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微积分B(1)第4次习题课(连续与一致连续)答案

微积分B(1)第4次习题课(连续与一致连续)答案


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微积分 B(1)第四次习题课参考答案

教学目的:本周的题目只练习连续函数的性质有关的内容.在学习的过程中应掌握函 数在一点连续与间断的定义、间断点的类型,连续函数的几条基本性质及其应用;一致连 续性是比较难于理解的概念,应注意体会一致连续与连续的区别和联系.
一、连续函数及其性质
1

.研究下列函数在定义域内的连续性,指出间断点及其类别.
x π tan( x ? ) 4

(1) f ( x) = (1 + x)

, x ∈ (0, 2π) ;

? 1) (2) f ( x) = xx(( x ; x ? 1)
2

(3) f ( x) = [| cos x |] ; (5)
t ? x ? 1 x ?t ) , x ≠ 1, ?lim( f ( x) = ? t → x t ? 1 ?0, x = 1. ?

(4) f ( x) = [

x ]ln(1 + x) 1 + sin x



(1)对初等函数,找间断点就是找没定义的孤立点. 解: 3π 7π π π 5π 在 (0, 2π) 内, tan( x ? π ) 没定义的点为 , , tan( x ? ) 等于零的点为 , ,所以函 4 4 4 4 4 4 数 f ( x) = (1 + x)
x π tan( x ? ) 4

7π 在 (0, 2π) 内的间断点有 4 个.其中,x = 3π , x= 是第一类间断点(可 4 4

5π 去型) ,x= π , x= 为第二类间断点. 4 4 ? 1) (2)函数 f ( x) = xx(( x 的间断点为 x = 0, x = ±1 . x ? 1) 因为 lim f ( x) = 1 , lim f ( x) = ?1 ,所以 x = 0 是 f ( x) 的第一类间断点(跳跃型) .
2

x → 0+

x → 0?

1 因为 lim f ( x) = 1 , lim f ( x) = ,所以 x = 1 是 f ( x) 的第一类间断点(可去型) . 2 2 因为 lim f ( x) = ?∞ , lim f ( x) = +∞ ,所以 x = ?1 是 f ( x) 的第二类间断点. (3) f ( x) = [| cos x |] 当 x = kπ 时, | cos x |= 1 , f ( x) = [| cos x |] = 1 ; 当 x ≠ kπ 时, | cos x |< 1 , f ( x) = [| cos x |] = 0 . 因此 x = kπ 是间断点. 因为 lim[| cos x |] = lim 0 = 0 ≠ 1 = f (kπ) ,所以 x = kπ 均为第一类间断点(可去型) .
x →1+ x →1? x →?1+ x →?1? x → kπ x → kπ

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(4) f ( x) = [ 断点. 由于

x ]ln(1 + x) 1 + sin x

的定义域是 {x x ≥ 0, x ≠ 2kπ ? π , k ∈ Z } ,x 2
+

0

= 2kπ ?

π 2

是 f ( x) 的间

π x → 2 kπ ? 2

lim f ( x) = lim

π x → 2 kπ ? 2

[ x ]ln(1 + x) =∞ 1 + sin x

,所以 x

0

= 2kπ ?

π 2

是 f ( x) 的第二类间断点.

当 x = n , n ∈ Z 时, lim
2 +

, ( n ? 1) ln(1 + x) (n ? 1) ln(1 + n ) lim f ( x) = lim = ≠ f (n ) , 1 + sin x 1 + sin n 所以 x = n , n ∈ Z 为 f ( x) 的第一类间断点(跳跃型) .
x → n2 +

f ( x) = lim 2
x →n

n ln(1 + x) n ln(1 + n 2 ) = = f (n 2 ) 2 + 1 + sin x 1 + sin n
2 2 2

x→n ?

2

x→n ?

