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6.4反三角函数(反余弦、反正切函数(2)教案

6.4反三角函数(反余弦、反正切函数(2)教案


6.4 反三角函数(反余弦函数、反正切函数) (2)教案 教学目的:

x( x ? R) , y ? tan x( x ? k? ? 1.理解函数 y?cos

?
2

, k ? Z ) y=tanx 没 有 反 函 数 ; 理 解 函 数

y?cos x, x ? [0, ? ] , y ? tan x, x ? (?

? ?

y ? arctan x 的概念,掌握反余弦函数的定义域是 [-1 , 1] ,值域是 [0 , π ] ;反正切函数的定义域是

, ) 有反函数;理解反余弦函数 y ? arccos x ,反正切函数 2 2

? ? , ). 2 2 2.知道反余弦函数 y ? arccosx, x ? [?1,1] 和反正切函数 y ? arctan x ,x∈(-∞,∞)的图像.
(??,??) ,值域是(3.能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值,并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角. 4.会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题. 教学重点与难点: 教学重点:理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.

? x) ? ? ? arccosx 、 arctan( ? x) ? ? arctanx 的证明及其使用. 教学难点:公式 arccos(
教学过程: (一) 、引入 一、 (设置情境) 一、 情景引入 1.复习 我们学习过反正弦函数,知道,对于函数 y ? sin x, x ? R ,不存在反函数;但在 [ ? 2.思考 那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢? [说明] 因为对于任一余弦值 y 和正切值 y 都有无数个角值 x 与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与 因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3.讨论 余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得 y ? cos x 或 y=tanx 在对应区间上存在 反函数呢.因变量可以确定自变量,余弦值或正切值可以表示相应的角值,并且将该区间上的角值用相应 的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间, 使得 y ? cos x 或 y=tanx 存在反函数呢? 这个区间的选择依据两个原则: (1) y ? cos x 和 y ? tan x 在所取对应区间上存在反函数; (2)能取到 y ? cos x 的一切函数值 ?? 1,1? , y ? tan x 一切函数值 R. 可以选取闭区间 [0, ? ] ,使得 y ? cos x 在该区间上存在反函数;可以选取闭区间(-

? ?

, ] 存在反函数. 2 2

? ? , ) ,使得 2 2

y ? tan x 在该区间上存在反函数,这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.
二、 (双基回顾) 1.反正弦函数 y ? arcsin x 是一个_______(弧度制/角度制)的角,它的范围是_____________, 并且有 sin(arcsin x) ? _______________________

1

2.请结合反正弦函数 y ? arcsin x 的图像叙述它的性质。 反正弦函数 y ? arcsin x 在区间 [?1,1] 上是_________(填增/减)函数;其函数图像关于_______对称, 它是______(填奇/偶)函数,即对于任意的 x ?[?1,1] 一定有等式 arcsin(? x) ? ___________成立。 3. arcsin(sin x) ? ______ , x ? _________ . (二) 、新课 一、 (新课教学,注意情境设置) 二、概念或定理或公式教学(推导) 1.概念辨析 (1)反余弦函数 余弦函数 y ? cos x, x ? [0, ? ] 的反函数叫做反余弦函数,记作 y ? arccosx, x ? [?1,1] ; (2)反余弦函数的性质: ①图像 y

?
? 2?

?
2
0

??

? 2

?

2?

3?

x

②定义域:函数 y ? arccos x 的定义域是 [ ?1,1] ; ③值域:函数 y ? arccos x 的值域是 [0, ? ] ; ④奇偶性:函数 y ? arccos x 既不是奇函数也不是偶函数,

? x) ? ? ? arccosx , x ? [?1,1] ; 但有 arccos(
⑤单调性:函数 y ? arccos x 是减函数. y (3)反正切函数

y ? tan x, x ? k? ?

?
2

,x?R
王新敞
奎屯 新疆

1?在整个定义域上无反函数 2?在 ??

? ? ?? , ? 上 y ? tan x 的反函数称作反正切函数, ? 2 2?
王新敞
奎屯 新疆

0

x

记作 y ? arctanx?x ? R ? (奇函数)

2

[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线 y ? x 对称,函数 y ?cos x, x ? [0, ? ] 与 函 数

y?arcco x,s x ? [?1,1] 图像关于直线 y ? x 对称;
三、 (概念辨析或变式问题,目的是加强概念、公式的理解或应用) 判断下列各式是否成立?简述理由。 (1) cos(arccos (4) arccos

?
2

)?

?
2

; (2) arctan

?
3

? 3; (3) arcsin(?

