, e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立; 当 m ? 0 时, F ( x) ? m ?
/

m ? 2e 2 mx 2 ? 2 x ? m ? 2e ? ? , x x2 x2
/

∵ x ? [1, e] ,∴ 2e ? 2 x ?0 ,又 mx 2 ?m ? 0 ,∴ F ( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立, 故 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增,∴ F ( x) max ? F (e) ? me ? 令 me ?

m ? 4, e

m 4e , ? 4 ? 0 ,则 m ? 2 e e ?1 4e 故所求 m 的取值范围为 ( 2 , ??) .--------------------------14 分 e ?1

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