2

2

+

(5)当 x ≠ 1 时, 所以
x →1+

t ?1 t ?1 x ? t x ? ? x ? 1 x t?t x?t x lim( ) = lim ?(1 + ) ?t ? = e x ?1 t→x t ? 1 t→x t ?1 ? ?

x ?t

?

t



0, x = 1, ? ? f ( x) = ? x x ?1 ? ?e , x ≠ 1.
x →1?

由于 lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = 0 ,所以函数 f ( x) 在 x = 1 处间断,且 x = 1 是 f ( x) 的第 二类间断点. 2.试举出定义在 (?∞, +∞) 上的函数 f ( x) .要求: f ( x) 仅在 x = 0, 1, 2 三点处连续,其余的 点都是 f ( x) 的第二类间断点.
1, 解:令 f ( x) = x( x ? 1)( x ? 2)D( x) ,其中 D( x) = ? ? ?0, x ∈ Q, x ? Q.

在点 x = 0 附近,易见 ( x ? 1)( x ? 2)D( x) 有界,故有 lim f ( x) = 0 = f (0) , 即 f ( x) 在 x = 0 点连续.类似可证 f ( x) 在 x = 1 和 x = 2 点连续. 另一方面, ?x ∈ ? \ {0,1, 2} ,取有理点列 {x } , x → x (n → ∞) ,有 lim f ( x ) = x ( x ? 1)( x ? 2) (≠ 0) ;
x→0 0 n

n

+ 0

n →∞

n

0

0

0

取无理点列 {x′ } , x′ → x
n n

+ 0

(n → ∞)

,有 .

