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安徽省马鞍山二中、安师大附中2015届高三上学期统一考试数学理试题Word版含答案

安徽省马鞍山二中、安师大附中2015届高三上学期统一考试数学理试题Word版含答案

2015 届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷

数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的). 1. 全集U ? R ,集合 A ? {x x ?1 ? 0} , B ? {x x ? 3 ? 0} ,那么集合 (CU A) B ?
()

A.{x ?1 ? x ? 3} B.{x ?1 ? x ? 3}

C.{x x ? ?1}

D.{x x ? 3}

2.已知数列{an}满足 3an?1

?

an

?

0 , a2

?

?

4 3

,则 {an } 的前

10

项和等于(

)

A. ?6(1? 3?10 )

B. 1 (1? 3?10 ) 9

C. 3(1? 3?10 )

D. 3(1? 3?10 )

?x ? 0

3.已知实数

x,

y

满足约束条件

? ?

y

?

x

,则 z ? x ? 3y 的最大值等于

??2x ? y ? 9 ? 0

()

A.9

B.12

C.27

D.36

4.用数学归纳法证明:“1 ? a ? a 2 ? ? ? a n?1 ? 1 ? a n?2 (a ? 1, n ? N * ) ,在验证 n= 1? a
1 时,左端计算所得的项为( )

A.1

B.1 ? a

C.1 ? a ? a 2

D.1 ? a ? a 2 ? a3

5.非零向量 a , b ,| a | ? m ,| b | ? n ,若向量 c ? ?1 a ? ?2 b ,则| c | 的最大值为( )

A. ?1m ? ?2n

B. | ?1 | m? | ?2 | n

C. | ?1m ? ?2n |

D.以上均不



6.若函数f

(x)

?

x3 3

?

a 2

x2

?

x

?1

在区间

? ??

1 3

,

4

? ??

上有极值点,则实数

a

的取值范围是

()

A.

? ??

2,

10 3

? ??

B.

???2,

10 3

? ??

C.

? ??

10 3

,

17 4

? ??

D.

? ??

2,

17 4

? ??

7.已知 a,b, c 为三条不同的直线,? 和 ? 是两个不同的平面,且

a ? ? ,b ? ? ,? ? ? ? c .下列命题中正确的是( )

A.若 a 与 b 是异面直线,则 c 与 a,b 都相交 B.若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直

C.若 a // b ,则 a // c

D.若 a ? b, a ? c, 则? ? ? 8.设 a,b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ? 1 ? b ? 1 ”成立的( )
ab A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 要条件

D.充

9. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 ,OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | ,则向

量 CA 在 CB 方向上的投影为 (



A. 3

B. 3

C. ? 3

D. ? 3

10.设等差数列 ?an?满足:sin2

a3

? cos2 a3

? cos2 a3 cos2 a6 sin(a4 ? a5 )

? sin2 a3 sin2 a6

? 1,公差

d ? (?1, 0) .若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首

项 a1 的取值范围是(

)

A.

? ??

7? 6

,

4? ? 3 ??

B.

? ??

4? 3

,

3? 2

? ??

C.

? ??

7? 6

,

4? ? 3 ??

D.

? ??

4? 3

,

3? ? 2 ??

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题纸相 应位置上). 11.已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为
___________。

2

2

2

2

2

2

正视图

侧视图

俯视图

12 . 若 存 在 实 数 x ?[1 , 2] 满 足 2x ? a ? 2 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

3

x

______________.

13.已知函数 f (x) ? 2sin(?x ? ?) (其中 x ? R ,? ? 0 , ? ? ? ? ? ? )的部分图

象如下图所示,如果对函数 g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的 2 倍, 纵坐标不变,也可得到 f(x)函数的图像,则函数 g(x)的解析式是_____________.

14.已知首项为正数的等差数列 ?an ?中,a1a2 ? ?2 ,则当 a3 取最大值时,数列?an ?

的公差 d =



15.函数 f (x) 的定义域为 A ,若 x1, x2 ? A 且 f (x1 ) ? f (x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f (x) 为单函数,例如:函数 f (x) ? 2x ? 1(x ? R) 是单函数.下列命题:

①函数 f (x) ? x2 (x ? R) 是单函数;

②指数函数 f (x) ? 2x (x ? R) 是单函数;

③若 f (x) 为单函数, x1, x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f (x1 ) ? f (x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数;

⑤若 f (x) 为单函数,则函数 f (x) 在定义域上具有单调性。

其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤).
16.(本小题满分 12 分)已知 A、B 分别在射线 CM、CN(不含端点 C )上运动,

?MCN ? 2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别是 a 、

3

M

b、c.

