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2019届高考数学大一轮复习立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直课件理北师大版_图文

2019届高考数学大一轮复习立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直课件理北师大版_图文

第八章 立体几何与空间向量 §8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 内容索引 基础知识 题型分类 自主学习 深度剖析 课时作业 基础知识 自主学习 知识梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一 非零 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为 ? a=0, ?n· 平面α的法向量,则求法向量的方程组为 ? ? b=0. ?n· 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)? v1∥v2 . (2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α 或l α? 存在两个实数x,y,使v=x . v1+yv2 (3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u, 则l∥α或l α? v⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β? u1 ∥u2 . 3.用向量证明空间中的垂直关系 v2=0 . (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2? v1⊥v2 ? v1· (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α? v∥u . u2=0 . (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β? u1⊥u2 ? u1· 基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ ) (5)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.( × ) (6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × ) 1 2 3 4 5 6 题组二 教材改编 2.设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时, α⊥β ;当 v= (4,- 4 ,- 10) 时, α与 β的位置关系 α与 β的位置关系为______ α∥β 为________. 解析 当v=(3,-2,2)时, u· v=(-2,2,5)· (3,-2,2)=0?α⊥β. 当v=(4,-4,-10)时,v=-2u?α∥β. 1 2 3 4 5 6 解析 答案 3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中 心,M是 D1D的中点, N是A1B1 的中点,则直线 ON, AM的位置关系是 垂直 ______. 1 2 3 4 5 6 解析 答案 题组三 易错自纠 4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是 A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) ? D.? ? ? √ ? C.? ?- ? 3 3 3? ? ,- ,- ? 3 3 3? 3 3 3? ? , ,- ? 3 3 3? 解析 设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量, ? → ?n· AB=0, 则? ? → AC=0, ?n· ? ?-x+y=0, 化简得? ? ?-x+z=0, ∴x=y=z.故选C. 1 2 3 4 5 6 解析 答案 5.直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5), 则有 A.l∥α B.l⊥α C.l与α斜交 D.l α或l∥α √ 解析 由a=-n知,n∥a,则有l⊥α,故选B. 1 2 3 4 5 6 解析 答案 6.已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则 A.α∥β B.α⊥β D.以上均不对 √ C.α,β相交但不垂直 解析 ∵n1≠λn2,且n1· n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0, ∴α,β既不平行,也不垂直. 1 2 3 4 5 6 解析 答案 题型分类 深度剖析 题型一 利用空间向量证明平行问题 师生共研 典例 (2018· 大理月考)如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正 方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA, PD,CD的中点.求证:PB∥平面EFG. 证明 引申探究 若本例中条件不变,证明平面EFG∥平面PBC. → → 证明 ∵EF=(0,1,0),BC=(0,2,0), → → ∴BC=2EF,∴BC∥EF. 又∵EF?平面PBC,BC 平面PBC,∴EF∥平面PBC, 同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF=F,EF,GF 平面EFG, ∴平面EFG∥平面PBC. 证明 思维升华 (1) 恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是 运用向量法证明平行和垂直的关键. (2) 证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量 的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共 面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明 直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 跟踪训练 如图,在四面体 A - BCD 中, AD⊥ 平面 BCD , BC⊥CD , AD=2,BD=2 2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ=3QC. 证明:PQ∥平面BCD. 证明 题型二 命题点1 证线面垂直 利用空间向量证明垂直问题 多维探究 典例 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的 所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD. 证明 命题点2 证面面垂直 典例 (2017· 武汉

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