n →∞

′) = 0 lim f ( xn

所以 f ( x) 在点 x 不存在左、右极限,故 x 为 f ( x) 的第二类间断点.
0 0

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.利用零点存在定理,证明: (1)若 f ( x) 是以 2π 为周期的连续函数,则在任何一个周期内都存在 ξ ∈ R ,使得 f (ξ + π) = f (ξ ) . (2)已知函数 f ( x) 在圆周上有定义,并且连续.证明:存在一条直径,使得它的两个端点 A , B 满足 f ( A) = f ( B) . (1) (连续函数的零点存在定理,周期函数的概念) 证明: 令 F ( x) = f ( x + π) ? f ( x) ,则 F ( x) 连续,且 F (a) = f (a + π) ? f (a) , F (a + π) = f (a + 2π) ? f (a + π) = f (a ) ? f (a + π) , 所以 F (a)F (a + π) ≤ 0 . 当等号成立时,取 ξ = a ; 当等号不成立时,由连续函数的零点存在定理,存在 ξ ∈ (a, a + π) ? R ,使得 F (ξ ) = 0 ,即 f (ξ +π)=f (ξ ) . (2) (连续函数的零点存在定理,周期函数的概念) 以圆心为极点、某条半径作极轴建立极坐标系,于是圆周上的点可以由极角 θ 决 定. f ( x) 便是 θ 的连续函数,且以 2π 为周期. 至此,问题变成证明存在 θ ,使得 f (θ ) = f (θ + π) .以下做法同第(1)题. 4.证明:设 f ( x) ∈ C ( ?∞, +∞) ,且 ? x ∈ R 使得 f ( f ( x )) = x ,则存在 ξ ∈ ( ?∞, +∞) ,使得 f (ξ ) = ξ . 证明 (连续函数的零点存在定理) 证法 1:令 F ( x) = f ( x) ? x ,则 F ( x) 连续,且 F (x ) = f (x ) ? x , F ( f ( x )) = f ( f ( x )) ? f ( x ) = x ? f ( x ) , 所以 F ( x )F ( f ( x )) ≤ 0 . 当等号成立时,取 ξ = x ; 当等号不成立时,由连续函数的零点存在定理,存在介于 x 与 f ( x ) 之间的点 ξ ,使得 F (ξ ) = 0 ,即 f (ξ ) = ξ .
3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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证法 2:反证法.假设对任意的 x ∈ (?∞, +∞) ,都有 f ( x) ≠ x ,不妨设 f ( x) > x ,则 f ( f ( x )) > f ( x ) > x . 这与条件 f ( f ( x )) = x 矛盾,故存在 ξ ∈ (?∞, +∞) ,使得 f (ξ ) = ξ . 5.证明:若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续,并且存在反函数,则 f ( x) 在 [a, b] 上单调. (连续函数的介值定理,函数概念)反证法.假设函数 f ( x) 在 [a, b] 上没有单调性, 证明: 则总存在 x <x <x , 使得 f ( x ) > f ( x ), f ( x ) > f ( x ) 或者 f ( x ) < f ( x ), f ( x ) < f ( x ) ,且 f ( x ) ≠ f ( x ) . 当 f ( x ) > f ( x ), f ( x ) > f ( x ) 时,若 f ( x ) > f ( x ) > f ( x ) ,则存在 x ∈ ( x , x ) ,使得 f ( x ) = f ( x ) ;若 f ( x ) > f ( x ) > f ( x ) ,则存在 x ∈ ( x , x ) ,使得 f ( x ) = f ( x ) . 当 f ( x ) < f ( x ), f ( x ) < f ( x ) 时,若 f ( x ) < f ( x ) < f ( x ) ,则存在 x ∈ ( x , x ) ,使得 f ( x ) = f ( x ) ;若 f ( x ) < f ( x ) < f ( x ) ,则存在 x ∈ ( x , x ) ,使得 f ( x ) = f ( x ) . 以上情形均与 f ( x) 在 [a, b] 上存在反函数矛盾. 综上可知,函数 f ( x) 在 [a, b] 上单调. 1 6.设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续,对 ?x ∈ [ a, b] ,总存在 y ∈ [a, b] 使得 f ( y ) ≤ f ( x) .求证: 2 至少存在一点η ∈ [a, b] ,使得 f (η ) = 0 . (闭区间上连续函数的最值存在性,反证法)反证法.如果函数 f ( x) 在 [a, b] 上没有 证法 1: 零点,则函数 f ( x) 在 [a, b] 上也没有零点, 所以 f ( x) > 0 . 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续,所以函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续.根据闭区间上连续函数的性 质,存在点 ξ ∈ [a, b] 使得 | f (ξ ) |= min ≤ ≤ {| f ( x) |} > 0 . 由题设条件知,在 [a, b] 内存在 y ∈[a, b] ,使得 1 f ( y ) ≤ f (ξ ) < f (ξ ) . 2 这与 f (ξ ) 是最小值矛盾,所以函数 f ( x) 在 [a, b] 上至少存在一个零点. (Bolzano 定理,极限保号性,连续概念)直接法.取 x ∈ [a, b] , f ( x ) ≠ 0 .根据 证法 2:
0 0 0 0 0 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 4 2 3 4 1 2 3 1 5 1 2 5 3 2 1 2 3 2 1 3 6 2 3 6 1 2 3 1 7 1 2 7 3 a x b 0 0

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题设条件,存在 x ∈[a, b] ,使得
1

≤1 f ( x ) (假设 f ( x ) ≠ 0 ) ; 2 类似地,存在 x ∈ [a, b] ,使得 1 f ( x ) ≤ f ( x ) (假设 f ( x ) ≠ 0 ) . 2 依次下去,存在 {x } ? [a, b] ,满足 1 1 f ( x ) ≤ f ( x ) ≤? ≤ f ( x ) (假设 f ( x ) ≠ 0 ) , 2 2 易知 lim f ( x ) = 0 . 因为数列 {x } 有界,所以存在收敛子列 {x } ,记η = lim x ,则η ∈ [a, b] . 因为函数 f ( x) 在η 处连续,所以 f (η ) = f (lim x ) = lim f ( x ) = 0 . 7.设 f ( x) ∈ C[a, +∞) 且有界,若 f (a) < sup { f ( x)} ,则 ?α ,满足 f (a) < α < sup { f ( x)} , 都存在 ξ ∈ [a, +∞) ,使得 α = f (ξ ) . 证明:(确界概念,连续函数的介值定理) ?α 使得 f ( a ) < α < sup { f ( x )} ,取
f ( x1 )
0 1 2 2 1 2 n n n ?1 n 0 n n →∞ n n
nk k →∞ nk k →∞ nk k →∞ nk

x∈[ a , +∞ )

x∈[ a , +∞ )

x∈[ a , +∞ )

