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2019-2020学年【课堂坐标】高中数学北师大版必修一学业分层测评:第二章 函数(7) Word版含解析

2019-2020学年【课堂坐标】高中数学北师大版必修一学业分层测评:第二章 函数(7) Word版含解析

北师大版 2019-2020 学年数学精品资料

学业分层测评(七)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.给出如图 228 所示的对应:

图 228 其中构成从 A 到 B 的映射的个数为( A.3 C.5 【解析】 【答案】 )

B.4 D.6 由映射的定义可知,构成从 A 到 B 的映射有①②③. A

2. (2016· 西安高一检测)设集合 P={x|0≤x≤2}, Q={y|0≤y≤2}, 则图 229 中,能表示 P 到 Q 的映射的是( )

图 229

A.(1)(2)(3)(4) C.(1)(4) 【解析】

B.(1)(3)(4) D.(3)

如图(1),对于 P 中的每个元素 x 在 Q 中都有唯一的像,所以它

是 P 到 Q 的映射;在图(2)中,当 P 中元素 x 取(0,1]的值时,在 Q 中对应的元素 不唯一,所以(2)不是映射;在图(3)中,当 P 的元素取(1,2]的值时,Q 中没有元 素与它对应,所以(3)不是 P 到 Q 的映射;与(1)相同,(4)也是 P 到 Q 的映射. 【答案】 C

3.下列对应法则中,能建立从集合 A={1,2,3,4,5}到集合 B={0,3,8,15,24} 的映射的是( ) B.f:x→x+(x-1)2 D.f:x→x2-1

A.f:x→x2-x C.f:x→x2+1 【解析】

因为 12-1=0,22-1=3,32-1=8,42-1=15,52-1=24.

故从集合 A 到集合 B 的映射的对应关系为 f:x→x2-1. 【答案】 D

4.已知 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射,若 1 和 8 的原像分别是 3 和 10,则 5 在 f 下的像是( A.3 C.5 【解析】 B.4 D.6 ? ? ?3a+b=1, ?a=1, 由题意? 解得? ? ? ?10a+b=8, ?b=-2. )

∴f:x→y=x-2, ∴5 在 f 下的像是 5-2=3. 【答案】 A

5.已知映射 f:A→B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的 元素都是 A 中的元素在映射 f 下的像,且对任意的 a∈A,在 B 中和它对应的元 素是|a|,则集合 B 中的元素的个数是( )

A.4 C.6 【解析】

B.5 D.7 对应关系是 f:a→|a|.因此,3 和-3 对应的像是 3;-2 和 2 对

应的像是 2;1 和-1 对应的像是 1;4 对应的像是 4.所以 B={1,2,3,4}.故选 A. 【答案】 二、填空题 6.设 M=N=R,f:x→-x2+2x 是 M 到 N 的映射,若对于 N 中元素 p,在 M 中恰有一个原像,则 p 的值为________. 【解析】 由题意知,关于 x 的方程-x2+2x=p 有两相等实根,∴Δ=4-4p =0,p=1. 【答案】 1 A

7.下列对应 f 是从集合 A 到集合 B 的函数的是________. ①A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8; ②A=Z,B={-1,1},n 为奇数时,f(n)=-1;n 为偶数时,f(n)=1; ③A={高一一班的男生},B={男生的身高},对应关系 f;每个男生对应自 己的身高. 【解析】 对于①,集合 A 中的元素没有剩余,即 A 中的任何一个元素在 B 中都有唯一确定的像,同时集合 A 和 B 都是数集,可知对应 f 是集合 A 到集合 B 的函数. 同理,对于②,对应 f 也是集合 A 到集合 B 的函数. 对于③,集合 A,B 不是数集,不是函数关系. 【答案】 ①②

8.已知集合 A=B=R,映射 f:x→x2+2x-4,若 a 在 B 中且在 A 中没有原 像,则 a 的取值范围是________. 【解析】 ∵x2+2x-4=(x+1)2-5≥-5.

