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数学理卷·2012届吉林省吉林市普通中学高中毕业班下学期期末教学质量检测(2012.05)

数学理卷·2012届吉林省吉林市普通中学高中毕业班下学期期末教学质量检测(2012.05)

全品高考网 gk.canpoint.cn 吉林市普通中学 2011—2012 学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学(理科) 数学(理科)
本试卷分第Ⅰ 小题, 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分,考 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分, 分钟。 试时间 120 分钟。 注意事项: 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚, 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴 在条形码区域内。 在条形码区域内。 铅笔填涂; 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字 笔书写,字体工整、笔迹清楚。 笔书写,字体工整、笔迹清楚。 请按照题号顺序在各题的答题区域内作答 在各题的答题区域内作答, 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 在草稿纸、试题卷上答题无效。 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色自己的签字笔描黑。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色自己的签字笔描黑。 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 刮纸刀。

第Ⅰ 卷
个小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U = R ,集合 A = { x | x < 3 ,或 x > 4 } , B = { x | x < 2 } , U 则右图中阴影部分表示的集合为 A B 3 (A) (4, ∞ ) ) + (B) ( ?∞ , ) ) (C) ( ?∞ , ) ) 2 (D) ( 2 , ) ) 3 2.若复数 3 + (a ? 1)i = b ? 2i (a,b ∈ R) ,则复数 z = a + bi 对应的点位于 (A)第一象限 ) (B)第二象限 ) (C)第三象限 ) (D)第四象限 ) 2 π ? ? 3.已知 sin α = ? ,且 α ∈ ? ? , 0 ? ,则 tan α 等于 且 3 ? 2 ?

2 5 2 5 (B) ) 5 5 4.下列有关命题的说法正确的是
(A) ? )

(C) ? )

5 2

(D) )

5 2

的否定是: (A)命题 ?x ∈ R ,使得 x 2 + x + 1 < 0 ”的否定是:“ ?x ∈ R ,均有 x 2 + x + 1 > 0 ” )命题“ 使得 的否定是 均有 (B)“ x = 1 ”是“ x 2 + 5 x ? 6 = 0 ”成立的必要不充分条件 ) 是 成立的必要不充分条件

? ? ? (C)线性回归方程 y = bx + a 对应的直线一定经过其样本数据点 )

( x1 , y1 ) , ( x 2 , y2 ) ,…, ( xn , yn ) 中的一个点
为真命题, (D)若“ p ∧ q ”为真命题,则“ p ∨ (?q ) ”也为真命题 ) 为真命题 也为真命题

5.右边程序框图的程序执行后输出的结果是

开始 n = 1,S = 0

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S=S+n

n=n+2 n >10? 是



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(A)24 ) (B)25 ) (C)34 ) (D)35 )

6.已知几何体的三视图如图所示,可得这个几何体的体积是 已知几何体的三视图如图所示, (A)4 ) (B)6 ) (C)12 ) (D)18 ) 7.实数 m 是函数 f ( x ) = 2 x ? log 1 x 的零点,则 的零点,
2

(A) m < 1 < 2 )

m

(B) 2 m < 1 < m ) (D) m < 2 m < 1 )

(C) 1 < m < 2 m )

8.4 名同学到某景点旅游,该景点有 4 条路线可供游览,其中恰有 1 条路线没有被这 4 个 名同学到某景点旅游, 条路线可供游览, 同学中的任何 1 人游览的情况有 (A)81 种 ) (B)36 种 ) (C)72 种 ) (D)144 种 )

9.已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为 已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直 底面垂直, 柱的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是 柱的所有面均相切, (A) 6 3 ) (B) 12 3 ) (C) 18 3 )

4π 的球体与棱 3

(D) 24 3 )

10.已知数列 {a n } ,若点 ( n,a n ) ( n ∈ N ? ) 在经过点 (8 ,4) 的定直线 l 上,则数列 {a n } 的 , 前 15 项和 S 15 = (A)12 ) (B)32 ) (C)60 ) (D)120 )