ε = ? sup

1? ? f ( x )} ? α ? { 2 ? x∈[ a , +∞ ) ?

,则 ? b ∈ ( a, +∞ ) ,使得
{ f ( x)} ? ε =
1? ? sup { f ( x)} + α ? > α > f ( a) 2? x ∈ [ a , +∞ ) ? ?

f (b) > sup
x∈[ a , +∞ )



由于 f ( x) ∈ C[a, b] ,根据介值定理可知 ?ξ ∈ ( a, b ) ? ( a, +∞ ) ,使得 f (ξ ) = α . 8.设 f ( x) , g ( x) ∈ C[a, b] .证明: (1) | f ( x) | , max{ f ( x), g ( x)} , min{ f ( x), g ( x)}∈ C[a, b] ; (2) m( x) = min f (ξ ) ∈ C[ a, b] . ≤ ≤ f (ξ ) , M ( x) = max ≤≤ (1) (连续概念,连续函数的运算) ?x ∈[a, b] ,由于 lim f ( x) = f ( x ) 以及 证明:
a ξ x a ξ x

0

x → x0

0

≤ | f ( x) | ? | f ( x ) | ≤| f ( x) ? f ( x ) | , 可以得到 lim | f ( x) |=| f ( x ) | .
0
0 0
x → x0

0

因此函数 | f ( x) | 在 x 处连续(当 x
0

0

=a

或者 x

0

=b

时上述的极限和连续均表示单侧极限

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与单侧连续). 注意到

, f ( x) + g ( x ) | f ( x ) ? g ( x ) | min{ f ( x), g ( x)} = ? , 2 2 知 max{ f ( x), g ( x)}, min{ f ( x), g ( x)}∈ C[a, b] . (2) ?x ∈[a, b] , 只需证明 m( x) = min ≤ ≤ f (ξ ) 在 x = x 处连续. 先考察 ?x > 0 的情形.由于 m( x ) = ≤ min f (ξ ) , ≤
max{ f ( x), g ( x)} = f ( x) + g ( x ) | f ( x) ? g ( x ) | + 2 2
0
a ξ x

0

0

a ξ

x0

① (连续概念,连续函数的保号性)如果 f ( x ) > m( x ) ,即 f ( x) 在 [a, x ] 的最小值在 [a, x ) 内取到. 由于 lim f ( x) = f ( x ) ,当 ?x 很小时,在 [ x , x + ?x] 上,均有 f ( x) > m( x ) .因此在
0 0 0 0
x → x0

0

0

0

0

[a, x0 + ?x]

上,最小值仍为 m( x ) ,即 m( x + ?x) = m( x ) .所以有 lim m( x + ?x) = lim m( x ) = m( x ) .
0 0 0
?x → 0 +

0

?x → 0 +

0

0

② 如果 f ( x ) = m( x ) ,即 f ( x) 在 [a, x ] 的最小值在 x 处取到.那么 m( x + ?x) = min f (ξ ) = f (η (?x)) , ≤≤
0 0 0 0 0
a ξ x0 +?x

其中η (?x) ∈[ x , x + ?x] ,当 ?x → 0 时, η (?x) → x ,因此有
+

0

0

0

?x → 0 +

lim m( x0 + ?x) = lim+ f (η (?x)) = f ( x0 ) = m( x0 )
?x → 0


x → x0

下面考察 ?x < 0 的情形. ① 如果 f ( x ) > m( x ) ,即 f ( x) 在 [a, x ] 的最小值在 [a, x ) 内取到.由于 lim f ( x) = f ( x ) ,
0 0 0 0 0

当 | ?x | 充分小时,区间 [ x + ?x, x ] 不包含取得最小值的点,因此 m( x + ?x) = m( x ) .所以 有 lim m( x + ?x) = lim m( x ) = m( x ) .
0 0 0 0
?x → 0 ?

