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《等差数列及其前n项和》复习导学案(10.28)

《等差数列及其前n项和》复习导学案(10.28)

《等差数列及其前 n 项和》梳理导学案
执教: 张 壬 平 2010-10-28

学习目标:
1. 理解 A.P 的定义和主要性质; 2. 掌握 A.P 通项公式、求和公式; 3. 能够在具体问题情境中识别等差关系,并能解决相关问题; 4. 通过 A.P 知识梳理和问题解决过程,进一步体会转化化归和函数方程思想.

学习重点:
1. 理解 A.P 的定义和主要性质; 2. 掌握 A.P 的通项公式、求和公式.

高考分析:
数列在数学中的重要地位,决定了高考中占有的较大比重。数列解答题是高考固定 题型,还常设选择、填空题。主要考查等差等比数列的概念、性质、通项及求和;与函 数、三角、解几、不等式、推理与证明知识的综合是命题的“常态”和热点;对探究思 维、符号运算和推理论证能力要求很高.从解题思想方法的规律着眼,数列内容主要有: ① 待定系数、整体换元等解题方法的运用; ② 方程思想的应用(设定基本参数,利用通项等公式列方程); ③ 函数思想的应用(如图像、单调、最值等).

链接高考:
(2010 山东 18)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,其前 n 项和为 Sn (Ⅰ)求 an 及 Sn;(Ⅱ)令 b n ?
1 a n ?1
2


(n ? N* ) ,求{bn}的前 n 项和 Tn .

知识梳理:
1.判定:{an} 成 A.P ? ? n∈N*,an+1—an=d ? ? n∈N*,an=pn+q . ? ? n∈N*,an +an+2=2an+1 ? 2.公式:{an} 成 A.P,则① an=a1+( )d = a2+( )d= am+( )d ② Sn ? a1 ? a n ? n ? a 2 ?
2 2 ?n ? a n-k ? 2 ? n = na1+

.

3.中项:① a,A,b 成 A.P ? A= ;② {an}成 A.P,则 an-k+an+k= . 4.对称性:{an}成 A.P,则 a1+an=a2+ =a3+ = a n-k+ . 5.下标和:{an}成 A.P,若 m+n=p+q,则 am+an= .(其逆命题成立吗?) 6.片断和:若{an}成 A.P,则 Sn,S2n—Sn,S3n—S2n,??成 A.P,公差 Dn= . * 7.单调性:若{an}成 A.P,则{an}递增 ? d>0 ? ? n∈N , . * 若{an}成 A.P,则{an}递减 ? . ? ? n∈N , 8.共线性:若{an}成 A.P,则 ? n∈N*,点列{n,an}共线; 点列 {n, n } 共线.

S n

自学检测: 1. {an}通项 an=3n-2,判断{an}是否成 A.P ?

2. {an}成 A.P,则用 a3=13,a10= —1,则该数列的公差 d = . 3. {an}成 A.P,a5=6,则 a2+a8= ;S9= . 4. {an}成 A.P,项数为 n,前 3 项和为 9,最后 3 项和为 21,Sn=25,则 n= 5. {an}成 A.P,a1+a2=1,a3+a4=3,则 a5+a6= ,a 2009+a 2010= . 6 . {an}、{bn}成 A.P,


.

a1 ? a 2 ? ? ? a n 3n ? 4 a ,则 6 = ? b1 ? b 2 ? ? ? b n 2n ? 1 b6

.

典例剖析:
例 1. (09 全国) {an}成 A.P,a3·a7= -16,a4+a6= 0,求 Sn

例 2. 已知{an}前 n 项和 Sn =

n 2 .①求通项 an;②判断{ a 3n-2 }是否成 A.P?;

变式 1. 在{an}中,若 ? n∈N*,an+1—an =常数, {an}前 n 项和为 Sn,求证:数列 { 且 成 A.P.

Sn } n

变式 2. {an}成 G.P,an=2·3

n -1

,bn=log3 an ,判断{bn}是否成 A.P?

学习总结:

作业设计:
1.必做:10 年山东高考 18 题;作业手册 P.255 第 8 题;类比等差梳理等比相关知识. 2.选做:数列{an}首项 a1=4,且 ? n∈N*,点 M (

a n ,a n+1 ) ∈L:y=x+2.