11.函数 f ( x ) = 3 sin(ωx + ? )(ω > 0) 的部分图象,如图所示,若 AB ? BC =| AB |2 ,则 . 的部分图象,如图所示,

ω 等于
(A) )

y B

π
12
010-58818067 58818068 第 2 页 共 11 页

3
A O x C

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? 3

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(B) ) (C) ) (D) )

π
6

π
4

π
3

12.如图,以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD,且 AB // CD . 若双曲线以 A、B 为焦点, 如图, , 、 为焦点, 且过 C、D 两点,则当梯形的周长最大时,双曲线的离心率为 、 两点,则当梯形的周长最大时, (A) 2 ) (C) 1 + 2 ) (B) 3 ) (D) 1 + 3 ) A D C B

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 题为必考题, 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答. 题为选考题,考生根据要求作答. 做答 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答 填空题: 个小题, 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

?y ≥ x ?1 ? 13.若实数 x,y 满足不等式组 ? y ≤ ? x + 2 , 则目标函数 z = y ? 2 x 的最大值是 , ?x ≥ 0 ?
14.已知 a =

.



π
2 0

cos x dx ,则二项式 ( x 2 + )5 展开式中 x 的系数为

a x

. .

15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b ? , , , , ,

1 c = a ? cos C ,则 A = 2

? ? x 2 + ax ( x ≤ 1) ? 16.已知函数 f ( x ) = ? 2 . ,若 ? x1 , x 2 ∈ R ,且 x1 ≠ x 2 ,使得 ?a x ? 7a + 14 ( x > 1) ?
f ( x1 ) = f ( x 2 ) ,则实数 a 的取值范围是
.

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17.(本小题满分 12 分) ( 成等比数列. 已知各项均不相同的等差数列 {a n } 的前四项和 S 4 = 14 , 且 a1,a 3,a 7 成等比数列 的通项公式; (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式;

? 1 ? 项和, 的值. (Ⅱ)设 Tn 为数列 ? ? 的前 n 项和,求 T2012 的值 ? a n a n+1 ?
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18. (本小题满分 12 分) 年的自主招生考试成绩中随机抽 机抽取 名学生的笔试成绩,按成绩共 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩共分 成五组 第 80 第 85 第 90 第 95 第 100 成五组: 1 组 [75, ) , 2 组 [80, ) , 3 组 [85, ) , 4 组 [90, ) , 5 组 [95, ] , 得到的频率分布直方图如图所示, 分以上( 的学生为“优秀 优秀”, 得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的学生为 优秀 , 分的学生为“良好 且只有成绩为“优秀 的学生才能获得面试资格. 良好”, 优秀”的学生才能获得面试资格 成绩小于 85 分的学生为 良好 ,且只有成绩为 优秀 的学生才能获得面试资格 组的频率, (Ⅰ)求出第 4 组的频率,并补全频率分 布直方图; 布直方图; 优秀”和 (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“优秀 和 如果用分层抽样的方法从 优秀 “良好 的学生中选出 5 人,再从这 良好” 的学生中选出 良好 5 人中选 2 人,那么至少有一人是 “优秀 的概率是多少? 优秀”的概率是多少 优秀 的概率是多少? 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O
频率/组距

75 80

85

90

分数 95 100

的面试, (Ⅲ)若该校决定在第 4,5 组中随机抽取 2 名学生接受考官 A 的面试,第 5 组中有 ξ , 面试, 的分布列和数学期望. 名学生被考官 A 面试,求 ξ 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) ( 为平行四边形, 在如图所示的几何体中, 在如图所示 的 几何体中 , 平面 ACE ⊥ 平面 ABCD , 四边形 ABCD 为平行四边形 ,

∠ACB = 90o , EF // BC , AC = BC = 2 EF , AC = 2 AE = 2 EC .
(Ⅰ)求证: AE ⊥ 平面 BCEF ; 求证: 的大小. (Ⅱ)求二面角 A ? BF ? C 的大小.5u.com] F E A D

