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《试验设计与数据处理》讲稿

《试验设计与数据处理》讲稿


第 9章

配方试验设计

配方或配比问题是工业生产及科学试验中经常遇到的 另一类问题:

? 因素是配比—百分比、百分率:无因次(与总量无 关),因素一般是不独立的:?xj=1
? 取值有界性:0≤xj≤1 配方设计——建立试验指标y与混料系统中各组分xj的 回归方程,再利用回归方程来求取最佳配方。 主要内容: 一、配方试验设计的约束条件 二、单纯形配方设计 三、配方均匀设计

1

9. 1 配方试验设计约束条件
根据配方试验的特点,如果用 y 表示试验指标, x1 , x2 , … , xm 表示配方中 m 种组分各占的百分比,显 然每个组分的比例必须是非负的: xj≥0 (j=1,2,…,m), 而且它们的总和必须是1: x1+x2+…+xm=1 这就是配方试验设计的约束条件。 混料约束条件决定了混料配方设计中的数学模型,不 同于一般回归设计中所采用的模型。
2

9. 2 单纯形配方设计
9.2.1 单纯形的概念
平面上的正规单纯形: 等边三角形 三维空间的正规单纯形: 正四面体

特点:取正规单纯形的高为1,则此单纯形内任一点到 单纯形各边(面)的距离之和为1 。 3

9.2.2 单纯形配方设计的回归模型 在单纯形混料配方设计中,m 种组分的d 次多项 式回归模型为Scheffe多项式回归方程。 ———规范多项式回归方程:

一次式(d = 1):

y ? ? bj x j
j ?1
m

m

回归系数: 有m个 m(m+1)/2 个

二次式(d = 2):y ? ? b j x j ? ? bkj xk x j
j ?1 k? j m

不完全三次式(d = 3): y ? ? b j x j ? ? bkj xk x j ?
j ?1 k? j

l ?k ? j

?b

lkj l k

x x xj

完全三次式(d = 3):
m j ?1 k? j k? j

m(m+1) (m+2) /3!个
l ?k ? j

y ? ? b j x j ? ? bkj xk x j ? ? ? kj xk x j ( xk ? x j ) ?

?b

lkj l k

x x xj

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9.2.3 单纯形格子点设计 ——试验点在相应阶数的正规单纯形的格子点上 (一) 单纯形格子点设计原理 设{m,d}为单纯形格子点设计中,m 组分d 阶 格子点集,例如: {3,2}为组分数m = 3的2阶格子点集
其中:3 表示正规单纯形的顶点个数(m = 3)
2 表示每边的等分数(d = 2)

(m ? d ? 1)! {m,d} 中共有 d !(m ? 1)! 个点

与所采用的d 阶完全型规范多项式回归方程中待 估计的回归系数的个数相等,故单纯形格子点设计是 5 饱和设计。

{ 3, 1} 3个试验点

{ 3, 2} 6个试验点

{ 3, 2} 10个试验点

1阶

2阶

3阶

{ 4 , 2} 10个试验点 2阶

{m,d}子集中试验点为:
(m ? d ? 1)! 回归系数 ? d !(m ? 1)! 的个数

m—组分数 d—等分数,多项式阶数
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(二)无约束单纯形格子点设计

无约束的配方设计,是指除了约束条件: xj≥0 (j=1,2,…,m), x1+x2+…+xm=1
之外,不再有对各组分含量加以限制的其他条件。 各组分含量 xj的变化范围可以用高为 1的正单纯形表示。 xj的取值与阶数d有关,为1 / d的倍数,即: xj = 0,l / d,2 / d,…,d / d = 1 如果对xj进行线性变换(即编码),则: xj = zj, (xj为自然变量 zj为规范变量) 所以对于无约束单纯形格子点设计,不必区分xj 和 zj 单纯形格子点设计表可参考附录9(P.228)
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单纯形格子点设计表————附录9(P.228)

组分数m

阶数d

试验点数n
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(三)有约束单纯形格子点设计 除了xj≥0 (j=1,2,…,m), x1+x2+…+xm=1约束 条件之外,还有其他约束条件,如: aj≤xj≤bj,j = l,2,…,m 这种配方称为有约束的配方。 X 1=1 (0.2≤x1≤0.6)

对于有约束配方的设计, 试验点空间变得更加复 0. 6 杂,是正规单纯形内的 一个凸几何体。不是规 则的单纯形,不能使用 0. 2 单纯形格子点设计。

0. 1 0. 4

X 2=1

0. 5

0. 2

X 3=1

(0.2≤x2≤0.5)

