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吉林省长春市十一中2012-2013学年高二数学下学期期末考试 理

吉林省长春市十一中2012-2013学年高二数学下学期期末考试 理


体验 探究 合作 展示

长春市十一高中 2012-2013 学年度高二下学期期末考试 数 学 试 题(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2 1. 设集合 A ? x x ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 0 , 则 A ? B ? (

?

?

?

?



A. ?0,2?

B. ?? 1,1?
1 ? 2i ? 1 ? i, 则( a ? bi

C. ?0,1? )
1 3 ,b ? 2 2

D. ?? 1,2?

2.设 a, b 为实数,若复数 A .a ?
3 1 ,b ? 2 2

B. a ? 3, b ? 1

C. a ?

D. a ? 1, b ? 3

3.函数 y ? A . xx?0

x ? x ? 1? ? lg

1 的定义域是( x



?

?
?

B. x x ? 1 D.

?

?

C. x x ? 1或x ? 0 4.下列命题:

?

?x 0 ? x ? 1?

① ?x ? R , 不等式 x 2 ? 2 x ? 4 x ? 3 均成立; ②若 log2 x ? logx 2 ? 2, 则 x ? 1 ; ③“若 a ? b ? 0, c ? 0, 则
c c ? ”的逆否命题; a b

④若命题 p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1, 命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0, 则命题 p ? ?q 是真命题。 其中真命题只有( ) A . ①②③ B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

5 . 给 出 下 列 三 个 等 式 :

f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ?, f ? xy? ? f ? x ? ? f ? y ?,


f ?x ? y? ?
A. f ? x ? ? 3
x

f ?x? ? f ? y? , 下列函数中 不 满足其中任一等式的是( ? 1 ? f ?x? f ? y?
B. f ? x ? ? sin x C. f ? x ? ? log2 x

D. f ? x ? ? tan x

?2 ? x ? 1, x ? 0 6.设 f ? x ? ? ? 3 , 若 f ?a ? ? a, 则 a 的范围是( 1 ? ,x ? 0 ? x
A.



?? ?,?3?

B.

?? ?,?1?

C. ?1,???

D. ?0,1?

-1-

7.某商品销售量 y (件)与销售价格 x (元/件)负相关,则其回归方程可能是(



? A. y ? ?10x ? 200 ? C. y ? ?10x ? 200
率为( A.
1 84

? B. y ? 10x ? 200 ? D. y ? 10x ? 200

8.从编号为 1,2,3,...,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最大号码是 6 的概 ) B.
1 21

C.

2 5

D.

3 5

9.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 满足: 对任意的实数 a, b 有 f ?a ? b? ? f ?a ? f ?b? , f ?1? ? 2 , 且 则 f ?3? ? ( A.6 10.已知椭圆 C : ) B.7 C.8 D.9

x2 y2 3 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 ,双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线与椭 2 a b 2


圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为(

x2 y2 ? ?1 A. 8 2

x2 y2 ? ?1 B. 12 6

x2 y2 ? ?1 C. 16 4

x2 y2 ? ?1 D. 20 5

11. “对任意的正整数 n ,不等式 n lg a ? ?n ? 1? lg a a ?a ? 0? 都成立”的一个充分不必要条件是 ( ) B. 0 ? a ?
1 2

1 或 a ?1 2 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? 1 ?2 12.已知 f ?x ? ? a ln x ? x 2 ?a ? 0?, 若对任意两个不等的正实数 x1 , x 2 , 都有 x1 ? x 2 2

A . 0 ? a ?1

C. 0 ? a ? 2

D. 0 ? a ?

恒成立,则 a 的取值范围是( A . ?0,1? B. ?1,?? ?



C. ?0,1?

D. ?1,?? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 13.若 ?ax ? 1?5 的展开式中, x 3 的系数是-80,则 a = 14.已知 f ?1 ? cos x ? ? sin2 x, 则 f ?x ? ? (不必标明定义域)
f ?2 x ? 的定义域是 x ?1

15.若函数 y ? f ? x ? 的定义域是 ?0,2?, 则函数 g ?x? ?

