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2018高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十四正弦定理和余弦定理理

2018高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十四正弦定理和余弦定理理

课时达标检测(二十四)

正弦定理和余弦定理

[练基础小题——强化运算能力] sin A cos B 1.在△ABC 中,若 = ,则 B 的值为(

a

b

)

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

sin A cos B 解析:选 B 由正弦定理知, = ,∴sin B=cos B,∴B=45°. sin A sin B 15 3 2.在△ABC 中,已知 AB=3,A=120°,且△ABC 的面积为 ,则 BC=( 4 A.3 解析:选 C B.5 C.7 D.15 )

15 3 1 15 3 2 2 由 S△ABC= 得 ×3×ACsin 120°= ,所以 AC=5,因此 BC =AB 4 2 4

1 2 +AC -2AB·AC·cos 120°=9+25+2×3×5× =49,解得 BC=7. 2 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 asin A+bsin B<csin C,则 △ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形
2 2 2

) B.直角三角形 D.不确定

解析:选 C 根据正弦定理可得 a +b <c .由余弦定理得 cos C= 钝角.即△ABC 是钝角三角形.

a2+b2-c2 <0,故 C 是 2ab

4.已知在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,那么这个三角形的最大内角的 大小为________. 解析:由 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7 知,三角形的三边之比 a∶b∶c=3∶5∶7, 1 最大的角为 C.由余弦定理得 cos C=- ,∴C=120°. 2 答案:120° 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积为 3 15,b 1 -c=2,cos A=- ,则 a 的值为________. 4 1 15 解析:在△ABC 中,由 cos A=- 可得 sin A= , 4 4

1

? ?2bc× 4 =3 15, 所以有?b-c=2, 1 ? ?a =b +c -2bc×???-4???,
1 15
2 2 2

a=8, ? ? 解得?b=6, ? ?c=4.

答案:8 [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 sin C 5 2 2 1.在△ABC 中,若 =3,b -a = ac,则 cos B 的值为( sin A 2 A. 1 3 1 B. 2 C. 1 5 1 D. 4 )

5 c2- ac 2 5 2 2 2 解析:选 D 由题意知,c=3a,b -a = ac=c -2accos B,所以 cos B= = 2 2ac 15 2 2 9a - a 2 1 = . 2 6a 4 2.在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S,若 S+a =(b+c) , 则 cos A 等于( A. 4 5 ) 4 15 B.- C. 5 17 15 D.- 17
2 2

1 1 2 2 2 2 2 解析:选 D 由 S+a =(b+c) ,得 a =b +c -2bc sin A-1,由余弦定理可得 sin A 4 4 15 2 2 -1=cos A,结合 sin A+cos A=1,可得 cos A=- 或 cos A=-1(舍去). 17 3.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( A.有一解 C.无解 解析:选 C 由正弦定理得 40× 20 B.有两解 D.有解但解的个数不确定 = , sin B sin C )

b

c

bsin C ∴sin B= = c

3 2

= 3>1.

∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在. π 4.已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 A= ,b=2acos B,c 3 =1,则△ABC 的面积等于( )
2

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 6

D.

3 8

解析:选 B 由正弦定理得 sin B=2sin Acos B, π π 故 tan B=2sin A=2sin = 3,又 B∈(0,π ),所以 B= , 3 3 π 又 A= =B,则△ABC 是正三角形, 3 1 1 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= ×1×1× = . 2 2 2 4 sin?A+B? 2 2 5. (2017·渭南模拟)在△ABC 中, 若 a -b = 3bc 且 =2 3, 则 A=( sin B A. π 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6
2 2 2