① 求 an;

② 已知 b1+b2+?+bn=an,试探究 an 与 bn 大小.

走进高考:
1.(10 重庆)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为 A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 ( ) ( )

2.(09 湖南)设 Sn 是等差数列{an}前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7= A. 13 B. 35 C. 49 3.(09 山东){an}成 A.P,a3=7,a5=a2+6,则 a6 = 4.(10 福建)设等差数列{an}前 n 项和为 Sn . 若 a1= 则当 Sn 取最小值时,n 等于 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 D. . 63

-11,a4+a6=-6,
( )

5.(10 辽宁)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 33,a n ?1 ? a n ? 2n, 则

an 的最小值为______. n

达标检测:
1.{an}成 A.P,且 a1+a8+a15=2π ,则 tan(a2+a14)的值为 ( )

A.

3

B.

? 3

C.

3 3
D. 24

D.

?

3 3
( )

2.{an}成 A.P,且 a2+2a 7+a12=96,则 2a 8—a9 的值为 A. -8 B. 20 C. 22 3.{an}成 A.P,a2=1,a5= -5. 求:① a n ;②Sn

4. 已知{an}前 n 项和 Sn = 3 n .①求通项 an;②判断{ a 4n-3 }是否成 A.P?

2

探究学习:
已知{an}成等差,且 a1=11,S3=S9,求(Sn)max .

1.判定:{an} 成 A.P ? ? n∈N*,an+1—an=d ? ? n∈N*,an=pn+q . ? ? n∈N*,an +an+2=2an+1 ?

2.公式:{an} 成 A.P,则① an=a1+( ② Sn ?

)d

= am+(
.

)d

a1 ? a n ? n ? na1+ 2

3.中项:① a,A,b 成 A.P ? A= ;② {an}成 A.P,则 an-k+an+k= . 4.对称性:{an}成 A.P,则 a1+an=a2+ =a3+ = ??. 5.下标和:{an}成 A.P,若 m+n=p+q,则 am+an= .(其逆命题成立吗?) 6.片断和:若{an}成 A.P,则 Sn,S2n—Sn,S3n—S2n,??成 A.P.

2. {an}成 A.P,则用 m,n,am,an (m,n∈N*,且 m≠n) 表示的公差 d = 例 2. 已知{an}前 n 项和为 Sn ① 若{an}成 A.P,求证:数列 { ② 若 Sn= n2,令 cn=

.

Sn } 成 A.P; n

a 2n ,求{cn}前 n 项和 Tn.

变式 3. 已知{an}成等差,a1= -11,S3=S9,求 Sn 的最值. 例 3. 3.已知 log 2 x , log 2 y ,2 成等差数列,则动点 M(x,y)轨迹的图像为 ( y )

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

解:①由题知: 当 n>1 时,an=Sn—Sn-1=n2—(n-1)2=2n—1

当 n=1 时,a1=S1=1,经检验 n=1 时符合上式,∴an=2n—1 ②令 bn=a3n-2=2(3n-2)—1=6n—5 ∴bn+1—bn=6(n+1)—5—6n+5=6 ∴数列{ a 3n-2 }成 A.P.

解:①由题知: 当 n>1 时,an=Sn—Sn-1=3[n2—(n-1)2]=6n—3 当 n=1 时,a1=S1=3,经检验 n=1 时符合上式,∴an=6n—3 ②令 bn=a4n-3=6(4n-3)—3=24n—21 ∴bn+1—bn=24∴ {bn } 成 A.P 即 数列{ a 4n-3 }成 A.P.

思路:利用通项,待定系数(油印时可删除,下同) 思路 1:s1. {an}成 A.P;s2. a13+a14=0,a13>0,a14<0,(Sn)max = S13;s3.d=-2 思路 2:s1. {an}成 A.P;s2.待定系数求得 an=27-2n;s3.求函数 Sn=S(n)的最值. 要点:a6 +a7 =0,d=2,Sn 有最小值;(Sn)min =S6 思路:令 b n ?

Sn ,利用和式,依据定义判断;利用万能公式求通项,分组转化法求和. n


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