9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质

桂林师范高等专科学校
六大基本初等函数图像及其性质

一、常值函数(也称常数函数) y =C(其中 C 为常数);

C ?0
y
O

常数函数( y ? C )

y?C
x

y ?0

C ?0
y
O

14 生化班
x

平行于 x 轴的直线

定义域 R

二、幂函数 y ? x? , x 是自变量,? 是常数;

1.幂函数的图像:

y

1
y ? x2

y ? x2

y 轴本身 定义域 R
y? x
y ? x3

y ? x?1

O

x

2.幂函数的性质; 性质
函数 定义域 值域 奇偶性
单调性
公共点

y? x
R R 奇 增

y ? x2

y ? x3

R

R

[0,+∞)

R


[0,+∞) 增 (-∞,0] 减

奇 增 (1,1)

第1页

1
y ? x2
[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶


y ? x?1
{x|x≠0} {y|y≠0}
奇 (0,+∞) 减 (-∞,0) 减

桂林师范高等专科学校

14 生化班

1)当α 为正整数时,函数的定义域为区间为 x ? (??,??) ,他们的图形都经过原点,并当α >1 时

在原点处与 x 轴相切。且α 为奇数时,图形关于原点对称;α 为偶数时图形关于 y 轴对称;

2)当α 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数;
3)当α 为正有理数 m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(n
∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1);

4)如果 m>n 图形于 x 轴相切,如果 m<n,图形于 y 轴相切,且 m 为偶数时,还跟 y 轴对称;m,n

均为奇数时,跟原点对称;

5)当α 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去

除 x=0 以外的一切实数。

三、指数函数 y ? a x ( x 是自变量, a 是常数且 a ? 0 , a ?1),定义域是 R ;
[无界函数]
1.指数函数的图象:

y

y ? ax

y
y ? ax

(0,1)
O

(a ? 1)

(0 ? a ? 1)

y ?1

(0,1)

y ?1

x

O

x

2.指数函数的性质;
性质 函数
定义域
值域
奇偶性

y ? a x (a ? 1)

y ? a x (0 ? a ? 1)

R (0,+∞) 非奇非偶

公共点

过点(0,1),即 x ? 0 时, y ?1

单调性

在(? ?,? ?)是增函数

在(? ?,? ?)是减函数

1) 当 a ?1时 函 数 为 单 调 增 ,当 0 ? a ?1时 函 数 为 单 调 减 ; 2)不论 x为何值, y 总是正的,图形在 x轴上方;

3) 当 x ? 0时 , y ?1,所 以 它 的 图 形 通 过 (0,1)点 。
第2页

桂林师范高等专科学校

3.(选,补充)指数函数值的大小比较 a ? N* ;

a.底数互为倒数的两个指数函数

f

(x)

?

ax



f

( x)

?

??

1

x
? ?

?a?

的函数图像关于 y 轴对称。

y
f (x) ? ax

14 生化班
f (x) ? ?? 1 ??x ?a?

(0,1)

O

x

h(x) ? 3x
y
f (x) ? 2x (0,1)

O

x

b.2.当 0 ? a ?1时,a 值越大, y ? a x
的图像越远离 y 轴。

b.1.当 a ?1时,a 值越大, y ? a x
的图像越靠近 y 轴;

g(x) ? ?? 1 ??x

y

?3?

q(x) ? ?? 1 ??x ?2?

(0,1)

O

4.指数的运算法则(公式);
a.整数指数幂的运算性质 (a ? 0, m, n ?Q) ;
(1) am ? an ? am?n (2) am ? an ? am?n
? ? ? ? (3) am n ? anm ? an m
? ? (4) ab n ? anbn

b.根式的性质;
? ? (1) n a n ? a ; (2)当 n 为奇数时,n an ? a

当 n 为偶数时, n

an

?

a

?

?a (a ? 0) ??? a(a ? 0)

c.分数指数幂;

m
(1) a n ? n am (a ? 0, m, n ? Z *, n ? 1)

?m
(2) a n

?