0

?x → 0?

0

0

② 如果 f ( x ) = m( x ) ,即 f ( x) 在 [a, x ] 的最小值在 x 处取到.那么 f ( x ) = m( x ) ≤ m( x + ?x) ≤ f ( x + ?x) , 由夹逼定理
0 0 0 0 0 0 0 0

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. 综上可知, ?x ∈[a, b] ,都有 lim m( x + ?x) = m( x ) .这就证明了 m( x) = min f (ξ ) ∈ C[a, b] . ≤≤ 注意到 M ( x) = max f (ξ ) = ? min {? f (ξ )} ,于是 M ( x) = max f (ξ ) ∈ C[ a, b] . ≤≤ ≤≤ ≤≤
?x → 0 ?

lim m( x0 + ?x) = f ( x0 ) = m( x0 )
0 0

0

?x → 0

a ξ

x

a ξ

x

a ξ

x

a ξ

x

9

.研究函数

p ? p , x= , ? q f ( x) = ? q + 1 ?| x |, x ?

其中p, q 互质,q ≥1, 在有理点与无理点的连续性. 是无理数
0 0 0

p (连续的概念,函数极限与数列极限的关系)设 x 为有理数且 x ≠ 0 ,即 x = q , q ≥1 .根 解: 据条件 f ( x ) = q p . +1 p p 取一列趋于 x 的有理数列 x = q ,由于任何收敛到 x 的有理数列 q 都有 1 lim = 0 , q 所以
0
k k

0

k

0

k

k

k →∞

k

k →∞

lim f ( xk ) = lim

k →∞

pk p p = lim = x0 = ≠ = f ( x0 ) k →∞ 1 qk + 1 q q +1 1+ qk

pk qk



因此函数 f ( x) 在 x 处不连续,即 f ( x) 在不为零的有理点处都是间断的. p 再设 x 为无理数, x = q 是任一趋于 x 的有理数列, { y } 是任一趋于 x 的无理数 列.因为
0 k 0 k 0

k

0

k

k →∞

lim f ( xk ) = lim

k →∞

, 所以,当 x > 0 时,lim f ( x ) = f ( x ) ,lim f ( y ) = f ( x ) .从而 lim f ( x) = f ( x ) ,即函数 f ( x)
lim f ( yk ) = lim | yk |=| x0 |= f ( x0 )
k →∞ k →∞ 0 k 0

? f ( x0 ), x0 > 0, pk = lim = x0 = ? k →∞ 1 qk + 1 ?? f ( x0 ), x0 < 0, 1+ qk

pk qk

0

k →∞

k

k →∞

x → x0

0

在 x 处连续. 当 x < 0 时, lim f ( x ) = ? f ( x ) ≠ f ( x ) .从而函数 f ( x) 在 x 处不连续. 类似地,可以得到函数 f ( x) 在 x = 0 处连续.
0

