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应用数理统计05_图文

应用数理统计05_图文

第五讲 估计量的优良性准则(续)
一、一致最小方差无偏估计(续) 二、信息不等式 三、相合估计

一、一致最小方差无偏估计(续)
定理4.3(Lehmann-Scheffe)
设S ( x )是完全充分统计量,? ( x )是q(? )的

无偏估计,则T ( x ) ? E? (? ( x ) | S ( x ))是q(? )的

UMVUE,进一步,如果对所有? ? ?,
Var? (T ( x )) ? ?, 则T ( x )是q(? )唯一的UMVUE 。

注: Lehmann-Scheffe定理实际上给出了两
种寻找UMVUE的方法,但首先必须知
道完全充分统计量T ( x )。

(1)若h(T ( x ))是q(? )无偏统计量,则h(T ( x ))
也是q(? )的UMVUE 。即寻找完全充分统

计量的函数使之成为 q(? ) 的无偏估计。 (2) 若能获得q(? )的一个无偏估计量? ( x ),则
E (? ( x ) | T ( x ))就是q(? )的UMVUE 。

例4.5 设总体X服从正态分布N ( ? ,? ),
2

? ? ( ? ,? )未知, x1 , x2 ,?, xn是来自总体的
2

求参数?和? 2的UMVUE 。 样本。



首先求完全充分统计量。 由于
1 ( x ? ? )2 ? ? p( x ,? ) ? exp ?? ? 2 2? ? 2? ? ?
1 ? e 2? ?
?2 ? 2 2?

1 2? ?? exp ? 2 x ? 2 x ? 2? ?? ?

1 ? ?? 由于w ? ? 2 ,? 2 ?的值域包含内点,所以由 2? ? ?? 定理4.2可知完全充分统计量为

T ( x ) ? ( ? xi , ? x ).
i ?1 i ?1 2 i

n

n

1 n 而我们已经知道x ? ? xi是?的无偏估计, n i ?1 ? 2未 且是完全充分统计量 T ( x )的函数, 故当

知时,? 的UMVUE为 x 。

x 注: 无论 ? 2 是已知或未知, 都是?的UMVUE 。

1 n 1 ? n 2 2 2? 又 S2 ? ? ( x i ? x ) ? n ? 1 ? ? x i ? nx ? n ? 1 i ?1 ? i ?1 ?
是? 的无偏估计,且是 完全充分统计量T ( x )
2

的函数, 故当?未知时,? 2的UMVUE 为样本
方差S 2。

注:当?已知时,S 不是? 的UMVUE。
2 2

例4.6 设总体X在[0,? ]上服从均匀分布,其中

?是未知参数, x1 , x2 ,?, xn是来自总体的样本,
试求参数?的UMVUE 。

解 由于
?1 ? n , 0 ? x( 1 ) ? x( n ) ? ? , p( x1 , x2 ,?, xn ;? ) ? ?? ? 0, otherwise . ?

?

1

?

n

I ( x( n ) ?? ) I{0? x(1) } ( x)

由因子分解定理可知 x( n ) ? max{ x1 , x2 ,?, xn } 它是充分统计量。下证它也是完全的。
由P{ x( n ) ? t } ? ? P{ x1 ? t }? 可知x( n )的密度函数为
n

?n? t p( t ;? ) ? ? ? 0
E? ( g ( x( n ) )) ? n?

? n n?1

0 ? t ?? otherwise

,

对任何函数g( t )及? ? 0,由
?n ?

?0 g( t )t
?

n ?1

dt ? 0

可得对所有的? ? 0, 有 ?0 g ( t )t dt ? 0, 这个只
n ?1

因而x( n )也是完全的。 有在g ( t ) ? 0时才能成立,
又因为
E? ( x( n ) ) ?

? n ?0

n

?

n? t dt ? , n ?1
n

所以?的无偏估计为 ? ? ( n ? 1) x( n ) , ? n 且是完全充分统计量x( n )的函数,故它就是?的 UMVUE。

二、信息不等式
在上一节,我们知道如果UMVUE存在, 则它在无偏估计类中是最好的,且其方差不可 能是零,因为参数 q(? ) 的方差为零的平凡估计 不是无偏估计。 那么,现在的问题是: 对 q(? ) 的无偏估计类 U q,在一定的条件下, (1) 既然无偏估计的方差不是零, 则必存在

一个下界, 这个下界到底是多少?