9 (0.1≤x3≤0.4)

有下界约束的单纯形格子点设计:
试验范围为原正规单纯形内的一个规则单纯形(如 图9-4所示),可以使用单纯形设计。

在选用单纯形格子点设计表之前, 应将自然变量xj 转换成规范变量 (编码值)zj。
编码公式如下:
x j ? a j ? (1 ? ? a j ) z j
j ?1 m



zj ?

xj ? aj 1? ? a j
j ?1 m

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(四)单纯形格子点设计基本步骤—用例9-1说明

(1)明确试验指标,确定混料组分 试验指标:综合评分,越高越好 混料组分:纯净水(x1)、白砂糖(x2)和红葡萄浓缩汁(x3),
其中要求红葡萄浓缩汁(x3)的含量不得低于10%, 即三种组分有下界约束:al = 0,a2 = 0,a3 = 0.1

用编码公式将自然变量xj 转换成规范变量zj:
x1 ? (1 ? ? a j ) z3 ? a3 ? (1 ? 0.1) z3 ? 0 ? 0.9 z1
x2 ? (1 ? ? a j ) z2 ? a2 ? (1 ? 0.1) z3 ? 0 ? 0.9 z3 x3 ? (1 ? ? a j ) z3 ? a3 ? (1 ? 0.1) z3 ? 0 ? 0.9 z1 ? 0.1
j ?1 j ?1 3

3

j ?1 3

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(2)选择单纯形格子点设计表,进行试验设计 ※ 根据组分数 m和阶数 d,选择相应的 { m, d} 单纯形 格子点设计表。 ※ 注意:设计表中的数值为规范变量zj 本例中 m=3,取d=2,故选择{3,2}单纯形格子点设计 表,用编码公式计算出自然变量 xj 的取值,试验方案和 试验结果见表9-4。

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(3)回归方程的建立

直接将每个试验结果代入对应的回归模型中,解方程组, 可求出各回归系数。 ∵ d 阶完全型规范多项式回归方程数=回归系数的个数 ∴ 回归方程有定解(单纯形格子点设计是饱和设计)
书中解出试验指标y 与规范变量zj 的回归方程为: y = 6.5z1+5.5z2 + 7.5z3 + 10z1z2-0.8z1z3-4.4z2z3 (4)最优配方的确定——求回归方程的极值 用Excel中的“规划求解”工具求最佳配 方 (5)回归方程的回代

y =-0.833+7.32x1+6.65x2+8.33x3+12.35x1x2-0.99x1x3-5.43x2x3

用编码公式将规范变量zj转换成自然变量xj :

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9.2.4 单纯形重心设计 ——试验点在正规单纯形的重心上
点的重心就是自己本身 单纯形 维数 重心数 总重心数 1 1 点(0维) 0 0 2 3 线(1维) 1 1 0 3 正三角形 1 3 7 (2维) 2 1 0 4 正四面体 (3维) 1 2 3 6 4 1 15

0

m为单纯形的顶点数 ——配方的组分数

m-1维

2m-1 14

单纯形重心设计的基本步骤: 与单纯形格子点试验设计的方法基本相同, 区别:试验点设计表不同——单纯形重心设计表 (见附录10 P.228~229) (1)明确试验指标,确定混料组分 (2)选择单纯形重心设计表,进行试验设计 (3)回归方程的建立 (4)最优配方的确定——求回归方程的极值 (5)回归方程的回代

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9.3 配方均匀设计
——试验点在正规单纯形上均匀分布
与单纯形配方试验设计的方法基本相同, 区别:试验点设计表不同——配方均匀设计表 (一)配方均匀设计表 UMn(n m) 式中,UM──配方均匀设计表的符号; n ──试验次数; m ── 组分数。 注意:配方均匀设计表是由均匀设计表变换出来的,所 以它也有带“*”的表, 见附录11 (P.229~239)
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(二) 配方均匀设计的基本步骤——例9-3 某种新材料由三种金属组成:x1,x2,x3 , 选择了UM15 (153)表来安排配方试验, 结果列于表9-7中。试确定最优配方。 步骤: 这两步题目 (1)明确试验指标,确定混料组分 已完成 (2)选择配方均匀设计表,进行试验设计 配方均匀设计表的选择由组分数m和试验次数n确定: n越大,试验点分布越均匀,但计算越复杂 n越小,计算简单,但不均匀:n≥回归系数的个数 (3)回归方程的建立——解方程法、回归分析法 (4)最优配方的确定——直观分析法 回归分析法—回归方程的极值
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