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重庆市綦江实验中学校2017_2018学年高一数学下学期半期考试试题理(含解析)

重庆市綦江实验中学校2017_2018学年高一数学下学期半期考试试题理(含解析)

。 。
2017-2018 学年度重庆市綦江实验中学校 2020 级半期考试

理科数学试题

一、单选题

1. 在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6= ( )

A. -1 B. 0 C. 1 D. 6

【答案】B

【解析】

根据题意知 a4=a2+(4-2)d,即

,解得 d=-1,



.选 B.

2. 数列 1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

分别根据符号特征和数值特征写出规律,写出通项公式。

【详解】由符号来看,奇数项为正,偶数项为负,所以符号满足



由数值 1,3,5,7,9…显然满足奇数,所以满足 2n-1,所以通项公式 为



选 C. 【点睛】对于用归纳法写复杂数列的通项公式,常分块写出规律,分子,分母,符号等分别 找到规律再组合成通项公式。

3. 设等差数列 的前 项和为 ,若



,则数列 的公差为( )

A. 3 B. 4 【答案】A 【解析】 【分析】

C. 5

D. 6

-1-

根据公式把 转化为 ,再求出 d. 【详解】

,故公差

.故选 B.

【点睛】本题考查两个常见变形公式





4. 函数

取得最小值时, 的值为( )

A.

B.

【答案】B 【解析】

C. 1 D. 2 ,

当且仅当 时取等号,此时 ,

故选:B.

5. 在△ABC 中,

,则△ABC 外接圆的半径为( )

A. 1 B.

C.

D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

由正弦定理

(其中 R 为外接圆半径)可求解。

【详解】由正弦定理可得外接圆半径

,故选 D.

【点睛】本题考查正弦定理的应用

(其中 R 为外接圆半径).

6. 已知

,则下列不等式中成立的是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】

因为

,则 ,



,所以 A、B、D 是错误的,

因为

为单调递减函数,所以

成立,故选 C.

7. 在锐角

中,角 所对的边长分别为 ,

,则角 等于( )

-2-

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】



可得:

8. 在

中,内角

所对的边分别为

则 的值为( )

A. 8 B. 16 【答案】A 【解析】 【分析】

C. 32

D. 64



,得

,再由

理求出边 a.

【详解】因为

,所以

,已知 ,

的面积为 , 解出 b,c.再由角 A 的余弦定



,解方程组



,由余弦定理得

,所以 . 故选 A. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,在解有关三角形的 题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定 理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到 的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考 虑两个定理都有可能用到.

9. 在平面直角坐标系中,不等式组

表示的平面区域的面积是( ).

A.

B. 4 C.

【答案】B

【解析】

【分析】

D. 2

-3-

由不等式组画出可行域,得到可行域是一个三角形,所以由三角形面积公式求得面积。

【详解】由约束条件画出可行域如下图,所以

,故选

B.
【点睛】本题是考查不等式组所表示约束条件的可行域面积问题,画出正确的图像是本题的 关键。 10. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为 难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有 一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地.”则此人第一天走的路程为( ) A. 192 里 B. 96 里 C. 63 里 D. 6 里 【答案】A 【解析】 设第一天走了 里,则 是以 为首项,以 为公比的等比数列,
根据题意得:
解得
-4-

故选

11. 已知实数 , ,

A.

B.

【答案】B

【解析】

C.

D.

∵,,



,则 的最小值是( )

当且仅当

,即 , 时取等号.

故选 B

点睛:本题主要考查了不等式,不等式求最值问题,属于中档题。解决此类问题,重要的思

路是如何应用均值不等式或其他重要不等式,很多情况下,要根据一正、二定、三取等的思

路去思考,本题根据条件构造

,然后乘“1”变形,即可形成所需条件,

应用均值不等式.

12. 已知等比数列 ,



,且

,则 的取值范围是

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】

设等比数列 的公比为 ,则

,解得 ,









∴数列

是首项为 ,公比为 的等比数列,

-5-





∴ .故 的取值范围是

.选 D.

二、填空题(20 分)

13. 在

中,角 , , 所对的边分别为 ,,,若 , , ,则 =___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由角 B 的余弦定理代入三边长可求得角 B.

【详解】由余弦定理可得

所以填 . 【点睛】本题是已知三角形三边求角的类型的解三角形题型,选择合适的余弦定理是解本题 的关键。

14. 已知正数 x、y 满足

,则 的最小值是__________.

【答案】18 【解析】

试题分析:

考点:均值不等式求最值

15. 已知数列 的前 n 项和是

, 则数列的通项 =_______.