(2) 若UMVUE存在,那么它的方差是否可以 达到这个下界? 问题(1)已由Cramer-Rao不等式(信息不 等式)揭示;问题(2)不一定成立,我们举例 予以阐述。 为了使问题简化,在这一小节中,我们仅讨 单参数和连续总体情况。对多参数及离散总体 也有相应结论,可参看《高等数理统计学》

(茆诗松),或《线性统计推断及应用》 (C.R.Rao)。
设分布族为{ P? ,? ? ?},密度函数为p( x ,? ),

?为直线上的一个开区间。 满足下述条件的分布
族{ P? ,? ? ?}称为 Cramer-Rao正则族:

(1) 支撑A ? { x : p( x ,? ) ? 0}与?无关,且对任 ? 一x ? A,? ? ?, 偏导数 ln p( x ,? )存在。 ?? (2)如果对所有? ? ?,T ( x )是满足E? | T |? ?

任一统计量,则对T ( x ) p( x ,? ),积分和微 分可交换次序,即 ? ?? ?? ???? ??? T ( x ) p( x ,? )dx1 ?dxn ?? ?? ?? ? ? ??? ? ??? T ( x ) p( x ,? )dx1 ?dxn ?? 当仅有(1)成立时,我们可以定义所谓的 Fisher 信息量(Fisher Information Number)
? ? ? I (? ) ? E ? ln p( x ,? ) ? ? ?? ?
2

(0 ? I (? ) ? ?)

例4.7 设总体分布是Poisson分布族,即
p( x ,? ) ?

?x
x!

e , x ? 0,1,?.

??


因而

? x ln p( x ,? ) ? ? 1, ?? ? x x 1 2 I (? ) ? E ( ? 1) ? Var ( ) ? .

?

?

?

可以证 如果X 1 , X 2 ,?, X n是来自总体的样本, ? 2 明 I (? ) ? nI 1 (? ) , 其中I1 (? ) ? E ( ln p( X 1 ,? )) . ??

定理4.4(Cramer-Rao or Information Inequality )
设T ( X )是对所有? ? ?满足Var? (T ( X )) ? ??

的统计量, ? (? ) ? E? (T ( X ))。 如果分布族是 记 Cramer-Rao正则族,且0 ? I (? ) ? ?, 则对所
有的? ? ?,? (? )是可微的,且

?(? ))2 (? Var? (T ( X )) ? . I (? )

证明

由于对所有 ? ? ? , 有

? (? ) ? ??? ???? T ( x ) p( x ,? )dx1 ?dxn
等式两边对求导可得
? ? ?(? ) ? ??? ???? T ( x ) p( x ,? )dx1 ?dxn ?? ?? ?? ? ? ??? ???? T ( x ) (ln p( x ,? )) p( x ,? )dx1 ?dxn ?? ? ? ? ? E ? T ( x ) ln p( x ,? ) ?. ?? ? ?
?? ??

??

??

有 又因为对所有的 ? ? ?,

??? ???? p( x ,? )dx1 ?dxn ? 1
等式两边对求导可得 ?? ?? ? ??? ???? ?? p( x ,? )dx1 ?dxn ? 0.
? ln p( x ,? ) 即就是 ? ?? p( x ,? )dx1 ?dxn ? 0. ?? ?? ??
?? ??

??

??

这样就有

? ? ln p( x ,? ) ? E? ? ? 0. ?? ? ?

? ? ? 从而有 ? ?(? ) ? E ? T ( x ) ln p( x ,? ) ? ?? ? ? ? ? ? ? Cov ? T ( x ), ln p( x ,? ) ?. ?? ? ? 由Schwarz Inequality

| E ( XY ) |? E | XY |? E ( X 2 ) E (Y 2 )

? ? ?(? ) |? Cov ? T ( x ), ln p( x ,? ) ? |? ? ?? ? ?
? ? ? ? Var (T ( X )) Var ? ln p( x ,? ) ? ? ?? ?