∵a 在 B 中且在 A 中没有原像,

则 a<-5. 【答案】 三、解答题 9. 设集合 P=Q={(x, y)|x, y∈R}, 从集合 P 到集合 Q 的映射为 f: (x, y)→(x +y,xy),求 (1)集合 Q 中与集合 P 中元素(3,2)对应的元素; (2)集合 P 中与集合 Q 中元素(3,2)对应的元素. 【解】 (1)由 3+2=5,3×2=6, (-∞,-5)

故与集合 P 中元素对应的元素为(5,6). ? ? ? ?x+y=3, ?x=1, ?x=2, (2)由? 解得? 或? ?xy=2, ? ? ? ?y=2 ?y=1. 故与集合 Q 中元素(3,2)对应的元素为(1,2)或(2,1). 10.下列对应是否是从 A 到 B 的映射,能否构成函数? 1 (1)A=R,B=R,f:x→y= ; x+1 (2)A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,64}, f:a→b=(a-1)2. (3)A=[0,+∞),B=R,f:x→y2=x; (4)A={x|x 是平面 M 内的矩形},B={x|x 是平面 M 内的圆},f:作矩形的外 接圆. 【解】 (1)当 x=-1 时,y 的值不存在;

∴不是映射,更不是函数. (2)在 f 的作用下,A 中的 0,1,2,9 分别对应到 B 中的 1,0,1,64,∴是映射,也 是函数. (3)∵当 A 中的元素不为零时,B 中有两个元素与之对应,∴不是映射,更不 是函数.

(4)是映射,但不是函数,因为 A、B 不是数集. [能力提升] 1.设集合 A 与集合 B 都是自然数集 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中为元素 n2+n,则在映射 f 下,像 20 的原像是( A.2 C.4 【解析】 B.3 D.4 或-5 令 n2+n=20,即 n2+n-20=0, )

解得 n=-5 或 4. ∵n∈N,∴n=4. 【答案】 C

2.集合 A={a,b},B={-1,0,1},从 A 到 B 的映射 f:A→B 满足 f(a)+f(b) =0,那么这样的映射 f:A→B 的个数有( A.2 个 C.5 个 【解析】 )

B.3 个 D.8 个 由 f(a),f(b)∈{-1,0,1},且 f(a)+f(b)=0 知,这样的映射有:

共 3 个.

【答案】

B

3.给定映射 f(x,y)→( x,x+y),在对应关系 f 下像(2,3)的原像是(a,b), 则函数 y=ax2+bx 的顶点坐标是________. 【解析】 【答案】 1? ?1 由题意 a=4,b=-1,则 y=4x2-x 的顶点坐标为?8,-16?. ? ? 1? ?1 ?8,-16? ? ?

4.设集合 A=B={(x,y)|x,y∈R},f 是 A 到 B 的一个映射,并满足 f:(x, y)→(-xy,x-y). (1)求 B 中元素(3,-4)在 A 中的原像;

(2)试探索 B 中哪些元素在 A 中存在原像; (3) 求 B 中元素(a,b)在 A 中有且只有一个原像时,a,b 所满足的关系式. 【导学号:04100023】 ? ?-xy=3, 【解】 (1)设(x, y)是 B 中元素(3, -4)在 A 中的原像, 于是? ? ?x-y=-4, ? ? ?x=-1, ?x=-3, 解得? 或? ? ? ?y=3, ?y=1. 所以(3,-4)在 A 中的原像有两个,即(-1,3)和(-3,1). ? ?-xy=a, ? (2)设任意(a, b)∈B, 则它在 A 中的原像(x,y)应满足, ? ?x-y=b, 由②式得 y=x-b,将它代入①式,并化简得 x2-bx+a=0.③ 当且仅当 Δ=b2-4a≥0 时,方程③有实数根,因此只有当 B 中元素(a,b) 满足 b2-4a≥0 时,在 A 中才有原像. (3)由以上(2)的解题过程可知,当 B 中元素(a,b)满足 b2=4a 时,它在 A 中 有且只有一个原像. ① ②


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