9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件


2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义

授课人:吕许凤

2015-03-23

教学目标 1. 掌握平面向量的数量积及其几何 意义 2. 掌握平面向量的数量积的重要性 质及运算律 3.平面向量的数量积简单应用 4.掌握向量垂直的条件

思、议

1.平面向量数量积的定义 2.向量的数量积的几何意义 3. 向量的数量积的性质 4. 向量的数量积的运算律

1.平面向量数量积的定义

已知两非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ ,则把数量 |a||b|· cos θ 叫做a与b的_________ 内积 , 数量积 (或______) ___________ a· b=|a||b|cos θ. 记作a· b,即______________ 0 规定零向量与任一向量的数量积均为______.


想一想
1.向量的数量积与向量的数乘相同吗? 提示:不相同.向量的数量积a· b是一个实数;数乘向量λa是 一个向量. 做一做

练习 1. 若 |m| = 4 , |n| = 6 , m 与 n 的夹角为 135°,则 m· n=

2? ? 解析:m· n=|m||n|cos 135° =4×6× - =-12 2. ? 2?
答案:- 12 2

________.

2.向量的数量积的几何意义 (1)投影:|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上) 投影. 的________ (2)几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投 |b|cos θ 影___________ 的乘积.

想一想
3.投影是向量吗? 提示:投影是数量而不是向量,它可正可负可为零,它的符 号由θ的取值决定.

4.向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角. (1)a⊥b?_____________. (2)当 a 与 b 同向时,a· b=_________, 当 a 与 b 反向时,a· b=__________. (3)a· a=______或|a|= a· a= a2. (4)cos
a· b |a||b| θ=__________.


|a||b| -|a||b|

a· b= 0

|a|2

≤ a||b|. (5)|a· b|_______|

做一做

练习 2.已知|a|=5,|b|=4,a· b=10 3,则 a 与 b 的夹角 θ=________.

答案:30°

5.向量数量积的运算律 b· a (1)a· b=_______ (交换律). λ(a· b)=a· (λb) 结合律). (2)(λa)· b=_______________( a· c+b· c (3)(a+b)· c=______________ (分配律).

想一想
6.对于向量a· b· c,等式(a· b)· c=a· (b· c)一定成立吗? 提示:不一定成立,∵若(a· b)· c≠0,其方向与c相同或相反, 而a· (b· c)≠0时其方向与a相同或相反,而a与c方向不一定相同, 故该等式不一定成立.

题型一

向量数量积的运算

展、评

例1 (1)已知 |a|= 4, |b|= 5,且向量 a 与 b 的夹角为 60° ,
求 (2a+ 3b)· (3a- 2b); → → (2)在 Rt△ ABC 中,∠ C= 90° , AB= 5, AC= 4,求AB · BC .

【解】

(1)(2a+ 3b)· (3a-2b)

= 6a2- 4a· b+9a· b- 6b2 = 6× 42+5×4× 5× cos 60° -6× 52=- 4. (2)在 Rt△ ABC 中,∠ C=90° , AB= 5, 3 AC= 4,故 BC=3,且 cos∠ ABC= , 5 → → AB与BC的夹角 θ=180° -∠ ABC, 3 → → → → ∴AB· BC=- |AB||BC|cos∠ ABC=- 5×3× =- 9. 5

【名师点评】

求两向量数量积的步骤是:

(1)求a与b的夹角; (2)分别求|a|,|b|; (3)求数量积,即a· b=|a||b|cos θ.应注意书写时 a与b之间用 “· ”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.

牛刀小试 跟踪训练 1.已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a



与b的夹角是60°时,分别求a· b.
解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°, ∴ a· b=|a|· |b|cos 0°=3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,

∴a· b=|a||b|cos 180°=3×6×(-1)=-18;

②当 a⊥ b 时,它们的夹角 θ= 90° , ∴ a· b= 0; ③当 a 与 b 的夹角是 60° 时,有 a· b= |a||b|cos 60° 1 = 3× 6× = 9. 2

题型二 例2

向量的模长问题

π (1)已知 |a|= |b|= 5,向量 a 与 b 的夹角 θ 为 , 3

则 |a+ b|= ________.

(2)(2012· 高考课标全国卷 )已知向量 a,b 夹角为 45° ,且 |a| = 1, |2a- b|= 10,则 |b|= ________.

【解析】 |a+ b|= =

1 25 (1)a· b= |a||b|cos θ= 5× 5× = . 2 2 ?a+b? 2= |a|2+ 2a· b+ |b|2

25 25+ 2× + 25= 5 3. 2

(2)把 |2a- b|= 10平方得 4|a|2-4|a|· |b|cos 45° + |b|2= 10.∵ |a|=1,∴ |b|2- 2 2|b|- 6=0. ∴ |b|= 3 2或 |b|=- 2(舍去 ).

【答案】

(1)5 3

(2)3 2

【名师点评】

(1)此类求解模问题一般转化为求模平方,

与向量数量积联系,要灵活应用 a2= |a|2,勿忘记开方. (2)向量数量积有关模的性质及作用: a· a= a2= |a|2 或 |a|= a2,此性质可用来求向量的模,可

以实现实数运算与向量运算的相互转化.