A

(1)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值;

θ

NB

C

(2)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,

并求周长的最大值.

16 题图

17.(本小题满分

12

分)已知数列?xn ?满足 x1

?

1 2

, xn?1

?

1 1? xn

,n?

N * .猜想

数列 ?x2n ?的单调性,并证明你的结论.

18.(本小题满分 12 分)在多面体 ABCDE 中, BC ? BA , DE // BC , AE ? 平

面 BCDE ,

BC ? 2DE , F 为 AB 的中点.

(1)求证: EF // 平面 ACD ;

D

E

(2)若 EA ? EB ? CD ,求二面角 B ? AD ? E 的正切

值的大小.

C

B

F

18 题图

19.(本小题满分 13 分)已知等差数列?an?的公差为 ?1,

A

首项为正数,将数列 ?an?的前 4 项抽去其中一项后,

剩下三项按原来顺序恰为等比数列?bn?的前 3 项,

(1)求数列?an? 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ;

(2)是否存在三个不等正整数 m, n, p ,使 m, n, p 成等差数列且 Sm , Sn , S p 成等

比数列.

20.(本小题满分 13 分)如图,某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形,现一客户 订制该圆锥纸筒,并要求该圆锥纸筒的容积为 π 立方分米.设圆锥纸筒底面半 径为 r 分米,高为 h 分米.
(1)求出 r 与 h 满足的关系式;
(2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,求最省时 h 的值. r

20 题图

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f (x) ? ln(x ?1) ? x???(x ? ?1) .

(1)求 f (x) 的单调区间;

(2)已知数列 {an } 的通项公式为

an

?1?

1 2n

?

1 n2

???(n

?

N? )



5
求证: a2a3a4 ? ? an ? e4 ( e 为自然对数的底数);

(3)若 k ? Z ,且 k ? xf (x ?1) ? x2 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。 x ?1

2015 届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷

数学试题(理科)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的). 1. 全集U ? R ,集合 A ? {x x ?1 ? 0} , B ? {x x ? 3 ? 0} ,那么集合 (CU A) B ?
(A )

A.{x ?1 ? x ? 3} B.{x ?1 ? x ? 3}

C.{x x ? ?1}

D.{x x ? 3}

2.已知数列{an}满足 3an?1

?

an

?

0 ,a2

?

?

4 3

,则 {an } 的前

10

项和等于(

C

)

A. ?6(1? 3?10 )

B. 1 (1? 3?10 ) 9

C. 3(1? 3?10 )

D. 3(1? 3?10 )

?x ? 0

3.已知实数

x,

y

满足约束条件

? ?

y

?

x

,则 z ? x ? 3y 的最大值等于

??2x ? y ? 9 ? 0

(B)

A.9

B.12

C.27

D.36

4.用数学归纳法证明:“1 ? a ? a 2 ? ? ? a n?1 ? 1 ? a n?2 (a ? 1, n ? N * ) ,在验证 n= 1? a
1 时,左端计算所得的项为( C )

A.1

B.1 ? a

C.1 ? a ? a 2

D.1 ? a ? a 2 ? a3

5.非零向量 a , b ,| a | ? m ,| b | ? n ,若向量 c ? ?1 a ? ?2 b ,则 | c | 的最大值为( B )

A. ?1m ? ?2n 对

B. | ?1 | m? | ?2 | n

C. | ?1m ? ?2n |

D.以上均不

6.若函数f

(x)

?

x3 3

?

a 2

x2

?

x

?1

在区间

? ??

1 3

,

4

? ??

上有极值点,则实数

a

的取值范围是

(D)

A.

? ??

2,

10 3

? ??

B.

???2,

10 3

? ??

C.

? ??

10 3

,

17 4

? ??

D.

? ??

2, 17 4

? ??