1
m
an

?

n

1 am

(a ? 0, m, n ? Z *, n ? 1)

第3页

桂林师范高等专科学校

14 生化班

四、对数函数 y ? log a x ( a 是常数且 a ? 0, a ? 1 ),定义域 x ? (0,??) [无界]

1.对数的概念:如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 ab ? N ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,

记作 log a N ? b ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子 log a N 叫做对数式。

对数函数 y ? log a x 与指数函数 y ? ax 互为反函数,所以 y ? log a x 的图象与 y ? ax 的图象 关于直线 y ? x 对称。

2.常用对数: log10 N 的对数叫做常用对数,为了简便,N 的常用对数记作 lg N 。
3.自然对数:使用以无理数 e ? 2.7182为底的对数叫做自然对数,为了简便,N 的自然对数 log e N 简
记作 ln N 。
4.对数函数的图象:

y x ?1
y ? log a x (a ? 1)

y x ?1

O (1,0)

x

(1,0)

O

x

5.对数函数的性质;

y ? log a x (0 ? a ? 1)

函数

性质

y ? log a x (a ? 1)

y ? log a x (0 ? a ? 1)

定义域 值域
奇偶性

(0,+∞) R
非奇非偶

公共点

过点(1,0),即 x ?1 时, y ? 0

单调性

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

1)对数函数的图形为于 y 轴的右方,并过点(1,0);

2)当 a ?1时,在区间(0,1),y 的值为负,图形位于 x 的下方;在区间(1, + ? ),y 值为正,图形位于 x 轴上方,在定义域是单调增函数。 a ?1 在实际中很少用到。

第4页

桂林师范高等专科学校
6.(选,补充)对数函数值的大小比较 a ? N* ;
a.底数互为倒数的两个对数函数

14 生化班
y
y ? log a x

y ? log a x , y ? log 1 x
a
的函数图像关于 x 轴对称。

(1,0)

O

x

y
f (x) ? log 2 x

O (1,0)

f (x) ? log3 x
x

y ? log 1 x
a
b.1. 当 a ?1时,a 值越大, f (x) ? log a x
的图像越靠近 x 轴;
y

b.2. 当 (0 ? a ? 1) 时,a 值越大, f (x) ? log a x

O

的图像越远离 x 轴。

7.对数的运算法则(公式); a.如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么:

c.换底公式:

(1,0)
x
f (x) ? log 1 x
3
f (x) ? log 1 x
2

loga ?MN ? ? loga M ? loga N
M loga N ? loga M ? loga N log a M n ? n log a M
b.对数恒等式:

(1) log b

N

?

log a N log a b

( a ? 0, a ? 1 ,一般常常

ln N 换为 e 或 10 为底的对数,即 logb N ? ln b 或

log b

N

?

lg N lg b



aloga N ? N (a ? 0且a ? 1,N ? 0)

(2)由公式和运算性质推倒的结论:

log an

bn

?

n m

log a

b

d.对数运算性质
(1)1 的对数是零,即 log a 1 ? 0 ;同理 ln1 ? 0或 lg1 ? 0 (2)底数的对数等于 1,即 log a a ? 1;同理 ln e ? 1或 lg10 ? 1
第5页

桂林师范高等专科学校
五、三角函数

1.正弦函数 y ? sin x ,有界函数,定义域 x ?(??,??) ,值域 y ?[?1,?1]

图象:五点作图法:0, ? ,? , 3? , 2?

2

2

14 生化班

2.余弦函数 y ? cosx ,有界函数,定义域 x ?(??,??) ,值域 y ?[?1,?1]

图象:五点作图法:0, ? ,? , 3? , 2?

2

2

3.正、余弦函数的性质;

函数

性质

y ? sin x (k ? Z)

定义域

R

值域
奇偶性

[-1,1] 奇函数

周期性

T ? 2?

对称中心

(k? ,0)

对称轴
单调性 最值

x ? k? ? ? 2



x

?

???2k?

?

? 2

,2k?

?

? 2

? ??

上是增函数



x

?

???2k?

?

? 2

,2k?

?

3? 2

? ??

上是减函数

x

?

2k?

?

? 2

时,

ymax

?1

x

?

2k?

?

? 2

时,

ym in

?

