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高三数学-2018届长汀一中高三综合测试一数学(理)及答案 精品

高三数学-2018届长汀一中高三综合测试一数学(理)及答案 精品

2018 届长汀一中高三综合测试(一) 数学试题(理科)
拟题者:王仁忠

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟. 选择题答案涂在答题卡上,其它题目答案做在答题卷上。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下面说法正确的是 A.离散型随机变量ξ 的期望 Eξ 反映了ξ 取值的概率的平均值 B.离散型随机变量ξ 的方差 Dξ 反映了ξ 取值的平均水平 C.离散型随机变量ξ 的期望 Eξ 反映了ξ 取值的平均水平 D.离散型随机变量ξ 的方差 Dξ 反映了ξ 取值的概率的平均值 2.要完成下列 2 项调查: ①从某社区 125 户高收入家庭, 280 户中等收入家庭, 95 户低收入家庭中选出 100 户调 查社会购买力的某项指标; ②从某中学高一年级的 12 名体育特长生中选出 3 人调查学习负担情况. 应采用的抽样方法是 A.①用随机抽样法 B.①用分层抽样法 C.①用系统抽样法 D.①、②都用分层抽样法 3. y ? x sin x ,则 y ?
2 '

②用系统抽样法 ②用随机抽样法 ②用分层抽样法

A. 2 x sin x C. 2 x cos x ? x cos x
2

B. x cos x D. 2 x sin x ? x cos x
2

2

4.已知 lim ?

? n2 ? 1 ? ? an ? b ? ? 0 ,则点 M a, b 所在的象限是 n ?? ? n ?1 ?

?

?

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1 ?3 5.函数 y ? ? e 的部分图象大致是 2?

x2

A

B

C

D

?1 ? 1 ? x ( x ? 0) ? 6 、 设 f ( x) ? ? , 要 使 f ( x) 在 (??, ??) 内 连 续 , 则 a 的 值 为 x ?a ? x 2 ( x ? 0) ?
A. 0 B. 1 C.

1 2

D. 不存在 A.1

7、点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为

B.

2

C.

2 2

D. 3

8.设两个独立事件A和B都不发生的概率为

1 ,A发生B不发生的概率与B发生A不发生 9 2 的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是 A. 9 1 1 2 B. C. D. 3 18 3

9. lim
x ?0

x 3 f (?5 x) ? ? , 则 lim 的值是 x ?0 f ( 2 x) 2 x
15 4
B. ?
3

A.

15 4
2

C. ?

5 3

D.

5 3

10.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是

A. ? 1 ? a ? 2 C. a ? ?3或a ? 6 11.已知随机变量 ? 的分布列为: P(? ? k ) ? A.6 B.9 C.3

B. ? 3 ? a ? 6 D. a ? ?1或a ? 2

1 , k ? 1, 2,3, 则 D (3? ? 5) ? 3
D.4

12. 以边长为 1 的正六边形的一边为边向外作正方形, 以正方形的一边为底向外作等腰直角 三角形,再以等腰直角三角形一条直角边为边向外作正六边形,……,如此继续无限反复同 一过程,则这些正六边形、正方形、等腰直角三角形面积之和为 A.

3? 6 3 3

B.

5?6 3 3 5? 3 2

C.

5?6 3 2

D.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分, 13.10.一个容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如下: ( 10,20 ] ,2; (20,30 ] , 3; (30,40 ] ,4; (40,50 ] ,5; (50,60 ] ,4; (60,70 ] ,2;则样本在(50,+∞)上的 频率为****** 14. 点 P 在曲线 y ? x ? x ?
3

2 上移动, 在点 P 处的切线的倾斜角为α , 则α 的取值范围是****** 3

15.函数 y = f ( x ) = x3+ax2+bx+a2,在 x = 1 时,有极值 10,则 a = ******, 16.已知: P(? ? k ) ?

1 (k ? N ? ), 则 E? ? ****** k 2 4 , ( x ? 0). x2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? (1)求 f (x)的单调递减区间; (2)当 x ? [1,4]时, 求f ( x)的最大值和最小值 .

18. (本小题满分 12 分) 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛. (I) 求所选 3 人都是男生的概率; (II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (III)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率. 19. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围.
3 2

20. (本小题满分 12 分) 在一次环保知识竞赛中, 有 6 道选择题和 2 道判断题放在一起供抽取, 每支代表队要抽 3 次,每次只抽一道题回答. (1)不放回的抽取试题,求只在第三次抽到判断题的概率; (2)有放回的抽取试题,求在三次抽取中抽到判断题的个数 ? 的概率分布及 ? 的期望. 21. (本小题满分 12 分)
2 已知数列 {an }满足an?1 ? ?an ? 2an , n ? N ? , 且0 ? a1 ? 1.

(1)求证: 0 ? an ? 1; (2) 令bn ? lg(1 ? a n ),且a1 ? 22. (本小题满分 14 分)

9 1 , 试求无穷数列 { }所有项的和 ; 10 bn

2 设函数 f ( x) ? ? a x ? 1 ? x ? a, x ? (0,1],

a ? R?.

(Ⅰ)若 f ( x)在(0,1] 上是增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求 f ( x)在(0,1] 上的最大值.

2018 届长汀一中高三综合测试(一)数学试题(理科) 参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5 CBDAC,6-10 CBDDC, 11-12 AC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分, 13.