16.在某项测量中,测量结果 ? ~ N 1, ? 2 ,若 ? 在 ?0,2? 内取值的概率为 0 .8, 则 ? 在 ?? ?,2? 内取 值的概率为_ 17.函数 f ? x ? ?

?

?

1 1 ? 的值域是 2 ?1 2
x

-2-

18.设函数 f ?x ??x ? N ? 表示 x 除以 2 的余数, g ?x ??x ? N ? 表示 x 除以 3 的余数,则对任意 的 x ? N ,给出以下式子:① f ?x ? ? g ?x ? ② g ?2 x ? ? 2 g ?x ?③ f ?2 x ? ? 0 ④ f ?x ? ? f ?x ? 3? ? 1 ,其中正确式子的编号为 三.解答题: (本大题共 5 小题,共 60 分) 19.( 本小题满分 12 分) 定义在 R 上的增函数 y ? f ?x ?, f ?0? ? 0 , f ?a ? b? ? f ?a ? f ?b? , (1)求 f ?0? ; (2)求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ?x ? ? 0 ;

(3)若 f ?x ? ? f 2 x ? x 2 ? 1 ,求 x 的范围。 20.( 本小题满分 12 分) 甲乙两运动员进行射击训练,已知他们击中目标的环数都稳定在 7,8,9,10 环,且每 次射击成绩互不影响,射击环数的频率分布表如下, 甲运动员 乙运动员

?

?

若将频率视为概率,回答下列问题, (1) 求甲运动员击中 10 环的概率; (2) 求甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (3) 若甲运动员射击 2 次, 乙运动员射击 1 次,? 表示这 3 次射击中击中 9 环以上 (含 9 环)的次数,求 ? 的分布列以及 E? 。 射击环数 7 8 9 10 合计 频数 10 10 X 35 100 频率 0.1 0.1 0.45 Y 1 21. 本小题满分 12 分) ( 已 知 椭 圆 射击环数 7 8 10 合计 80 频数 8 12 Z 0.35 1 频率 0.1 0.15

C:

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0?9 a 2 b2

1 的离心率为 , 且经过点 2

? 3? ?1, ?. ? 2?
(1) 求椭圆的方程; (2) 已知 A 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F 与椭圆 C 交于 M,N 两点,若 AM,AN 的斜

-3-

率 k1 , k 2 满足 k1 ? k 2 ? m ( m 为定值,且 m ? 0 ) ,求直线 l 的斜率。 22. (本小题满分 12 分)函数 f ?x ? ? e x ? 2 x 2 ? 3x. (1) 求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 求证: y ? f ? x ? 在 ?0,1? 上存在唯一的极值点; (3) 当 x ?
1 5 时,若关于 x 的不等式 f ?x ? ? x 2 ? ?a ? 3?x ? 1 恒成立,求 2 2

a 的取值范围。

选考题: (本小题满分 12 分) 请考生在第 23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 23. 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 , F1 ,F2 为其左、 点 右焦点, 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2



? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 , t 为参数) 线 l 的参数方程为 ? ( ? y? 2t ? ? 2
(1) 求直线 l 和椭圆 C 的普通方程; (2) 求点 F1 , F2 到直线 l 的距离之和。 24. 设函数 f ?x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . (1) 解不等式 f ?x ? ? 2 ; (2) 求函数 y ? f ?x ? 的最小值。

2012—2013 学年度高二下学期期末考试参考答案 一、CABAB BABCD BD 二、13、 ? 2 14、 ? x ? 2 x
2

15、 ?0,1? 18、③④

16、 0 .9 三、

17、 ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

19、 (1) f ?0 ? 0? ? f ?0? f ?0?,? f ?0? ? 0,? f ?0? ? 1. (2) f ?

?x ? ?2

x? ?? 2?

? x? ? x? ? x? f ? ? f ? ?, ? f ?x ? ? f 2 ? ?. ?2? ?2? ?2?

? x? ? f ?0? ? 0,? f ? ? ? 0,? f ?x ? ? 0. ?2?
-4-

(3) f 3x ? x 2 ? f ?0?,? f ?x ? 是增函数,? 3x ? x ? 0,
2

?