? ? ln p( x ,? ) ? ? ? ln p( x ,? ) ? Var ? ? ? E? ? ? I (? ) ?? ?? ? ? ? ?
2

所以有 | ? ?(? ) |? Var (T ( X )) I (? )

即就是

(? ?(? ))2 Var? (T ( X )) ? . I (? )

在信息不等式中,下界通过 T ( X ) 依赖于 ? (? ), 因它是的 T ( X ) 数学期望, 也就是说对

不同的统计量而言,下界是变化的。如果将此

定理应用于参数q(? )的无偏估计类U q就有 :

对参数q(? )的任一无偏估计T ( X ) ? U q , 有 (q?(? ))2 Var? (T ( X )) ? . I (? )
特别地,当q(? ) ? ?时,对任一T ( X ) ? U? , 有

1 Var? (T ( X )) ? . I (? ) 1 通常称量 为Cramer-Rao下界。 I (? )

注意:(1)在以上三个不等式中
I (? ) ? nI 1 (? ) ? 其中I1 (? ) ? E ( ln p( X 1 ,? ))2 , p( x1 ,? )为总体 ?? 的密度函数或分布率。

通常将 I 1 (? ) 看成一次观察所能获得的关于 参数 ? 的信息,即一个观测值 X 1所含? 的信息, 那么 I (? ) 就表示样本 X 1 ,? , X n 所含? 的信息。

(2) 在将定理4.4应用于无偏估计类 U q 时, 一定要注意定理的条件是否满足。 Cramer 在1946年举例说明当定理的条件不满足时, 存在这样的无偏估计,其方差小于信息不等
设 式的下界。这个例子为: X 1 , X 2 ,?, X n是来

X 自总体X的样本, 的密度函数为

?e p( x ,? ) ? ? ? 0

?( x ?? )

x ?? otherwise

.

取充分统计量 T ( X ) ? X (1) 作为参数 ? 的估计, 通过取其数学期望可获得参数的无偏估计为 ? ( X ) ? X (1) ? 1 , ? n ? ( X )) ? 1 ? 1 ? 1 则有 Var? (? ( n ? 1). 2 n n I (? ) 其具体证明过程课后自己完成。 对无偏估计类而言,既然信息不等式给出 了方差的下界,那么UMVUE方差是否一定取

得这个下界? 我们用下述例子说明不一定。
例4.8 设X 1 , X 2 ,?, X n来自正态总体N ( ? ,1)的

? 2 的UMVUE,并 一个简单样本。试求参数
证明其方差大于信息不等式的下界。 解 由于
1 ( x ? ? )2 ? ? p( x , ? ) ? exp ?? ? 2? 2 ? ? 2 2 1 ? ? ? ? x ? ? exp ?? ? exp ?? ? exp??x?. 2? ? 2? ? 2?

由定理4.2知完全充分统计量为 ? X i ,所以 ? i ?1 1 UMVUE为 X ,且服从 N ( ? , 。 而由 ) n 1 2 2 2 2 ? Var ( X ) ? E ( X ) ? ( E ( X )) ? E ( X ) ? ? n ? 2 1? 2 有 E? X ? ? ? ? . n? ? 1 2 这样X ? 是? 2的无偏估计,且是完全充分 n ? 2 的UMVUE。 统计量 X的函数,所以它是 为了计算UMVUE的方差, 令 Z ? n( X ? ? ),

n

则Z服从标准正态分布N (0,1)。则 1 2 2 Var ( X ? ) ? Var ( X ) n 2 2 4? 1 2 . ? 2 Var {( Z ? n? ) } ? 2 ? n n n 2 ? ? ? 而 I1 ( ? ) ? E ? ln p( x , ? ) ? ? ?? ? 2 2 ? ? 1 ? ( x ? ? ) ?? ? E ? ln exp ?? ?? 2? 2 ?? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ( x ? ? ) ? ? ? E ( x ? ? )2 ? 1 ? E ? ?? ?? 2 ?? ? ?? ?

所以

1 2 4 ? 2 4 ? 2 (( ? 2 )?)2 2 Var ( X ? ) ? 2 ? ? , ? n n nI 1 ( ? ) n n ? 2 的UMVUE的方差未达到信息不等 这说明

式的下界。
如果参数q(? )的无偏估计q( X )的方差取得 ?