B 20.(本小题满分 12 分) (

C

已知 F1 ( ?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) ,圆 F2 : ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 ,一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相 为焦点的椭圆. 切,同时与圆 F2 相外切,此动圆的圆心轨迹为曲线 C ,曲线 E 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆. 同时与圆 相外切, 的方程; (Ⅰ)求曲线 C 的方程; 相交于第一象限点 (Ⅱ)设曲线 C 与曲线 E 相交于第一象限点 P ,且 PF1 =

7 标准方程 方程; ,求曲线 E 的标准方程; 3

、 Ⅱ 的条件下, 两点, (Ⅲ)在(Ⅰ)(Ⅱ)的条件下,直线 l 与椭圆 E 相交于 A , B 两点,若 AB 的中 ( 的取值范围. 点 M 在曲线 C 上,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
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21.(本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = b ln x , g ( x ) = ax 2 ? x ( a ∈ R) . 处有相同的切线, 的值; (Ⅰ)若曲线 f ( x ) 与 g ( x ) 在公共点 A(1 , 0) 处有相同的切线,求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)当 b = 1 时,若曲线 f ( x ) 与 g ( x ) 在公共点 P 处有相同的切线,求证:点 P 唯一; 处有相同的切线,求证: 唯一; 总存在公切线, 的最小值. (Ⅲ)若 a > 0 , b = 1 ,且曲线 f ( x ) 与 g ( x ) 总存在公切线,求正实数 a 的最小值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所选的第一题记分.做 22、23、 题中任选一题做答,如果多做,则按所选的第一题记分. 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. 本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 . ( : 如图所示 , PA 为 ⊙O 的切线 , A 为切点 , PBC 是过点 O 的割线 , PA = 10 ,

PB = 5 , ∠BAC 的平分线与 BC 和⊙ O 分别交于点 D 和 E. .

(Ⅰ)求证: 求证:

AB PA = ; AC PC

的值. (Ⅱ)求 AD ? AE 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ( - : 已知在直角坐标系 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 P (1,?5) ,且倾斜角为

π
3

为极点, ,以原点 O 为极点,

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,半径为 4 的圆 C 的圆心的极坐标为 (4, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 的圆心的极坐标为 (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; 的极坐标方程; 的位置关系. (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系

π
2

).

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24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 ( — : 设函数 f ( x ) =| x ? 4 | + | x ? a | (a > 1) . 的值; (Ⅰ)若 f ( x ) 的最小值为 3,求 a 的值; , 的取值集合 集合. (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求使得不等式 f ( x ) ≤ 5 成立的 x 的取值集合 的条件下,

命题、校对: 命题、校对:凌志永 常 越 曹凤仁

杨万江 王玉梅 孙长青

学年度高中毕业班下 吉林市普通中学 2011—2012 学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学(理科) 数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题:每小题 5 分 选择题: 题号 1 2 答案 C B 二.填空题:每小题 5 分 填空题: 13. 2 ; 14.10 ; 15. 3 A 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 10 C 11 B 12 D

π
3

;

16. (? ∞ , 2) U (3 , 5 ) .

三.解答题: 解答题: 17.解: Ⅰ)设公差为 d,由已知得 ? 解 ( ,

?4a1 + 6d = 14
2 ?(a1 + 2d ) = a1 (a1 + 6d )

.

……3 … … ……

分 舍去) 联立解得 d = 1 或 d = 0 (舍去). ∴ a1 = 2. 分 故 an = n + 1 . 分
www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 第 6 页 共 11 页

…………5 …………

…………6 …………

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(Ⅱ) 分

1 1 1 1 = = ? an an +1 ( n + 1) (n + 2) n + 1 n + 2
1 1 1 1 1 1 1 1 n ? + ? +L + ? = ? = . n + 1 n + 2 2 n + 2 2(n + 2) 2 3 3 4
503 = . 1007
uuu r F (1, ?1,1), BF = ( ?1,1,1).