7.已知 a,b, c 为三条不同的直线,? 和 ? 是两个不同的平面,且

a ? ? ,b ? ? ,? ? ? ? c .下列命题中正确的是( C )

A.若 a 与 b 是异面直线,则 c 与 a,b 都相交 B.若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直 C.若 a // b ,则 a // c

D.若 a ? b, a ? c, 则? ? ? 8.设 a,b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ? 1 ? b ? 1 ”成立的( D )
ab A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 要条件

D.充

9. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 ,OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | ,则向

量 CA 在 CB 方向上的投影为 ( A )

A. 3

B. 3

C. ? 3

D. ? 3

10.设等差数列 ?an?满足:sin2

a3

? cos2 a3

? cos2 a3 cos2 a6 sin(a4 ? a5 )

? sin2 a3 sin2 a6

? 1,公差

d ? (?1, 0) .若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首

项 a1 的取值范围是( B )

A.

? ??

7? 6

,

4? ? 3 ??

B.

? ??

4? 3

,

3? 2

? ??

C.

? ??

7? 6

,

4? ? 3 ??

D.

? ??

4? 3

,

3? ? 2 ??

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题纸相 应位置上). 11.已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为
____ 6? _______。

2

2

2

2

2

2

正视图

侧视图

俯视图

12 . 若 存 在 实 数 x ?[1 , 2] 满 足 2x ? a ? 2 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

3

x

___ (??, 20) _____. 3

13.已知函数 f (x) ? 2sin(?x ? ?) (其中 x ? R ,? ? 0 , ? ? ? ? ? ? )的部分图

象如下图所示,如果对函数 g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的 2 倍,

纵坐标不变,也可得到 f(x)函数的图像,则函数 g(x)的解析式是 2sin(4x ? 2? ) . 3

14.已知首项为正数的等差数列 ?an ?中,a1a2 ? ?2 ,则当 a3 取最大值时,数列?an ?
的公差 d =
-3 .
15.函数 f (x) 的定义域为 A ,若 x1, x2 ? A 且 f (x1 ) ? f (x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f (x) 为 单函数,例如:函数 f (x) ? 2x ? 1(x ? R) 是单 函数.下列命题: ①函数 f (x) ? x2 (x ? R) 是单函数; ②指数函数 f (x) ? 2x (x ? R) 是单函数; ③若 f (x) 为单函数, x1, x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f (x1 ) ? f (x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f (x) 为单函数,则函数 f (x) 在定义域上具有单调性。
其中的真命题是___②③④___.(写出所有真命题的编号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤).
16.(本小题满分 12 分)已知 A、B 分别在射线 CM、CN(不含端点 C )上运动,

?MCN ? 2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别是 a 、

3

M

b、c.

A

(1)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值;

θ

NB

C

(2)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,

并求周长的最大值.

解:(1) a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,

? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 . 又 ?MCN ? 2 ? , cos C ? ? 1 ,

3

2

? a2 ? b2 ? c2 ? ? 1 ,

2ab

2

?

?c ? 4?2 ? ?c ? 2?2 ? c2 2?c ? 4??c ? 2?

?

?

1 2



16 题图
……

(4 分)

恒 等 变 形 得 c2 ? 9c ?14 ? 0 , 解 得 c ? 7 或 c ? 2 . 又 c ? 4 ,

?c ? 7.

……(6 分)

( 2 ) 在 ?ABC 中 ,

AC ? BC ? AB



sin?ABC sin? BAC sin? ACB

?

AC sin ?

?

BC

sin

? ??

? 3

?

?

? ??

?

3 sin 2?
3

?2



AC ? 2sin ?



BC

?

2

sin

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? 3

?

?

? ??

.

……(8 分)

?

?ABC

的周长

f

???

?

AC

?

BC

?

AB

?

2 sin

?

?

2 sin

? ??

? 3

?

?

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?

3

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2

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? ?

1 2

sin

?

?

3 2

cos

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?

3

?

2 sin

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?

? 3

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?

3,



…(10 分)



?

?

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0,

? 3

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,?

? 3

??

?? 3

?

2? 3

,

? 当 ? ? ? ? ? 即 ? ? ? 时 , f ??? 取 得 最 大 值

32

6

2? 3.

……(12 分)

17.(本小题满分

12

分)已知数列?xn ?满足 x1

?

1 2

, xn?1

?

1 1? xn

,n?

N * .猜想

数列 ?x2n ?的单调性,并证明你的结论.

解:由 x1

?

1 2

及 xn?1

?

1 1? xn



得 x2

?

2 3

, x4

?

5 8



x6

?

13 , 21

由 x2 ? x4 ? x6 猜想:数列 ?x2n ?是递减数

列.