跟踪训练 2.已知 |a|= 4, |b|= 5, |a+ b|= 21.
(1)求 a· b; (2)求 (2a- b)· (a+ 3b).
解: 设 a 与 b 的夹角为 θ, 则 |a+b|2=(a+ b)2=(a+b)· (a + b)=a2+2a· b+ b2= |a|2+ |b|2+2|a||b|cos θ= 16+ 25+ 1 2×5×4×cos θ= 21,∴cos θ=- . 2

1 (1)a· b=|a||b|cos θ= 4×5×(- )=-10. 2 (2)(2a- b)· (a+ 3b)= 2|a|2+5a· b-3|b|2 = 2×16+5×(-10)-3×25=-93.

题型三 例3

两个向量的夹角和垂直

(1)已知a2=1,b2=2,(a-b)· a=0,求a与b的夹角.

(2)已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之
间的夹角为120°.求证:(a-b)⊥c.

【解】

(1)∵ (a- b)· a=0,∴a· b=a2=1. a2= 1,|b|= b2= 2,

∵a2=1,b2= 2,∴|a|=

a· b 2 ∴cos〈 a,b〉= = ,∴〈a, b〉=45° . |a|· |b| 2

(2)证明:由题意可得(a-b)· c=a· c-b· c =|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0, 所以(a-b)⊥c.
【名师点评】 求向量 a,b 的夹角 θ 的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算 a· b 及 |a|,|b|,在此基础 a· b 上结合数量积的定义或性质计算 cos θ= , 最后借助 |a||b| θ∈ [0, π],求出 θ 的值. (2)在个别含有 |a|,|b|与 a· b 的等量关系式中,常利用消 元思想计算 cos θ 的值.

跟踪训练 3.已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量 a=e1+e2,b=e2-2e1的夹角.

解:设 a,b 的夹角为 θ,∵单位向量的夹角为 60° , 1 ∴ e1 · e2= |e1 ||e2 |cos 60° = . 2 ∴ a· b=(e1+ e2 )· (e2- 2e1)
2 = e1 · e2+ e2 e2 2- 2e1- 2e1 ·

1 3 2 2 = e2 - 2e1 - e1 · e2= 1- 2- =- , 2 2

|a|= =

a2=

? e1+ e2? 2=

2 e2 + e e2 1 2 + 2 e1 ·

1+1+1+ = 3 , |b| =

b2 =

? e2-2e1?2 = 3.

e2 e2+4e2 2 - 4 e1 · 1= 3 - 2

1 1+4-4× = 2

a· b 1 ∴ cos θ= = =- . 2 |a||b| 3· 3 ∵ θ∈[0, π], ∴ θ=120° .

高考链接

规范解答 例4

应用向量的模及夹角求解

(本题满分12分)已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角

是120°.
(1)计算|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?

1 【解】 由已知, a· b= 4×8×(- )=-16 ? .2 分 2 (1)∵ (4a- 2b)2= 16a2-16a· b+ 4b2? = 16×16- 16×(-16)+4×64 = 3× 162, 4 分 ∴ |4a- 2b|= 16 3.6 分

(2)若(a+2b)⊥(ka-b), 则(a+2b)· (ka-b)=0 .8分 ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0,10分 即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.12分

跟踪训练

1 1 4.已知 |a|= 1, a· b= , (a- b)· (a+ b)= . 2 2 (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求 |a+ b|.
1 1 2 2 解:(1)由(a-b)· (a+b)= ,得 |a| -|b| = , 2 2 2 又|a|=1,∴|b|= . 2

a· b 又 a· b= |a||b|cos θ,∴ cos θ= = |a||b|

2 = , 2 2 1× 2

1 2

π π 又 θ∈ [0, π],∴ θ= ,故 a 与 b 的夹角为 . 4 4 (2)|a+ b|= = ?a+b? 2= |a|2+ 2a· b+ |b|2

1 1 10 1+2× + = . 2 2 2

本节小结: 1.平面向量数量积的定义 2.向量的数量积的几何意义 3. 向量的数量积的性质 4. 向量的数量积的运算律

方法感悟
1.向量数量积的几何意义,是一个向量的长度乘以另一向量 在其上的投影值.这个投影值可正可负也可以为零,向量的 数量积的结果是一个实数. 2.数量积的运算律只适合交换律,加乘分配律及数乘结合律 ,但不适合乘法结合律,即(a· b)· c≠a· (b· c),这里是因为a· b, b· c都是实数,(a· b)· c与向量c方向相同或相反.a· (b· c)与向量a

方向相同或相反,而a与c不一定共线,就是a与c共线,(a· b)· c
与a· (b· c)也不一定相等.

3.向量数量积的性质及作用 设a和b是非零向量,a与b的夹角为θ. (1)a⊥b?a· b=0,此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直 推出等量关系. (2) 当 a 与 b 同向时, a· b = |a||b| ,当 a 与 b 反向时, a· b =-

|a||b|,即当a与b共线时,|a· b|=|a||b|,此性质可用来证
明向量共线.
(3)a· a=a2= |a|2 或 |a|= a2,此性质可用来求向量

的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. a· b (4)cos θ= ,此性质可求 a 与 b 的夹角. |a||b|


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com