信息不等式的下界, 即
?(? ))2 (q Var (q( X )) ? ? , I (? ) 则q( X )必是参数q(? )的UMVUE 。 ?

例4.9 设X 1 , X 2 ,?, X n来自正态总体N (0,? 2 )的
试求参数? 的UMVUE 。 一个简单样本。
2



由于
? ? 2 ? I1 (? ) ? ? E ? ln p( X 1 ,? ) ? 2 2 ? ?(? ) ? ? ?2 1 x2 ?? ? ? ?E? ln exp ?? 2 ? ? 2 2 2 2?? ? 2? ? ? ? ?(? )
2 2

x ? ? 1 1 ? ?E? ? 2 3? ? , 2 2 2 2 ? 2(? ) (? ) ? 2(? )
2

从而 I (? ) ?
2

n 2(? )
2
2 2

。 由信息不等式知,对任
2

一无偏估计? ( X ) ? U? , 有 ? 2 ?)2 2(? 2 )2 ((? ) 2 Var (? ( X )) ? ? . ? I (? ) n 2 1 n 2 Xi 2 若取? ( X ) ? ? X i , 由 2 服从? 2 (1)可知 ? n i ?1 ? 2 2 n n? ( X ) Xi ? 2 ? ? 2 ~ ? ( n) 2

?

i ?1

?

n? 2 ( X ) ? n? 2 ( X ) ? ? ? ? ? 所以 E ? ? ? n, Var ? ? ? 2 n, 2 2 ? ? ? ? ? ?

2(? 2 )2 即 E (? 2 ( X )) ? ? 2 , Var (? 2 ( X )) ? ? . ? n 2(? 2 )2 ((? 2 )?)2 2 故 Var (? ( X )) ? ? , ? n I (? ) 1 n 2 2 2 从而? ( X ) ? ? X i 是参数? 的UMVUE 。 ? n i ?1

定义4.4 设分布族{ P? ,? ? ?}是Cramer ? Rao正 如果存在某无偏估计 则族, (? )是可估参数, q

q( X ) ? U q , 其方差达到信息不等式的下界, ? 即

?(? ))2 (q Var (q( X )) ? ? , I (? ) 则称 q( X ) 为 q(? )的 有效估计。 ?
(Efficient Estimate)

定义4.5 对参数q(? )的任一无偏估计q( X ) ? U q , ? (q?(? ))2 e(q( X )) ? ? Var (q( X )) , ? 令 I (? ) 则称e(q( X ))为估计q(? )的有效率(Efficiency)。 ?
? 显然 0 ? e(q( X )) ? 1, 因此,有效估计乃是有效率为1的无偏估计。

定义4.6 设{Tn ( X )}是参数q(? )估计序列, 如果
对所有的? ? ?,都有

lim E? (Tn ( X )) ? q(? ),
n??

则称Tn ( X )为参数q(? )的 渐近无偏估计。
2

(Asymptotic Unbiased Estimate)

? n 是总 ?2 例如对证态总体 N ( ? ,? ) , 我们知道
体方差 ? 的有偏估计, 且 n ?1 2 2 E (? n ) ? ? . ? n
2

n ?1 2 2 ? ?? , ? 这样有 lim E (? ) ? lim n?? n?? n 2 2 故? n是总体方差? 的渐近无偏估计。 ?
2 n

定义4.7 设q(? )是可估参数, 如果存在无偏估

计序列qn ( X ) ? U q , 使得 ?
(q?(? ))2 lim e(q( X )) ? lim ? Var (q( X )) ? 1 ? n ?? n ?? I (? )

成立,则称 qn ( X )为 q(? )的 渐近有效估计。 ?
(Asymptotic Efficient Estimate)

例如X 1 ,?, X n是来自正态总体N (0,? 2 )的样本, 1 n 2 由例4.10知方差? 2的有效估计是 ? X i 。 n i ?1 由于 2 2 n ( n ? 1) Sn ( Xi ? X ) ? 2 ( n ? 1) ?? ~ 2 2 ? ? i ?1 2 ? ( n ? 1) S n ? E? ? ? n ? 1, 2 所以 ? ? ? 2 ? ( n ? 1) S n ? Var ? ? ? 2( n ? 1). 2 ? ? ? 2 2 2(? ) 2 2 2 即 E ( Sn ) ? ? , Var ( Sn ) ? . n ?1