?1

第6页

y ? cosx (k ?Z)
[-1,1] 偶函数 T ? 2? (k? ? ,0)
2 (k? ? ? ,0)
2
在 x ??2k? ?? ,2k? ?上是增函数 在 x ??2k? ,2k? ? ? ?上是减函数
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? 2k? ?? 时, ymin ? ?1

桂林师范高等专科学校

? 4.正切函数 y ? tan x ,无界函数,定义域 x x ? k? ? ? , (k ? Z )?,值域 y ?(??,??)

y

2

14 生化班

x

? 5? 2

? 2? ? 3? ? ? ? ?

2

2

O? 2

? 3? 2

2?

5?

2

y ? tan x 的图像
? 5.余切函数 y ? cot x ,无界函数,定义域 x x ? k? , k ? Z?, y ?(??,??) y

?3? ? 5? 2

? 2? ? 3? ? ? ? ?

2

2

O? 2

? 3? 2

2? 5? 2

x
3?

y ? cot x 的图像

6.正、余切函数的性质;
性质 函数
定义域
值域

y ? tan x (k ? Z) x ? k? ? ?
2
R

奇偶性

奇函数

周期性 单调性 对称中心
零点

T ??

在 (? ? ? k? , ? ? k? ) 上都是增函数

2

2

( k? ,0) 2

(k? ,0)

第7页

y ? cot x (k ? Z)
x ? k?
R
奇函数 T ?? 在 (k? , (k ?1)? ) 上都是减函数 ( k? ,0)
2 (k? ? ? ,0)
2

桂林师范高等专科学校

7.正割函数 y ? sec x ,无界函数,定义域 ?x x ? k? ? ? , (k ? Z )?,值域 sec x ?1

y

2

14 生化班

1

? 2?

??

?

2?

3?

? 5?

? 3?

2

2

??

O?

2 -1 2

3?

5?

2

2

x

8.余割函数

y

?

cscx

?

1 sin

x

y ? secx 的图像
? ,无界函数,定义域 x x ?

k? ,(k

? Z )?,值域

cscx

?1

y

? 5? 2

?? 1

??

2

3?

?

2

3?

? 2? ? 3? 2

O?

-1

2

2? 5? 2

x

9.正、余割函数的性质;

y ? cscx 的图像

性质 函数

y ? secx (k ? Z)

定义域

?x x ? ? ? k?? 2

值域

(??,?1] ? [1,??)

y ? cscx (k ? Z)
?x x ? k??
(??,?1] ? [1,??)

奇偶性

偶函数

奇函数

周期性 单调性

T ? 2?

T ? 2?

(2k? ? ? ,2k? ) ? (2k? ? ? ,2k? ? 3? )

2

2



(2k? ,2k? ? ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ? ? ) 增

2

2

(2k? ,2k? ? ? ) ? (2k? ? 3? ,2k? ? 2? ) 减

2

2

(2k? ? ? ,2k? ? ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ? 3? )

2

2



第8页

桂林师范高等专科学校
续表:
性质 函数
对称中心
对称轴
渐近线
六、反三角函数

y ? secx (k ? Z)
(k? ? ? ,0) 2
x ? k?
x ? ? ? k? 2

14 生化班
y ? cscx (k ? Z)
(k? ,0) x ? ? ? k?
2
x ? k?

1.反正弦函数 y ? arcsin x ,无界函数,定义域[-1,1],值域[0,? ]

A.反正弦函数的概念:正弦函数

y

?

s in

x

在区间

????

? 2

,

? 2

? ??

上的反函数称为反正弦函数,记为

y ? arcsin x

2.反余弦弦函数 y ? arccosx ,无界函数,定义域[-1,1],值域[0,? ]

B.反余弦函数的概念:余弦函数 y ? c osx 在区间 ?0,? ? 上的反函数称为反余弦函数,记为

y

y

y ? arccosx ?
2

?

?

-1

O1

x

2

?? 2

y ? arcsin x 的图像

3.反正、余弦函数的性质;

性质 函数

y ? arcsin x

定义域

[-1,1]

值域
奇偶性 单调性

[0,? ] 奇函数 增函数

第9页

-1 O

1

x

y ? arccosx 的图像

y ? arccosx
[-1,1] [0,? ] 非奇非偶函数 减函数

桂林师范高等专科学校
4.反正切函数 y ? arctanx ,有界函数,定义域 x ?(??,??) ,值域 ?? ? ? , ? ??
? 2 2?