0

k →∞

k

0

0

0

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.有人断言: “如果函数 f ( x) 在 a ∈ R 的一个邻域中有定义并在 a 处连续,则 f ( x) 在 a 的 一个邻域内是一致连续的” .他给出如下证明: “因为 f ( x) 在 a ∈ R 处连续,所以对任意 ε > 0 ,存在 δ > 0 使得只要 x ∈ (a ? δ , a + δ ) , 就有 f ( x) ? f (a ) < ε . 因此对任意 x, y ∈ (a ? δ , a + δ ) (此时 x ? y < 2δ ) ,都有 f ( x) ? f ( y) ≤ f ( x) ? f (a) + f (a) ? f ( y ) < 2ε . 所以 f ( x) 在 (a ? δ , a + δ ) 中是一致连续的. ” 请问:这个断言和证明正确吗? (连续与一致连续的关系,一致连续的概念)此人的断言不正确.他的证明中偷换了概 解: 念,证明过程中 a 的邻域 (a ? δ , a + δ ) 与 ε 的取值有关,这与一直连续概念中的范围含义不 同. 2.证明:函数 f ( x) = sin x 在 [0, +∞) 上一致连续. (一致连续的概念,闭区间上连续与一致连续的等价性)对 ?x′, x′′ ∈ [1, +∞), 有 证明:
1 f ( x′) ? f ( x′′) = sin x′ ? sin x′′ = 2 sin x′ ? x′′ x′ + x′′ cos 2 2

二、一致连续性



x′ ? x′′ =

x′ ? x′′ x′ +

1 ≤ x′ ? x′′ , x′′ 2

从而 f ( x) = sin x 在 [1, +∞) 上一致连续. 又 f ( x) = sin x 在 [0,1] 连续,从而在 [0,1] 上一致连续. 综上可知,函数 f ( x) = sin x 在 [0, +∞) 上一致连续. 注:请说明 sin x 在 [0,1] 和 [1, +∞) 上一致连续,就能保证在 [0, +∞) 上一致连续的理由. 3.证明:函数 f ( x) = sin x 在 [0, +∞) 上不一致连续. (一致连续的概念)取 x = 2kπ , x = 2kπ + π .因为 证明: 2
2

k

k

π lim ( xk ? xk ) = lim ( 2kπ + ? 2kπ ) = lim 2 k →∞ k →∞ k →∞

π 2 =0 π 2kπ + + 2kπ 2



所以对任意的 δ >0,总存在正整数 k ,使得 x
0

k0

? xk0 < δ

,但

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f ( xk0 ) ? f ( xk0 ) = 1
2



故函数 f ( x) = sin x 在 [0, +∞) 上不一致连续. . 注:或取 x = kπ , x = kπ + π 2 4.设 f ( x), g ( x) ∈ C[0, +∞), lim [ f ( x) ? g ( x)] = 0 .证明:函数 f ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续当 且仅当函数 g ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续. (极限概念,一致连续的概念)先设 g ( x) 在 [0, +∞) 一致连续. 证法 1: ?ε > 0, 因为 lim ( f ( x) ? g ( x)) = 0, 所以 ?N > 0 ,对 ?x > N ,都有
k k x →+∞ x →+∞

. 因为 g ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续,所以 ?δ > 0 ,对 ?x, t ∈ [0, +∞) ,当 | x ? t |< δ 时,有 ε | g ( x) ? g (t ) |< . 3 因为 f ( x) 在 [0, N + 1] 上一致连续,所以 ?δ > 0 ,对 ?x, t ∈[0, N + 1] ,当 | x ? t |< δ 时,
| f ( x) ? g ( x) |<

ε 3

1

1

2

2



. 令 δ = min(δ , δ 1) , ?x < t ,若 0 < t ? x < δ,则只有两种可能: (1) t ≤ N + 1 ,从而 x < N + 1 ,因为 0 < t ? x < δ ,所以 ε | f ( x) ? f (t ) |< < ε ; 3 (2) t > N + 1 ,从而 x > N ,所以 ε ε | f ( x) ? g ( x) |< , | f (t ) ? g (t ) |< . 3 3 又因为 0 < t ? x < δ ,所以 | g ( x) ? g (t ) |< ε3 ,从而 | f ( x) ? f (t ) |≤ f ( x) ? g ( x) + f (t ) ? g (t ) + g ( x) ? g (t ) ε ε ε < + + <ε . 3 3 3 综上所述,可知函数 f ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续. 再设 f ( x) 在 [0, +∞) 一致连续.因为 lim ( f ( x) ? g ( x)) = 0 ,所以 lim ( g ( x) ? f ( x)) = 0 .由
| f ( x) ? f (t ) |<