…………8 …………

∴Tn =


…………10 …………

T2012

…………12 …………

分 18.解: Ⅰ)其它组的频率为 解 ( (0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8, ) , 所以第四组的频率为 0.2, , 频率分布图如图 频率分布图如图:

……3 …… 分

(Ⅱ)依题意优秀与良好的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优 , 秀 3 人,良好 2 人,记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是优秀为事件 A

C2 2 9 ∴ P ( A) = 1 ? P ( A) =1- 2 = . C5 10
(Ⅲ)由频率分布直方图可知,第四组的人数为 8 人,第五组的人数为 4 人 由频率分布直方图可知, ξ 的所有可能取值为 0,1,2

…………6 ………… 分

P (ξ = 0) =

∴ ξ 的分布列为 的分布列为:
ξ
P

C82 14 C1C 1 16 C2 1 = , P (ξ = 1) = 8 2 4 = , P (ξ = 2) = 4 = 2 2 33 C12 11 C12 33 C12

…………9 ………… 分

ξ
0 1 2

14 33

16 33

1 11

P
…………10 ………… 分 ………………12 ………………

∴ E ξ) 0 × ( =


14 16 1 2 + 1× + 2 × = 33 33 11 3

19.解: Ⅰ)∵平面 ACE ⊥ 平面 ABCD ,且平面 ACE I 平面 ABCD = AC 解 (Ⅰ ( 且平面 Q BC ⊥ AC ∴ BC ⊥ 平面 AEC 2 分∴ BC ⊥ AE , 分 又 AC = 2 AE = 2CE ,∴ AE ⊥ EC 分 且 BC ∩ EC = C ,∴ AE ⊥ 平面 ECBF . ∴ 分

……3 ……

…………………4 ………………… …………………6 …………………

(解法一) (Ⅱ) 解法一)建立如图空间直角坐标系不妨设 AC = BC = 2 ,则 AE = EC = 2, 则 (解法一 由题意得 A(0, 0, 0) , B (2, ?2, 0) , C (2, 0, 0) , z

uuu r uuu r AB = (2, ?2, 0), BC = (0, 2, 0),

F 分

E A

……8 ……

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D y 010-58818067 58818068
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B

x C

全品高考网 gk.canpoint.cn ur 设平面 BFC 的法向量为 m = ( x1 , y1 , z1 ) , ur uuu r ur uuu r ur 由 m ? BC = 0, m ? BF = 0 , 得 m = (1, 0,1) , 9
分 设平面 ABF 的法向量为 n = ( x2 , y2 , z2 ) , 由 n ? AB = 0, n ? BF = 0 , 得 n = (1,1, 0) , 10

r

r uuu r

r uuu r

r

ur r ur r m?n 1 所以 cos m , n = ur r = ∴ 二面角 A ? BF ? C 的大小为 60° . m n 2



………………12 ………………

分 解法二) (解法二) AB 的中点 H , 取 连接 CH , 因为 AC = BC , CH ⊥ AB , CH ⊥ 平面 ABF 则 ∴ (要证明 ,过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R ,连接 CR , 要证明), 要证明 则 CR ⊥ BF , 的平面角. ……9 则 ∠HRC 为二面角 A ? BF ? C 的平面角 …… 分 由题意, 由题意,不妨设 AC = BC = 2 , 连接 FH ,则 FH ⊥ AB ,又 AB = 2 2 因此在 Rt ?BHF 中, HR =

6 1 , CH = AB = 2 , 3 2
2 6 3 = 3 …11 分

所以在 Rt △CHR 中, tan ∠HRC = 因此二面角 A ? BF ? C 的大小为 60 o 分 20. 解: Ⅰ)设动圆圆心的坐标为 ( x, y ) ( x > 0) (

…………12 …………

轴相切, 相外切, ……………1 因为动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切,同时与圆 F2 相外切,所以 CF2 ? x = 1 , …………… 分

∴ ( x ? 1) 2 + y 2 = x + 1 , 化简整理得 y 2 = 4 x , 曲线 C 的方程为 y 2 = 4 x ( x > 0) ; …3
分 依题意, (Ⅱ)依题意, c = 1 , PF1 = 分