)

sin?A+B? sin C b +c -a 解析: 选 A 因为 =2 3, 故 =2 3, 即 c=2 3b, 则 cos A= sin B sin B 2bc 12b - 3bc 6b 3 π = = = ,所以 A= . 2 2 2 6 4 3b 4 3b 6.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ( ) A. π 6 π B. 4 π C. 3 3π D. 4
2 2

c-b sin A = ,则 B= c-a sin C+sin B

a b c c-b sin A a 解析:选 C 根据正弦定理 = = =2R,得 = = , sin A sin B sin C c-a sin C+sin B c+b
即 a +c -b =ac,所以 cos B= 二、填空题 3 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c=1,B=45°,cos A= , 5 则 b=________. 3 2 解析: 因为 cos A= , 所以 sin A= 1-cos A= 5
2 2 2

a2+c2-b2 1 π = ,故 B= . 2ac 2 3

?3?2 4 所以 sin C=sin[180° 1-? ? = , ?5? 5

4 3 7 2 -(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= cos 45°+ sin 45°= .由正弦 5 5 10

b c 1 5 定理 = ,得 b= ×sin 45°= . sin B sin C 7 7 2 10

3

5 答案: 7 8.在△ABC 中,若 b=2,A=120°,三角形的面积 S= 3,则三角形外接圆的半径为 ________. 1 2 2 2 解析: 由面积公式, 得 S= bcsin A, 代入数据得 c=2, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos 2

A=22+22-2×2×2cos 120°=12,故 a=2 3,由正弦定理,得 2R=

a 2 3 = ,解得 R sin A 3 2

=2. 答案:2 sin 2A 9.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin C sin A a b +c -a 解析:由正弦定理得 = ,由余弦定理得 cos A= ,∵a=4,b=5,c=6, sin C c 2bc sin 2A 2sin Acos A sin A a b +c -a 4 5 +6 -4 ∴ = =2· ·cos A=2× × =2× × =1. sin C sin C sin C c 2bc 6 2×5×6 答案:1 10.在△ABC 中,B=120°,AB= 2,A 的角平分线 AD= 3,则 AC=________.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析: 如图, 在△ABD 中, 由正弦定理, 得 = , sin B sin∠ADB ∴sin∠ADB= 2 . 2

AD

AB

由题意知 0°<∠ADB<60°, ∴∠ADB=45°,∴∠BAD=180°-45°-120°=15°. ∴∠BAC=30°, C=30°, ∴BC=AB= 2.在△ABC 中, 由正弦定理, 得 = , sin B sin∠BAC ∴AC= 6. 答案: 6 三、解答题 11.(2017·河北三市联考)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 asin

AC

BC

B=-bsin?A+ ?. 3

? ?

π?

?

(1)求 A; (2)若△ABC 的面积 S= 3 2 c ,求 sin C 的值. 4
4

? π? 解:(1)∵asin B=-bsin?A+ ?, 3? ? ? π? ? π? ∴由正弦定理得 sin Asin B=-sin Bsin?A+ ?,则 sin A=-sin?A+ ?,即 sin A 3 3? ? ? ?
1 3 3 5π =- sin A- cos A,化简得 tan A=- ,∵A∈(0,π ),∴A= . 2 2 3 6 5π 1 (2)∵A= ,∴sin A= , 6 2 1 1 3 2 由 S= bcsin A= bc= c ,得 b= 3c, 2 4 4 ∴a =b +c -2bccos A=7c ,则 a= 7c, 由正弦定理得 sin C=
2 2 2 2

csin A 7 = . a 14

12.(2017·郑州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 2C -cos 2A=2sin?

?π +C?·sin?π -C?. ? ?3 ? ?3 ? ? ?

(1)求角 A 的值; (2)若 a= 3且 b≥a,求 2b-c 的取值范围. 3 1 3 π 2π 2 2 2 2 解: (1)由已知得 2sin A-2sin C=2 cos C- sin C, 化简得 sin A= , 故 A= 或 . 4 4 2 3 3 (2)由题知,若 b≥a,则 A= 所以由正弦定理可得 π ,又 a= 3, 3

= = =2,得 b=2sin B,c=2sin C, sin B sin C sin A

b

c

a

故 2b - c = 4sin B - 2sin C = 4sin B - 2sin ?

?2π -B? = 3sin B - 3 cos B = 2 3 ? ? 3 ?

? π? sin?B- ?. 6? ?
π 2π π π π 因为 b≥a,所以 ≤B< , ≤B- < , 3 3 6 6 2

? π? 所以 2 3sin?B- ?∈[ 3,2 3).即 2b-c 的取值范围为[ 3,2 3). 6? ?

5


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