……(4 分)

下面用数学归纳法证明:

(1)当 n ? 1时,已证命题成立.

(2)假设当 n ? k 时命题成立,即 x2k ? x2k?2 ,易知 xk ? 0 ,

那么 x2k ?2

?

x2k?4

? 1?

1 x2k ?1

? 1?

1 x2k ?3

=

x2k ?3 ? x2k ?1

(1 ? x2k?1 )(1 ? x2k?3 )

1 ?1 = 1? x2k?2 1? x2k
(1 ? x2k?1 )(1 ? x2k?3 )

=

x2k ? x2k?2

?0

(1 ? x2k )(1 ? x2k?1 )(1 ? x2k?2 )(1 ? x2k?3 )

即 x2(k ?1) ? x2(k ?1)?2

也就是说,当 n ? k ? 1时命题也成立.

结合(1)和(2)知命题成立.

……

(12 分)

18.(本小题满分 12 分)在多面体 ABCDE 中, BC ? BA , DE // BC , AE ? 平

面 BCDE ,

BC ? 2DE , F 为 AB 的中点.

(1)求证: EF // 平面 ACD ;

D

E

(2)若 EA ? EB ? CD ,求二面角 B ? AD ? E 的正切

值的大小.

证明:(Ⅰ)取 AC 中点 G ,连接 DG, FG . 因为 F 是 AB 的中点,所以 FG 是 ?ABC 的中位线,

C

B

F

18 题图 A

则 FG // BC, FG ? 1 BC ,所以 FG // DE, FG ? DE , 2

……(2

分)

则四边形 DEFG 是平行四边形,所以 EF // DG ,故 EF // 平面 ACD . ……

(4 分)

(Ⅱ)过点 B 作 BM 垂直 DE 的延长线于点 M ,

因为 AE ? 平面 BCDE ,所以 AE ? BM ,则 BM ? 平面 ADE ,

过 M 作 MH ? AD ,垂足为 H ,连接 BH ,易证 AD ? 平面 BMH ,

所以 AD ? BH ,则 ?BHM 是二面角 B ? AD ? E 的平面角.

……

(7 分)

设 DE ? a ,则 BC ? AB ? 2a ,

在 ?BEM 中,EM ? a ,BE ? 2a ,所以 BM ? 7 a .

2

2

分)

……(10

又因为 ?ADE ∽ ?MDH ,所以 HM ? 6 a ,则 tan ?BHM ? 42 . ……(12

2

6

分)

19.(本小题满分 13 分)已知等差数列?an?的公差为 ?1,首项为正数,将数列?an? 的前 4 项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列?bn?的前 3 项,

(1)求数列?an? 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ;

(2)是否存在三个不等正整数 m, n, p ,使 m, n, p 成等差数列且 Sm , Sn , S p 成等比

数列.

解:(1)设前 4 项为 a, a ?1, a ? 2, a ? 3.

则 (a ?1)2 ? a(a ? 2) 或 (a ? 2)2 ? (a ?1)(a ? 3)

或 (a ?1)2 ? a(a ? 3) 或 (a ? 2)2 ? a(a ? 3)

……(3 分)

解得a

?

4 ? an

?

5 ? n, Sn

?

? n2 ? 9n 2

(2) 若Sm , Sn , S p成等比数列,则Sn 2 ? Sm S p

……(6 分)

n2 (9 ? n)2 m(9 ? m) p(9 ? p)

?

?

4

4

……(9 分)

? n2 (9 ? n)2 ? m(9 ? m) p(9 ? p)

4

4

但 mp ? ( m ? p )2 ? n2 , (9 ? m)(9 ? p) ? (9 ? p ? 9 ? m)2 ? (9 ? n)2 ……(12 分)

2

2

? m ? p ?等号不成立

故不存在三个不等正整数 m, n, p ,

使 m, n, p 成等差数列且 Sm , Sn , S p 成等比数列. 分)

……(13

20.(本小题满分 13 分)如图,某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形,现一客户 订制该圆锥纸筒,并要求该圆锥纸筒的容积为 π 立方分米.设圆锥纸筒底面半

径为 r 分米,高为 h 分米. (1)求出 r 与 h 满足的关系式;
(2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,求最省时 h 的值. r

20 题图

解:(1)设圆锥纸筒的容积为V ,则V ? 1 ?r2h , 3

由该圆锥纸筒的容积为 π ,则 1 ?r2h ? ? ,即 r2h ? 3 , 3
故 r 与 h 满足的关系式为 r2h ? 3 ;

…………

(4 分)

(2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,即所用材料的面积最小,即要该圆锥

的侧面积最小, 设该纸筒的侧面积为 S ,则 S ? ?rl ,其中 l 为圆锥的母线长,

且 l ? r2 ? h2 ,

所以 S ? ?r r2 ? h2 ? ? (r2 ? h2 )r 2 ? ? ( 3 ? h2 ) 3 ( h > 0 ), hh
分)

……(7



f

(h)

?