7 2 , 可得 x p = , 3 3

…………………4 …………………

∴ PF2 =


5 7 5 ,又由椭圆定义得 2a = PF1 + PF2 = + = 4, a = 2 . 又由椭圆定义得 3 3 3 x2 y 2 + = 1; 4 3

…………………5 …………………

∴ b 2 = a 2 ? c 2 = 3 , 所以曲线 E 的标准方程为

…………………6 …………………

分 (Ⅲ)设直线 l 与椭圆 E 交点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , A, B 的中点 M 的坐标为 ( x 0 , y0 ) ,

? ? 3 x 1 + 4 y1 ? 12 = 0 的坐标代入椭圆方程中, 将 A, B 的坐标代入椭圆方程中,得 ? 2 2 ? 3 x 2 + 4 y 2 ? 12 = 0 ?
2 2

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两式相减得 3( x 1 ? x 2 )( x 1 + x 2 ) + 4( y1 ? y 2 )( y1 + y 2 ) = 0



y1 x1
2

3x ? y2 =? 0 , ? x2 4 y0
y1 ? y 2 3 y0 , =? x1 ? x 2 16

…………………7 ………………… 分

Q y 0 = 4x 0 ,∴ 直线 AB 的斜率 k =
由(Ⅱ)知 x p = 由题设 ?

…………………8 ………………… 分

2 8 2 6 2 ,∴ y p = 4 x p = , ∴ y p = ± 3 3 3

2 6 2 6 6 3 6 ………………10 ( y 0 ≠ 0) ,∴ ? y0 < , ………………… 分 < y0 < <? 3 3 8 16 8 6 6 (k ≠ 0) . …………………12 即? ………………… <k< 8 8 分 b 21.解: Ⅰ) f ′( x ) = , g ′( x ) = 2ax ? 1 .∵曲线 f ( x ) 与 g ( x ) 在公共点 A(1 , 0 ) 处有相同 (Ⅰ 解 ( x ? f (1) = b ln 1 = 0 ?a = 1 ? 的切线∴ 解得, …………………3 的切线∴ ? g (1) = a ? 1 = 0 , 解得, ? . ………………… ?b = 1 ?b = 2a ? 1 ?
分 2 (Ⅱ)设 P ( x0 , y0 ) ,则由题设有 ln x 0 = ax 0 ? x 0 ∴ f ' ( x0 ) = g ' ( x0 ) ? 分 设 h( x ) = ln x ? … ①又在点 P 有共同的切线

1 1 + x0 1 1 = 2ax0 ? 1 ? a = …………5 代 入 ① 得 ln x 0 = ? x 0 ………… 2 2 2 x0 2 x0

1 1 1 1 + x ,则 h ′ ( x ) = + ( x > 0 ) , 2 2 x 2 上单调递增, 个实根, ∴ h( x ) 在 (0 ,+∞ ) 上单调递增,所以 h ( x ) =0 最多只有 1 个实根,
从而,结合( 可知, 从而, 结合(Ⅰ )可知,满足题设的点 P 只能是 P (1, 0 ) …………………7 …………………

分 (Ⅲ)当 a > 0 , b = 1 时, f ( x ) = ln x , f ′( x ) =

1 , x

ln 曲线 f ( x ) 在点 (t , t ) 处的切线方程为 y ? ln t =

1 ( x ? t ) ,即 y = 1 x + ln t ? 1 . t t

1 ? 1? ? ? y = x + ln t ? 1 t 由? ,得 ax 2 ? ? 1 + ? x ? ln t + 1 = 0 . t? ? ? y = ax 2 ? x ?
∵ 曲 线
2

f ( x ) 与 g( x ) 总 存 在 公 切 线 , ∴

关 于 t

(t > 0)

的 方 程

1? ? ? = ? 1 + ? + 4a (ln t ? 1) = 0 , t? ? 1? ? 即 ? 1 + ? = 4a (1 ? ln t ) t? ? 分
2

(?) 总有解. 总有解.