14 生化班

C.反正切函数的概念:正切函数

y

?

tan

x

在区间

? ?

?

?

,?

? ?

上的反函数称为反正切函数,记为

? 2 2?

y ? arctanx

5.反余切函数 y ? arc cot x ,有界函数,定义域 x ?(??,??) ,值域 ?0,? ?

D.反余切函数的概念:余切函数 y ? cot x 在区间 ?0,? ? 上的反函数称为反余切函数,记为

y ? arc cot x

y

y

? 2

O

x

?? 2
y ? arctanx 的图像

?
? 2

O

x

y ? arc cot x 的图像

6.反正、余弦函数的性质;

函数 性质

y ? arctanx

y ? arc cot x

定义域

R

值域

?? ? ? , ? ?? ? 2 2?

?0,? ?

奇偶性

奇函数

非奇非偶

单调性

增函数

减函数

第 10 页

桂林师范高等专科学校

三角函数公式汇总

14 生化班

一、任意角的三角函数

在角? 的终边上任.取.一点 P(x, y) ,记: r ? x2 ? y2 。

正弦: sin? ? y 余弦: cos? ? x

r

r

正切: tan? ? y 余切: cot? ? x

x

y

正割: sec? ? r 余割: csc? ? r

x

y

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系: sin? ? csc? ? 1, cos? ? sec? ? 1, tan? ? cot? ? 1

商数关系: tan? ? sin? , cot? ? cos?

cos?

sin?

平方关系: sin2 ? ? cos2 ? ? 1,1? tan2 ? ? sec2 ? ,1? cot2 ? ? csc2 ?

三、诱导公式

x 轴上的角,口诀:函数名不变,符号看象限; y 轴上的角,口诀:函数名改变,符号看象限。

四、和角公式和差角公式

sin(? ? ? ) ? sin? ? cos? ? cos? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin? ? cos? ? cos? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin? ? sin ?
五、二倍角公式

tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?
tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

sin 2? ? 2sin? cos?

tan 2? ? 2 tan? 1 ? tan2 ?

cos2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1? 2sin2 ?

二倍角的余弦公式常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)

1? cos2? ? 2cos2 ? 1 ? sin 2? ? (sin? ? cos?)2

1? cos2? ? 2sin2 ? 1 ? sin 2? ? (sin? ? cos?)2

cos2 ? ? 1? cos2? , sin2 ? ? 1? sin 2? , tan? ? 1? cos2? ? sin 2?

2

2

sin 2? 1? cos2?

第 11 页

桂林师范高等专科学校
六、三倍角公式

14 生化班

sin 3? ? 3sin? ? 4sin3 ? 4sin? sin(? ?? )sin(? ?? )

3

3

cos3?

?

4 cos3 ? 3cos?

?

4 c os?

? cos(

?

?

)

? cos(

??)

3

3

tan 3?

?

3 tan? ? tan3 ? 1? 3 tan2 ?

?

tan ?

? tan(
3

?

?

)

? tan(

3

??)

七、和差化积公式

sin?

?

sin

?

?

? 2sin

?

?

? cos

?

?

2

2

sin? ? sin ? ? 2cos? ? ? sin ? ? ?

2

2

八、辅助角公式

cos?

?

cos?

?

? 2 c os

?

?

? cos

?

?

2

2

cos? ? cos? ? ?2sin ? ? ? sin ? ? ?

2

2

asin x ? bcosx ? a2 ? b2 sin(x ? ?)
其中:角? 的终边所在的象限与点 (a,b) 所在的象限相同,

sin ? ? b , cos? ? a , tan? ? b

a2 ? b2

a2 ? b2

a

九、三角函数的周期公式

函 数 y ? As in?( x ??) , x ? R 及 函 数 y ? Acos(?x ??) , x ? R (A, ?,? , 为 常 数 , 且 A ? 0,? ? 0 )
周期: T ? 2? ?
函数 y ? Atan(?x ??) , x ? k? ? ? , k ? Z (A,?,? ,为常数,且 A ? 0,? ? 0 ) 2
周期: T ? ? ?
十、正弦定理

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

?

2R

( R 为 ?ABC外接圆半径)

十一、余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? cosB c2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? cosC

第 12 页


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com