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2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.1 第二课时 分类计数原理与分步计数原理的应用-缺答案

2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.1 第二课时 分类计数原理与分步计数原理的应用-缺答案

数学 第二课时 分类计数原理与分步计数原理的应用 [对应学生用书P5] 组数问题 [例 1] 从 0,1,2,3,4,5 这些数字中选出 4 个,能组成多少个无重复数字且能被 5 整除的 四位数? [思路点拨] 能被 5 整除的数分为末位数字为 0 及末位数字为 5 两类. [精解详析] 满足条件的四位数可分为两类: 第一类是 0 在末位的,需确定前三位数,分三步完成,第一步:确定首位有 5 种方法; 第二步,确定百位有 4 种方法;第三步,确定十位有 3 种方法. 所以第一类共有 5×4×3=60(个). 第二类是 5 在末位,前三位数也分三步完成.第一步确定首位有 4 种方法,第二步, 确定百位有 4 种方法,第三步确定十位有 3 种方法. 第二类共有 4×4×3=48(个). 所以,满足条件的四位数共有 60+48=108(个). [一点通] 对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类,分类中 再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成.如果正面分类较多,可采用间接法从反 面求解. 1.将 1,2,3 填入 3×3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右 面是一种填法,则不同的填写方法共有________种. 解析:由于 3×3 方格中,每行、每列均没有 重复数字,因此可从中间斜对角线填起.如图中的△,当△全为 1 时,有 2 种(即第一行第 2 列为 2 或 3,当第二列填 2 时,第三列只能 填 3,当第一行填完后,其他行的数字便可确定),当△全为 2 或 3 时, 分别有 2 种,共有 6 种;当△分别为 1,2,3 时,也共有 6 种,共 12 种. 答案:12 △ 1 3 2 2 1 3 3 2 1 △ △ 2.由 0,1,2,3,…,9 十个数字和一个虚数单位可以组成虚数的个数为________. 解析:复数 a+bi(a,b∈R)为虚数,则 a 有 10 种选法,b 有 9 种选法,根据分步计数 原理,共计 90 种选法. 答案:90 3.从 1,2,3,4 中选三个数字,组成无重复数字的整数,问:满足下列条件的数有多少 数学 个? (1)三位数; (2)三位偶数. 解:(1)三位数有三个数位 百位 ,故可分三个步骤完成: 第一步,排个位,从 1,2,3,4 中选 1 个数字,有 4 种方法; 第二步,排十位,从剩下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法; 第三步,排百位,可以从剩下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法. 根据分步计数原理,共有 4×3×2=24 个满足要求的三位数. (2)分三个步骤完成: 第一步,排个位,从 2,4 中选 1 个,有 2 种方法; 第二步,排十位,从余下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法; 第三步,排百位,只能从余下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法. 故共有 2×3×2=12 个三位偶数. 涂色与种植问题 [例 2] 如图,要给地图 A,B,C,D 四个区域分别涂上 3 种不同颜 色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种? [思路点拨] 根据地图的特点确定涂色的顺序,再进行计算,注意分类讨论. [精解详析] 按地图 A,B,C,D 四个区域依次涂色,分四步完成: 第一步,涂 A 区域,有 3 种选择; 第二步,涂 B 区域,有 2 种选择; 第三步,涂 C 区域,由于它与 A,B 区域颜色不同,有 1 种选择; 第四步,涂 D 区域,由于它与 B,C 区域颜色不同,有 1 种选择. 所以根据分步计数原理,得到不同的涂色方案种数共有 3×2×1×1=6. [一点通] 给区域涂色(种植)问题的一般思路: 为了便于分析问题, 先给区域(种植的品 种)标上相应序号,然后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类,最后利 用两个原理计数. 十位 个位 4.如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种, 要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同种法的种数为 ________种. 解析:先种 A 地有 4 种,再种 B 地有 3 种,若 C 地与 A 地种相同的花,则 C 地有 1 数学 种.D 地有 3 种;若 C 地与 A 地种不同花,则 C 地有 2 种,D 地有 2 种,即不同种法的种 数为 N=4×3×(1×3+2×2)=84. 答案:84 5.如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成,我们称这样的 图案为 L 型(每次旋转 90° 仍为 L 型图案), 那么在由 4×5 个小方格组成 的方格纸上可以画出不同位置的 L 型图案的个数是________. 解析:因为每四个小方格(2×2 型)中有 L 型图案 4 个,共有 2×2 型小方格 12 个,所以共有 L 型图案 4×12=48(个). 答案:48 6.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五个区域内,要求相 邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法? 解:①当 B 与 D 同色时,有 4×3×2×1×2=48 种不同的涂色方法; ②当 B 与 D 不同色时,有 4×3×2×1×1=24 种不同的涂色方法. 故共有 48+24=72 种不同的涂色方法. 简单的选择问题 [例 3] 有四位同学参加三项不同的竞赛. (1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛,有多少种不同结果? (2)每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同结果? [思路点拨] (1)分四步,让每一位同学都选择一项竞赛; (2)分三步,每一项竞赛都有一名同学参加. [精解详析] (1)学生可以选择竞赛项目,而竞赛项目对于学生无条件限制,所以每位 学生均有 3 个不同的机会.要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行, 因此需分四步.而每位学生均有 3 个不同机会,所以用分步计数原理可得 3×3×3×3=34 =

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