…………………9 …………………

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1? ? 不成立, ………10 若 t > e , 则 1 ? ln t < 0 , 而 ? 1 + ? > 0 ,显然 (?) 不成立, 所以 0 < t < e . ……… t? ? 分
从而, 从而,方程 (?) 可化为 4a = 令 h(t ) =
2

所以,要使方程 (?) 有解,只须 4a ≥ 4 ,即 a ≥ 1 . 所以, 有解, 分 22.解: Ⅰ)∵ PA 为⊙ O 的切线,∴ ∠PAB = ∠ACP , 的切线, . ( 又 ∠P = ∠P ,∴ ?PAB ∽ ?PCA . ∴

(1 + t )2 (0 < t < e ) ,则 h′(t ) = (1 + t )(2 ln t + t ? 1) . 2 t 2 (1 ? ln t ) t 3 (1 ? ln t ) h h 上单调递减, ∴ 当 0 < t < 1 时, ′(t ) < 0 ; 1 < t < e 时, ′(t ) > 0 , h(t ) 在 (0 , 1) 上单调递减, (1 , e ) 当 即 在 上单调递增. 上单调递增.∴ h(t ) 在 (0 , e ) 的最小值为 h(1) = 4 ,
…………………12 …………………

(1 + t )2 . t 2 (1 ? ln t )

AB PA = . AC PC

…………………4 …………………

分 2 的切线, 的割线, (Ⅱ)∵ PA 为⊙ O 的切线, PBC 是过点 O 的割线,∴ PA = PB ? PC . 分 又∵ PA = 10 , PB = 5 ,∴ PC = 20 , BC = 15 . 由(Ⅰ)知,

………5 ………

AB PA 1 = = ,∵ BC 是⊙ O 的直径, 的直径, AC PC 2 o 2 2 2 ∴ ∠CAB = 90 . ∴ AC + AB = BC = 225 ,∴ AC = 6 5 , AB = 3 5 ∴

………7 ………

分 连结 CE ,则 ∠ABC = ∠E , 又 ∠CAE = ∠EAB ,∴ ?ACE ∽ ?ADB , ∴

AB AD = ∴ AD ? AE = AB ? AC = 3 5 × 6 5 = 90 . AE AC


…………………10 …………………

1 ? ? x =1+ 2t ? 23.解: Ⅰ)直线 l 的参数方程是 ? …………………2 . ( , t 为参数) ( 为参数) ………………… ? y = ?5 + 3 t ? 2 ? 分 ……3 圆心 C 直角坐标为 (0 , 4) …… 分 圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y ? 4) 2 = 16 …4 分
由? 分 ………8 (Ⅱ)圆心的直角坐标是 (0, 4) ,直线 l 的普通方程是 3 x ? y ? 5 ? 3 = 0 , ……… 分 0?4?5? 3 9+ 3 …………………9 圆心到直线的距离 d = ………………… = > 4, 2 3 +1 分 相离. …………………10 所以直线 l 和圆 C 相离 …………………
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?x2 + y 2 = ρ 2 ? y = ρ sin θ

…5 分

得圆 C 的极坐标方程是 ρ = 8sin θ .

………6 ………

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分 24.解: Ⅰ)因为 | x ? 4 | + | x ? a |≥ ( x ? 4) ? ( x ? a ) = a ? 4 , . ( 分 所以 a ? 4 = 3 ,即 a = 7或a = 1 分 …………………6 分 由 a >1 知 a = 7 ; 解得: …………………7 (Ⅱ)当 x ≤ 4 时,不等式化为 ? 2 x + 11 ≤ 5 解得: 3 ≤ x ≤ 4 ………………… 分 所以: …………………8 当 4 < x < 7 时,不等式化为 3 ≤ 5 恒成立 所以: 4 < x < 7 ………………… 分 解得: 7 ≤ x ≤ 8 解得: …………………9 ………………… 当 x ≥ 7 时,不等式化为 2 x ? 11 ≤ 5 分 综上不等式 x ? 4 + x ? 7 ≤ 5 的解集为 分 …………………5 ………………… ………………3 ……………

{x | 3 ≤ x ≤ 8} .

…………………10 …………………

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