而Cramer-Rao下界为 2 2 1 2(? ) ? , 2 I (? ) n 2 2 这说明无偏估计S 既不是? 的UMVUE ,也不 2 2 是有效估计。但是 1 2(? ) I (? 2 ) 2 lim e( S n ) ? lim ? lim n2 2 ? 1, n ?? n?? Var ( S 2 ) n?? 2(? ) n n ?1 2 2 故样本方差Sn 是? 的渐近有效估计。 需要说明的是当UMVUE的方差较大时,方差小 的有偏估计也不失为一个好的估计。

三、相合估计
引例 假设掷一枚硬币,出现正面的概率是 p, 出现反面的概率为 q ? 1 ? p。 为了估计正面出 现的概率 p, 做 n 次独立重复试验,即将硬币 反复掷 n次, 令 ?1 出现正面, Xi ? ? ( i ? 1,2,? , n) ?0 出现反面, 1 n 则X n ? ? X i 表示n次掷硬币出现正面的频率, n i ?1

把X n作为掷硬币正面出现的概率p的估计量。

由大数定律知, 试验次数 n 越多, 频率X n 越 接近于正面出现的概率 p, 即当n ? ?时,频 率 X n 稳定于(趋于)概率 p。当样本容量变大 时,要求参数的估计量具有这种极限性质实际 上是对估计量的基本要求,这就是下面要介绍 估计量的相合性(Consistency)准则。

? ? 定义4.8 设qn ( X ) ? qn ( X 1 ,?, X n )是参数q(? )的

? 任一估计序列,如果{qn }依概率收敛于参数真 值q(? ), 即对任意的? ? 0,有 lim P{| qn ( X ) ? q(? ) |? ? } ? 0, ?
n??

则称qn ( X )是q(? )的相合估计。 ?

(Consistent Estimate)

相合性只是反映了n ? ?时估计量的性质,

即大样本性质,当样本容量有限时是无意义的。 一般情形下证明估计的相合性可使用定义或大 数定律。

例4.10 设X 1 ,?, X n是来自[0,? ]上均匀分布总体 的一个简单样本, 试证明?的ML估计X ( n )是其 相合估计。 证明 由例4.6知 X ( n ) 的密度函数为
n? ?n t n?1 0 ? t ? ? ? p( t ;? ) ? ? , otherwise ? 0 n? n? 且 E? ( X ( n ) ) ? ??, , lim E? ( X ( n ) ) ? lim n? ? n? ? n ? 1 n ?1 所以X ( n )是?渐近无偏估计。

又因为对?? ? 0,有

P{| X ( n ) ? ? |? ? } ? P{ X ( n ) ? ? ? ? }
? n?
? n ? ??

?0

?? ? ? ? t dt ? ? ? . ? ? ?
n n ?1 n

?? ? ? ? 这样 lim P {| X ( n ) ? ? |? ? } ? lim ? ? ? 0. n ?? n ?? ? ? ?

故X ( n )是?的相合估计。
下面的定理在证明估计的相合性时很有用。

且 定理4.5 如果qn ( X )是参数q(? )的相合估计, ?
则 ? 函数h( y )在y ? q(? )处连续, h(qn )是h(q(? ))的

相合估计。 证明 由于函数h( y )在y ? q(? )处连续,所以对
?? ? 0, ?? ? 0, 使得当 | y ? q(? ) |? ?时,有
| h( y ) ? h(q(? )) |? ? .

从而
P{| h(qn ) ? h(q(? )) |? ? } ? P{| qn ( X ) ? q(? ) |? ? }. ? ?

又因为qn ( X )是q(? )的相合估计,所以 ?

lim P{| qn ( X ) ? q(? ) |? ? } ? 0. ?
n??

这样

0 ? lim P{| h(qn ( X )) ? h(q(? )) |? ? } ?
n??

? lim P{| qn ( X ) ? q(? ) |? ? } ? 0. ?
n??

? 即就是 lim P{| h(qn ( X )) ? h(q(? )) |? ? } ? 0.
n??

故h(qn ( X ))是q(? )的相合估计。 ?