?

? 0 ? x ? 3.
20、 (1)击中 10 环的概率=Y= 1 ? (0.1 ? 0.1 ? 0.45) ? 0.35. (2)甲一次射击中击中 9 环以上的概率为 0.8 , p ? 1 ? 0.2 3 ? 0.992. (3)
?

P

0 0.01

1 0.11

2 0.4

3 0.48

E? ? 2.35.

21、 (1)?

c 1 x2 y2 ? ,? a 2 ? 4c 2 , b 2 ? 3c 2 . ? 2 ? 2 ? 1. a 2 4c 3c

9 1 ? 3? ?经过点 ?1, ?,? 2 ? 42 ? 1,? c 2 ? 1. 3c ? 2 ? 4c

?

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(2) l : y ? k ?x ? 1?, k1 ?

y1 y2 , k2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2

? k1 ? k 2 ? k

2 x1 x2 ? ?x1 ? x2 ? ? 4 . x1 x2 ? 2?x1 ? x2 ? ? 4

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 , ? ?4k 2 ? 3?x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0, ? ? y ? k ?x ? 1?
? k1 ? k 2 ? k
22、 (1) f
/

? 36 1 1 ? ? ? m,? k ? ? . 2 36k k m

?x? ? e x ? 4x ? 3, f / ?1? ? e ? 1, f ?1? ? e ? 1,

? 切线方程为 ?e ? 1?x ? y ? 2 ? 0.

(2)令 f

/

?x? ? h?x? ? e x ? 4x ? 3, 则 h?0? ? 0, h?1? ? 0,

? h?0?h?1? ? 0.? h?x ? 在 ?0,1? 上至少有一零点。

又? h / ?x ? ? e x ? 4 ? 0,? h?x? 在 ?0,1? 上有唯一零点。
? f ?x ? 在 ?0,1? 上存在唯一的极值点。

ex ?

(3)整理得: a ?

x2 x2 ?1 ex ? ?1 2 2 , 令 g ?x ? ? , x x

-5-

g / ?x ? ?

e x ?x ? 1? ? x2

x2 ?1 x2 2 , 令 ? ?x? ? e x ?x ? 1? ? ? 1, 2

则 ? / ?x ? ? x e x ? 1 ,? x ?

?

?

1 ,?? / ?x ? ? 0, 2

e ?1 ? ?1? 7 ? 0. ? ? ? x ? 在 ? ,?? ? 上增,?? ?x ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?2? 8 2

? g / ?x ? ? 0,

?1 ? ? g ? x ? 在 ? ,?? ? 上增。 ?2 ?

9 9 ?1? ? g ?x ? ? g ? ? ? 2 e ? .? a ? 2 e ? . 4 4 ?2?

23、 (1) 3? 2 cos2 ? ? 4? 2 sin 2 ? ? 12, ? 3x 2 ? 4 y 2 ? 12,

?C :

x2 y2 ? ? 1. l : x ? y ? 2 ? 0. 4 3

(2) F1 ?? 1,0?, F2 ?1,0?,?d1 ? d 2 ? 2 2.

? ? x ? 5, x ? 4 ? 1 ? 24、 (1) 2 x ? 1 ? x ? 4 ? ?3x ? 3,? ? x ? 4 2 ? ? ? x ? 5, x ? ? 1 ? ? 2 x ? 4 时, x ? 5 ? 2,? x ? 4; 1 5 ? ? x ? 4 时, 3x ? 3 ? 2,? ? x ? 4; 2 3 1 x ? ? 时, ? x ? 5 ? 2,? x ? ?7; 2
综上, ? x x ? ?7或x ?

? ?

5? ? 3?

(2) x ? 4 时, f ?x ?min ? 9;

1 9 ? x ? 4 时, f ? x ?min ? ? ; 2 2 1 9 x ? ? 时, f ? x ?min ? ? ; 2 2 9 综上, f ? x ?min ? ? . 2 ?

-6-

-7-


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