(3 h

?

h2 )

3 h

?

9 h2

?

3h

(h>0

),



f

?(h)

?

?

18 h3

?

3

?

0

,解得

h

?

36



当 0 < h < 3 6 时, f ?(h) < 0 ;当 h > 3 6 时, f ?(h) > 0 ;

因此,h ? 3 6 时 f (h) 取得极小值,且是最小值,此时 S ? ? f (h) 亦最小;……(11

分)

由 r2h ? 3 得 h ?
r

h2 r2

?

h3 ? 3

6? 3

2

,所以最省时

h r

的值为

2 ………………

(13 分)

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f (x) ? ln(x ?1) ? x???(x ? ?1) .

(1)求 f (x) 的单调区间;

(2)已知数列 {an } 的通项公式为

an

?1?

1 2n

?

1 ???(n ? n2

N? )



5
求证: a2a3a4 ? ? an ? e4 ( e 为自然对数的底数);

(3)若 k ? Z ,且 k ? xf (x ?1) ? x2 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。 x ?1

解:(1)因 f (x) ? ln(x ?1) ? x ,所以 f ?(x) ? 1 ?1 ? ? x 。

x ?1

x ?1

当 x ? (?1, 0) 时, f ?(x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f ?(x) ? 0 。

所以 f (x) 的单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) 。

……

(3 分)

(2)由(1)知,当 x ? 0 时, f (x) ? f (0) ? 0 ,即 ln(x ?1) ? x 。

因为 an

?1?

1 2n

?

1 n2

???(n

?

N

?

)

,所以

ln

ak

? ln(1?

1 2k

?

1 k2

??

1 2k

?

1 k2



令 k ? 2,3, , n ,这 n ?1个式子相加得

ln a2 ? ln a3 ?

?

ln

an

?

1 ( 22

?

1 23

?

?

1 2n

)

?

1 ( 22

?

1 32

?

?

1 n2

)

?

(1 2

?

1 2n

)

?

[

1 22

?

1 2?3

?

1 3?4

?

? 1] (n ?1)n

?

(

1 2

?

1 2n

)

?

[

1 4

?

(

1 2

?

1) 3

?

(1 3

?

1 4

)

?

? ( 1 ? 1 )] n ?1 n

? (1 ? 1 )?(1 ? 1 ? 1) ? 5 ? 1 ? 1 ? 5 . 2 2n 4 2 n 4 2n n 4

即 ln(a2a3 ?

? an )

?

5 4

,所以

a2a3a4

?

5
? an ? e4 。

……(8

分)

(3)令 g(x) ?

xf (x ?1) ? x2 x ?1

?

x ln x ? x???(x x ?1

? 1) ,则 g?(x) ?

x ? ln x ? 2 (x ?1)2



令 h(x) ? x ? ln x ? 2 ,则 h?(x) ? 1? 1 ? 0 ,故 h(x) 在 (1, ??) 上单调递增, x
而 h(3) ? 1? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,

所以 h(x) 存在唯一零点 x0 ? (3, 4) ,即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。 当 x ? (1, x0 ) 时, h(x) ? h(x0 ) ? 0 ,即 g?(x) ? 0 ; 当 x ? (x0, ??) 时, h(x) ? h(x0 ) ? 0 ,即 g?(x) ? 0 。

所以 g(x) 在 (1, x0 ) 上单调递减,在 (x0, ??) 上单调递增,

故 [ g ( x)]min

?

g(x0 )

?

x0 (ln x0 ?1) x0 ?1

?

x0 (x0 ?1) x0 ?1

?

x0 。

由题意有 k ? [g(x)]min ? x0 ,又 k ? Z ,x0 ? (3, 4) ,所以 k 的最大值是 3。 …… (13 分)


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