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2018版高中数学北师大版必修五学案:第二章 解三角形 §3 解三角形的实际应用举例 含答案 精品

2018版高中数学北师大版必修五学案:第二章 解三角形 §3 解三角形的实际应用举例 含答案 精品

[学习目标] 1.能够从实际问题中抽象出数学模型,然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有 关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法,养成良好的研究、探索习惯 .3.进 一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力. 知识点一 基线的定义 在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线,一般地讲,基线越长,测量的精确 度越高. 知识点二 有关的几个术语 1.方位角:指以观测者为中心,从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形 成的水平角.如图所示的 θ1、θ2 即表示点 A 和点 B 的方位角.故方位角的 范围是[0° ,360° ). 2.方向角:指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90° 的水平角, 它是方位角的另一种表示形式.如图,左图中表示北偏东 30° ,右图中表示南偏西 60° . 思考 上两图中的两个方向,用方位角应表示为 30° (左图),240° (右图). 3.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫 做仰角;目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示. 4.视角:观测者的两条视线之间的夹角称作视角. h 5.坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角,坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tanα= ),如 l 图. 知识点三 解三角形应用题 解三角形应用题时,通常都要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过 解三角形,得到实际问题的解,求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题. (1)解题思路 (2)基本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下: ①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形); ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立 一个解三角形的数学模型; ③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解; ④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解. (3)主要类型 题型一 测量距离问题 例 1 (1)海上 A,B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B,C 间的距离是( A.10 3海里 C.5 2海里 答案 D 解析 根据题意,可得右图. 在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,AB=10, ∴C=45° . AB BC 由正弦定理可得 = , sinC sinA 即 10 BC = ,∴BC=5 6(海里). 2 3 2 2 3a 的 2 10 6 B. 海里 3 D.5 6海里 ) (2)在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为 军事基地 C 和 D 测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处, 且∠ADB=30° , ∠BDC=30° ,∠DCA=60° ,∠ACB=45° ,如图所示,求蓝方这两支精锐 部队之间的距离. 解 ∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° , 又∠DCA=60° ,∴∠DAC=60° . ∴AD=CD=AC= 3 a. 2 在△BCD 中,∠DBC=45° , ∵ BC CD 6 = ,∴BC= a. sin30° sin45° 4 3 3 3 6 2 在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos45° = a2+ a2-2× a× a× 4 8 2 4 2 3 = a2. 8 ∴AB= 6 a. 4 6 a. 4 ∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为 反思与感悟 求距离问题时应注意的三点 (1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放 在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. (3)测量两个不可到达的点之间的距离问题. 首先把求不可到达的两点 A, B 之间的距离转化为 应用余弦定理求三角形的边长问题,然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边. 跟踪训练 1 如下图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距 20 米的 C、D 两点,测得∠BCA=60° ,∠ACD=30° ,∠CDB=45° ,∠BDA=60° ,那么此时 A、B 两点间 的距离是多少? 20sin?45° +60° ? 解 由正弦定理得 AC= sin[180° -?30° +45° +60° ?] = 20sin105° 20sin75 = =10(1+ 3)(米), sin45° sin45° 20sin45° 20sin45° BC= = =20(米). sin45° sin[180° -?60° +30° +45° ?] 在△ABC 中,由余弦定理得 AB= AC2+BC2-2AC×BCcos∠BCA=10 6(米). ∴A、B 两点间的距离为 10 6米. 题型二 测量高度问题 例 2 如图所示,A、B 是水平面上的两个点,相距 800m,在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45° ,∠BAD=120° ,又在 B 点测得∠ABD=45° ,其中 D 点是 点 C 到水平面的垂足,求山高 CD. 解 由于 CD⊥平面 ABD,∠CAD=45° ,所以 CD=AD. 因此只需在△ABD 中求出 AD 即可, 在△ABD 中,∠BDA=180° -45° -120° =15° , 由 AB AD = , sin15° sin45° 2 800× 2 AB· sin45° 得 AD= = =800( 3+1)(m). sin15° 6- 2 4 即山的高度为 800( 3+1) m. 反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中 抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.和高度有关的问题 往往涉及直角三角形的求解. 跟踪训练

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