2 2 ? ? ? arccos( ? ) ? 0 ; ? arctan( ? ) ? 0 。 (5) arctan 3 3 3 3

3 1 ) ? arccos(? ) ; 2 2

解: (1)式不成立,因为

? ? ?[-1,1],故 arccos 无意义; 2 2

(2)式不成立,因为其对应关系搞错了; ( (3)式不成立,理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了,事实上 arcsin(而 arcos(-

1 2? )= ,两者不等; 2 3

? 3 )=- , 3 2

(4)式不成立,因为把等式 arccos(-x)=π -arccosx 错记成 arccos(-x)=-arccosx; (5)式成立,因为等式 arctan(-x)=-arctanx。 四、典型例题(3 个,基础的或中等难度) 例 1.求下列反三角函数的值:

(1) arccos

1 3 3 ;(2) arccos( ? ) ;(3) arccos 0 ;(4) arctan 1 ;(5)- arctan( ? ) 2 2 3

解:(1)因为 cos

? 1 ? 1 ? = ,且 ∈[0,π ],所以 arccos = 。 2 3 3 2 3
5? 5? 5? 3 3 =,且 ∈[0,π ],所以 arccos()= 。 6 6 6 2 2

(2)因为 cos

(3)因为 cos

? ? ? =0,且 ∈[0,π ],所以 arccos0= 。 2 2 2 ? ? ? ? ? =1,且 ∈(- , ),所以 arctan1= 。 4 4 2 2 4
? ? ? ? ? 3 3 )=,且- ∈(- , ),所以 arctan()=- 。 6 6 2 2 6 3 3

(4)因为 tan

(5)因为 tan(-

例 2.在 ?ABC 中,已知 AB ? 5, BC ? 12, AC ? 13 ,分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数 值表示 ? A 、 ? B 、 ?C 。 解:因为 AC =AB +BC ,所以∠B 是直角,于是有
2 2 2

3

∠A= arcsin

12 5 12 ? = arccos =arctan ;∠B= = arcsin1= arccos0; 13 13 5 2 5 12 5 = arccos =arctan 。 13 13 12

∠C= arcsin

例 3.化简下列各式: (1) arccos(cos

?

1 ) ;(2) sin[arcsin ( ? )] ;(3) cos[arctan (?1)] 7 2

解:(1)因为

? ? ? ? ? ∈[0,π ],设 cos =α ,所以 arccosα = ,即 arccos(cos )= 。 7 7 7 7 7
1 2 2? 1 2? 3 ,所以 sin[arccos ( ? ) ]=sin = 。 3 3 2 2

(2)因为 arccos ( ? ) =

(3)因为 arctan(-1)=-

? ? 2 ,所以 cos[arctan(-1)]= cos(- )= 。 4 4 2
( x) ,并指出反函数的定义域和值域.

例 4.求下列函数的反函数 f (1) f ( x) ?

?1

?
2

? arccos

x 2 x ? 1) ; (2) f ( x) ? 3? ? arctan( 2

解:(1)设 y=

? x x ? x x +arccos ,则 arccos = y- ,因为 ∈[-1,1],arccos ∈[0,π ], 2 2 2 2 2 2 ? 3? x ? , ],根据反余弦函数的定义,得 =cos(y- ), 2 2 2 2

所以 x∈[-2,2],y∈[

即 x=2cos(y-

? ? -1 ).将 x,y 互换,得反函数 f (x)=2cos(x- ), 2 2

定义域是[

? 3? , ],值域是[-2,2]. 2 2

(2)设 y=3π -arctan(2x-1),即 arctan(2x-1)=3π -y,因为(2x-1)∈R , arctan(2x-1)∈(-

? ? 5? 7? , ),所以 x∈R,y∈( , ), 2 2 2 2
1 (1-tany),将 x,y 互换, 2

根据反正切函数的定义,得 2x-1=tan(3π -y)=-tany,即 x=

得反函数 f (x)=

-1

1 5? 7? (1-tanx),定义域是( , ),值域是 R。 2 2 2
4

五、课堂练习(2 个,基础的或中等难度) 1、求 arctan 1 ? arctan 2 ? arctan 3 的值 解:arctan2 = ?, arctan3 = ? 则 tan? = 2, tan? = 3
王新敞
奎屯 新疆



? ? ??? , 4 2

? ? tan? ? tan? 2?3 ??? ∴ tan( ? ? ?) ? ? ? ?1 4 2 1 ? tan? tan? 1 ? 2 ? 3
∴? + ? =



? ? ??? ? ? 2 ? 又 arctan1 = 4
(? ∵?

3? 4

∴ arctan 1 ? arctan 2 ? arctan 3 = ?

2、求 y ? arccos(sinx) ,

? 2? ?x? )的值域 3 3 ? 2? ?x? 3 3 5? 6
∴?