ε 3

1

2

2

1

x →+∞

x →+∞

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上面的论述可知,函数 g ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续. (一致连续的运算性质)因为 f ( x), g ( x) ∈ C[0, +∞) ,且 lim [ f ( x) ? g ( x)] 存在,所以 证法 2: 函数 f ( x) ? g ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续. 当 g ( x) 在 [0, +∞) 一致连续时,因为 f ( x) = [ f ( x) ? g ( x)] + g ( x) , 且 f ( x) ? g ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续,所以 f ( x) 在 [0, +∞) 一致连续. 当 f ( x) 在 [0, +∞) 一致连续时,因为 g ( x) = f ( x) ? [ f ( x) ? g ( x)] , 且 f ( x) ? g ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续,所以 g ( x) 在 [0, +∞) 一致连续. 5.证明:函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续的充要条件是:对区间 I 上的任何两个数列 {x } 与 { y } ,当 lim( x ? y ) = 0 时,有 lim[ f ( x ) ? f ( y )] = 0 .并证明:函数 f ( x) = e 在 (?∞, +∞) 上 不一致连续. (一致连续的概念,数列极限的概念,反证法)“ ? ”. 设函数 f ( x) 在区间 I 上一致 证明: 连续,即 ?ε > 0 , ?δ > 0 ,对 ?x, y ∈ I ,只要 | x ? y |< δ ,就有 f ( x) ? f ( y) < ε . 由于 lim( x ? y ) = 0 ,对上述 δ > 0 , ?N ∈ N ,对 ?n > N ,都有 | x ? y |< δ ,从而有
x →+∞ n x n n →∞ n n n →∞ n n n →∞ n n n n

f ( xn ) ? f ( yn ) < ε



所以 lim[ f ( x ) ? f ( y )] = 0 . “ ? ”. 反证法. 假设 f ( x) 在 I 上不一致连续,即 ?ε
n →∞ n n

,对 ?δ > 0 ,总 ?x, y ∈ I ,满足 | x ? y |< δ ,但 f ( x) ? f ( y ) ≥ ε . 取 δ = 1 , ? x , y ∈ I ,满足 | x ? y |< 1 ,但有 f ( x ) ? f ( y ) ≥ ε . 1 取δ = 1 , ? x , y ∈ I ,满足 | x ? y |< ,但有 f ( x ) ? f ( y ) ≥ ε . 2 2
0

>0

0

1

1

1

1

1

1

0

2

2

2

2

2

2

0

??
1 取δ = 1 , ? x , y ∈ I ,满足 | x ? y |< ,但有 f ( x ) ? f ( y ) ≥ ε . n n
n n n n n n 0

??

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从而在区间 I 上得到两个数列 {x } 与 { y } ,满足 lim( x ? y ) = 0 ,但 lim[ f ( x ) ? f ( y )] ≠ 0 . 这与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续. 根据上述一致连续的充分必要条件,函数 f ( x) 在区间 I 非一致连续的充要条件是:在 区间 I 上存在两个数列 {x } 与 { y } ,当 lim( x ? y ) = 0 时,有 lim[ f ( x ) ? f ( y )] ≠ 0 .
n n n →∞ n n n →∞ n n n n n →∞ n n n →∞ n n

下面证明函数 f ( x) = e 在 (?∞, +∞) 上不一致连续. ?n ∈ N ,取 x = ln(n + 1) , y = ln n .则
x n n n →∞

且 lim[ f ( x ) ? f ( y )] = lim[e
n →∞ n n n →∞

1 lim( xn ? yn ) = lim[ln(n + 1) ? ln n] = lim ln(1 + ) = 0 n →∞ n →∞ n
ln( n +1)



? eln n ] = 1 ≠ 0

,所以函数 f ( x) = e 在 (?∞, +∞) 上不一致连续.
x

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