【答案】 【解析】 【分析】

由于知道 的表达式,所以应用公式

可求的通项 的表达式。

【详解】由

,所以

,所以



, 当 n=1 时 ,

,满足

-6-

【点睛】本题考查已知数列和求数列通项的题型,常用公式



16. 在 中,

,则 的取值范围为______.

【答案】

【解析】 【分析】

由正弦定理角的关系转化为边的关系

,再由角 B 的余弦定理求得

,得

,即可求。

【详解】由题意及正弦定理得

,即



由余弦定理的推论得





,∴ ,







。答案: 。

【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值求范围问题,这就需要根据正、余弦定理结合已 知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化 第三步:求结果,判定是否符合条件,或有多解情况。 三、解答题

17. 已知等比数列 中,



(1)求数列 的通项公式;

(2)设等差数列 中,

,求数列 的前 项和 .

【答案】(1)

;(2)

【解析】

试题分析:(1)利用基本量法求等比数列的通项公式;(2)求等差数列 的前 项和 .

试题解析:

-7-

解:(1)设等比数列 的公比为 由已知,得

(2)由(1)得

设等差数列 的公差为 ,则



,解得 )

解得



18. 在

中,内角

对边的边长分别是 ,已知 , .

(1)若 (2)若

的面积等于 ,求 ;

,求

的面积.

【答案】(1)

;(2)

【解析】

试 题 分 析 :( 1 ) 由 已 知 可 以 得 到 两 个 有 关 于 边 的 方 程 , 一 个 是 余 弦 定 理 ,

,一个是面积公式,

,两个方程联立解得 ;(2)

由正弦定理得到

,同样结合上一问的余弦定理,解得 ,然后代入面积公式



试题解析:(1)由余弦定理得,

又因为

的面积等于 ,所以

, ,得 .

联立方程组

解得 , .

(2)由正弦定理,已知条件化为 ,

联立方程组

解得





所以

的面积



考点:1.余弦定理;2.正弦定理;3.面积公式.

19. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,且



.

(1)求数列 的通项公式;

(2)若

,数列

的前 项和为 ,求满足 的正整数 的最小值.

-8-

【答案】(1)

;(2)5

【解析】

(1)由题意知,

,∴

设等比数列 的公比为 ,

又∵ ,∴

,化简得

,得

,

,解得 .



.

(2)由(1)知,

.



,



.

令 ,得

,解得 ,

∴满足 的正整数 的最小值是 5.

20. 已知在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,且有

.

(1)求角 的大小;

(2)当 时,求 的最大值.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】

试题分析: 根据题意和正弦定理及和差角的三角函数公式,易得 ,由三角形内角的范

围可得;

利用余弦定理,基本不等式的性质,三角形面积计算公式即可得出。

解析:(1)由

及正弦定理,







,即

.

因为在

中,





所以

,所以

,得 .

(2)由余弦定理,得







-9-



,当且仅当

时,取等号.

所以

,即 的最大值为 .

点睛:在解三角形的过程中运用正弦定理进行边角的互化,通常情况下求什么化成什么,要 求角,则把条件里的边化为角,然后利用和差的三角函数进行化简就可以求得结果。在求三 角形面积时运用面积公式,遇到最值题目需要借助基本不等式解答 21. 已知首项都是 1 的两个数列{ },{ }( ≠0,n∈N*)满足

(1)令

,求数列{ }的通项公式;

(2)若 = ,求数列{ }的前 n 项和 .

【答案】(1)

;(2)

【解析】 【分析】

(1)

两边同时除以

,得

,可得 .

(2)由(1)

,所以

,由错位相减法可求和。

【详解】(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以

,即 cn+1-cn=2,

所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列,故 cn=2n-1. (2)由 bn=3n-1,知 an=(2n-1)3n-1,于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1, 3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n, 将两式相减得-2Sn=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1.

【点睛】当数列通项形式为

,且数列{ }是等差数列,数列 是等比数列,则数列

的前 n 项和,我们常采用错位相减法。

22. 如图,甲船以每小时 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲

船位于 处时,乙船位于甲船的北偏西 方向的 处,此时两船相距 海里,当甲船航行

分钟到达 处时,乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处,此时两船相距 海里,问乙

- 10 -

船每小时航行多少海里?(结论保留根号形式)

【答案】 【解析】 试题分析:连结

,根据题意计算 ,推出



的值,再根据出根据

是等边三角形,由此到此,导出

的值,再根据余弦定理,在

离,最后由时间求出乙船航行的速度.

试题解析:如图,连结 ,由已知



中,先求出 ,

的距

,又



是等边三角形, ,

由已知,







中,由余弦定理,




- 11 -

因此,乙船的速度的大小为

(海里/小时)

答:乙船每小时航行 海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题.

- 12 -


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