解:设 u = sin x

3 ? u ?1 2
5? ] 6

∴ 0 ? arccos(sin x) ? 六、拓展探究(2 个)

∴所求函数的值域为 [0,

? x) ? ? ? arccosx, x ? [?1,1] 例 1、证明等式: arccos(
证明:∵x∈[-1,1],∴ -x∈[-1,1] ∴cos[arccos(-x)]= -x,cos(π -arccosx)=-cos(arccosx)=-x 又因为 arccosx∈[0,π ],所以(π -arccosx)∈[0,π ],又 arccos(-x)∈[0,π ], 且余弦函数在[0,π ]上单调递减,所以 arccos(-x)=π -arccosx,x∈[-1,1]. 例 2、求函数 y ? (arccosx) ? arccosx 的最大值和最小值;
2

(三) 、小结 (1)反余弦函数和反正切函数的定义; (2)反余弦函数和反正切函数的性质. (四) 、作业 书上练习 6.4(2)中的 1、2、3、4 课外作业: (6+2 填空,3+1 选择,3+1 解答,其中+后面的题目可以难些用“*”注明) 一、填空题 1、函数 y = arccos(x ? x) 的单调递增区间为___________________.
2

2、函数 y ? cos x(? ? x ? 2? ) 的反函数是___________________. 3、 arccos(sin7) ? ___________________. 4、若 sin(arccos x) ?

1 ,则 x=___________________. 2
5

5、若 ? ? ? x ? ?

?
2

, 则 arcsin(sin x) 的值是___________________.

6、不等式 arccos( ? x) ? 5 arccosx 的解集是___________________. 7*、函数 y ? log? [
3

?
3

? arccos(4 ? x)] 的定义域是

,最大值是



8*、若 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? arccos(sinx),则当x ? 0时, f ( x) 的解析式 是 f ( x) =___________________.

二、选择题 1、若 arccos 4 ? arccos( ? 4 ) ? arcsin x, 则x 的值是 5 5 ( )

A 、0

B 、 24

25

C 、 ? 24

25

D 、不存在
( )

2、函数 f ( x) ? ? ? arccos(sin x) 是 2

A 、偶函数
3、若 0< x <

B 、既是奇函数又是偶函数

C 、奇函数

D 、非奇非偶函数

? ? (? ? x)]等于 ,则 arccos[cos ( ? x)] + arcsin[sin ( ) 2 2 ? ? ? ? A、 B 、? D 、- -2 x C 、 -2 x 2 2 2 2 x x 4*、若方程 a sin( ) + cos( ) =2 a -1 有解,则实数 a 的取值范围是 ( ) 3 3 4 4 4 A 、 a ≤0 B 、a≥ D 、 a ≤0 或 a ≥ C 、0≤ a ≤ 3 3 3
三、解答题 1、求函数 y = arccos( 2 x 2 ? x) 的定义域和值域

2、求值: (1) cos[

1 3 arccos( ? )] ; 2 5

(2) sin(arcsin

3 8 ? arcsin ) . 5 17

3、求函数 y ?

1 1 arccos 的单调区间 2 4 ? x2

4*、已知 arcsin(sin x ? sin y ) ? arcsin(sin x ? sin y ) ?

k? 2 2 (k 为奇数) ,求 sin x ? sin y 的值。 2

6

四、双基铺垫 1、用反三角函数表示 sin x ? ?

5 3? , x ? (?, ) 中的角 x 6 2 7? ) 中的角 x 2

2、用反三角函数表示 tan x ? 5, x ? (3?,

课外作业答案 课外作业: (6+2 填空,3+1 选择,3+1 解答,其中+后面的题目可以难些用“*”注明) 一、填空题 1、 [

1? 5 1 , ] 2 2
3 ; 2

2、 y ? 2? ? arccosx

3、 5? ? 7 ; 2 6、 (

4、 ?

5、 ? (? ? x) 8*、 f ( x) ? ? arccos(sinx)

3 ,1] 2

7*、 [3, 7 ),1; .
2

二、选择题 1、 ( D )2、 ( 三、解答题 1、解:∵-1≤2 x - x ≤1,解得: x ∈ [ - C )3、 ( A )4*、 ( C )

1 ,1 ] . 2 1 2 1 1 1 2 2 又 2 x - x =2 ( x ? ) - ≥- ,∴- ≤2 x - x ≤1, 4 8 8 8 1 得: y ∈ [ 0, ? - arccos ] . 8
2

2、 (1)原式=

5 ; ; 5

(2)原式=

77 . 85

3、增 [? 3,0] 减 [0, 3 ] 4*、解:设 A= arcsin(sinx ? sin y) ,B= arc(sin x ? sin y) 则 sin x ? 四、双基铺垫

sin A ? sin B sin A ? sin B 1 2 2 , sin y ? 得 sin x ? sin y = 2 2 2 3? 2
∴?

? 5 5 ? ? ? x ? 0 , 又由 sin x ? ? 得 sin( ? ? x ) ? ? 2 6 6 5 5 ∴ ? ? x ? arcsin( ? ) ∴ x ? ? ? arcsin( ? ) 6 6 7? ? 2、∵ 3? ? x ? ∴ 0 ? x ? 3? ? , 又由 tan x ? 5 得 tan(x ? 3?) ? 5 2 2 ∴ x ? 3? ? arctan 5 ∴ x ? 3? ? arctan 5
1、解:1? ∵ ? ? x ?
7


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