例如4.11 在Hardy-Weinberg模型中同位基因 之一发生频率? 的三个频率替换估计为 ?1 ? n1 , ? 2 ? 1 ? n3 , ? 3 ? n1 ? n2 . ? ? ? n n n 2n 又因为相应的函数 p2 ? ? p1 ,? ? 1 ? p3 ,? ? p1 ? 2 ni 都是连续函数, 且由大数定律知 是pi的相合 n ? ? ? 估计, 故由定理4.5知? 1 ,? 2 ,? 3都是?的相合估计。

注:
(1)这里仅介绍(弱)相合性(依概率收敛), 还有强相合性(依概率1收敛或几乎必然收

敛)就不涉及。 (2)相合性本身不能说明估计达到某一可靠度 时,要求样本容量至少为多少。 (3)对同一参数而言,满足相合性的估计也许 有多个。 (4)在一定的条件下,可以证明频率替换估计, 矩估计,极大似然估计都是相合估计。

对于(3),当存在多个相合估计时,关于它们 的优劣往往可通过比较其渐近分布的渐近方差 的大小来进行,最常用的渐近分布是正态分布。 定义4.9 设qn ( X ) ? qn ( X 1 ,?, X n )是q(? )的估计序 ? ?
2 列,如果存在数列? n (? )和? n (? ), 对任意实数 x , 都有 ?qn ( X ) ? ? n (? ) ? ? 1 x u2 ? ? lim P ? ? x? ? ??? exp ?? 2 ?du, n ?? ? n (? ) 2? ? ? ? ? qn ( X ) ? ? n (? ) L ? 简记为 ? N (0,1), ? n (? )

则称qn ( X )具有 渐近正态性, 也称qn ( X )是q(? ) ? ?
(Asymptotic Normality)

的 渐近正态估计, 称? n (? )为其渐近均值,
2 称? n (? )为其渐近方差。

(Asymptotic normal Estimate) (Asymptotic Mean) (Asymptotic Variance)

2 记为qn ( X )~ AN ( ? (? ),? n (? )). ? 2 注意:定义中? n (? )和? n (? )是不唯一的。因满 ~ ? n (? ) ? ? n (? ) ? n (? ) ? 足 lim ? 1 和 lim ? ?~ ? ? 0 的任 ~ n?? ? (? ) n?? ? (? ) ? n (? ) ? n ? n ~ (? )和? 2 (? )也能使定义的条件成立。 ~ 意序列 ? n n

这说明渐近正态性并不能确定用 ?(( x ? ? n (? )) / ? n (? )) 近似概率P {qn ( X ) ? x } ? 达到某精度时样本容量 n 必须至少是多少。 一般情形下,可取 2 ? n (? ) ? E (qn ( X )),? n (? ) ? Var (qn ( X )). ? ?
对频率替换估计,若h( p )有连续偏导数,则
nk ? ? ? n1 ? L 2 n? h? ,?, ? ? h( p1 ,?, pk ) ? ? N (0,? h ), n? ? ?n ? 2 2 k k ? ?h( p) ? ? ?h( p) ? 2 ? ? ? ? pi ? . 其中 ? h ? ? pi ? ?pi ? i ?1 ? ?pi ? ? i ?1

例如4.12 在Hardy-Weinberg模型中, ? 的三个 频率替换估计
?1 ? n1 , ? 2 ? 1 ? n3 , ? 3 ? n1 ? n2 . ? ? ? n n n 2n

都是相合估计,究竟哪个最优呢?比较其渐近 正态分布的方差。 它们相应的函数为 p2 h1 ? p1 , h2 ? 1 ? p3 , h3 ? p1 ? , 2 L ?i ? hi ?? N (0,? i2 ), 从而有 n??

1 ? 22 1 2 2 ? (1 ? ? ), ? (1 ? (1 ? ? ) ) 其中 n 4n n 4n ? 32 1 ? ? (1 ? ? ). n 2n 2 ?3 比较这三个渐近方差,可知 最小,因此可 n ?3 ? n1 ? n2 是 ? 的较好估计,实际上 以认为 ? n 2n ??3 是 ? 的MLE。

? 12

注: 在一定的条件下,可以证明矩估计,极 大似然估计也具有渐近正态性。


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