3 10

14. [0,

?
2

) ?[

3? ,? ) 4

15.a = 4

16.2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (1) f ?( x) ? 1 ?

8 x3

x3 ? 8 (3分), ?0 则 x3

(4分)



( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) ? 0, x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1)2 ? 3 ? 0, 且x 2 ? 0, 3 x
? x?2 ? 0 ? x( x ? 2) ? 0, 解得0 ? x ? 2. x (6分)

? f ( x)的 单调递减区间为 (0, 2).
(2)方法1 f ( x) ? x ?

(7分)

4 在[1, 2]上 单调递减, 在[2, 4]上 单调递增, x2

1 且f (1) ? 5, f (4) ? 4 , f (2) ? 3, (10分) 4 ? f ( x)min ? f (2) ? 3, f ( x) max ? f (1) ? 5. (12分)

方法2

f ?( x) ? 0 时 x ? 2,由f (1) ? 5, f (2) ? 3, f (4) ? 4
(12分)

1 4

(10分)

? f ( x)max ? 5, f ( x)min ? 3.

18. (I) 解: 所选 3 人都是男生的概率为

3 C4 1 ? . ………………4 分 3 C6 5

(II) 解:所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为
1 2 C2 C4 3 ? . 3 C6 5

………………………………8 分

(III) 解:所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为

1 2 2 1 C2 C4 ? C2 C4 4 ? . 3 C6 5

………………………………12 分

19.解:函数 f(x)的导数: f ?( x) ? 3ax2 ? 6x ? 1. ………………3 分 (Ⅰ)当 f ?( x) ? 0 ( x ? R )时, f ( x) 是减函数.

3ax2 ? 6x ? 1 ? 0( x ? R)

? a ? 0且? ? 36 ? 12a ? 0

? a ? ?3.

所以,当 a ? ?3时,由f ?( x) ? 0, 知f ( x)(x ? R) 是减函数;………………6 分
3 (II)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x 3 ? 3x 2 ? x ? 1= ? 3( x ? ) ?

1 3

8 , 9

由函数 y ? x 在 R 上的单调性,可知
3

当 a ? ?3 时, f ( x)(x ? R )是减函数;…………9 分 (Ⅲ)当 a ? ?3 时,在 R 上存在一个区间,其上有 f ?( x) ? 0, 所以,当 a ? ?3 时,函数 f ( x)(x ? R) 不是减函数. 综上,所求 a 的取值范围是( ? ?,?3]. ………………12 分
1 3 2 20. (1)若不放回抽取三道试题有 A8 种方法,只在第三次抽到判断题有 A6 · A2 种方法。

则只在第三次抽到判断题的概率 P 1 ?

2 1 A6 ? A2 5 .………………………………4 分 ? 3 28 A8

(2)若有放回的抽取试题,每次抽取的判断题概率为 取中抽到判断题的个数 ? 的概率分布为:
3 27 P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 64 27 1 3 2 1 P(? ? 1) ? C 3 ( ) ( )? 4 4 64

1 ,且相互独立。所以在三次抽 4

3 1 9 P(? ? 2) ? C 32 ( ) 1 ( ) 2 ? 4 4 64

1 1 ………………………8 分 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 64

?
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

……………10 分

1 1 3 ? ? ~ (3, ) ? E? ? np ? 3 ? ? …………………………………………12 分 4 4 4 21. (1)1°当 n=1 时,0<a1<1 时,

2°假设 n=k 时 0<ak<1 成立,当 n=k+1 时,ak+1=-(ak-1)2+1,

? 0 ? ak ? 1,
则 0 ? ak ?1 ? 1,? n ? k ? 1 , 不等式成立. ,

由 1 2 可得 , n ? N ? , 不等式0 ? an ? 1成立.

(6分)
边 取 对 数 得
1

(2) 1 ? an ? (1 ? an?1 )2 , 且0 ? an ? 1,



1 lg(1 ? an ) ? 2lg(1 ? an?1 ),即bn ? 2bn?1, ?bn ? b1 ? 2n?1 ? 2n? ? lg(1 ? a1 ) ? ?2n? ,

则{

1 1 } 为首项 ?1, 公比 的等比 数 列. ……………………(10 分) 2 bn

1 1 1 1 ? lim( ? ? ? …… ? ) ? lim n ?? b n ?? b2 b3 bn 1
22. (Ⅰ)当 x ? (0,1]时, f ?( x) ? ?a ?
x x ?1
2

1 (?1) ? [1 ? ( ) n ] 2 ? ?2.……(12分) 1 1? 2
? 1.……3 分
ax x2 ? 1 ? 1 ? 0在(0,1] 上恒成立.

要使 f ( x)在x ? (0,1] 上是增函数,需使 f ?( x) ? ? 即
a? x2 ?1 1 ? 1 ? 2 在(0,1] 上恒成立. x x

而 1 ? 1 在(0,1 ] 上的最小值为 2 ,又 a ? R? , 2
x

6分

?0 ? a ? 2 为所求.……7 分

(Ⅱ)由(I)知: (1)当 0 ? a ?

2时, f ( x)在(0,1] 上是增函数.

?[ f ( x)]max ? f (1) ? ( 2 ? 1)a ? 1; ……9 分
(2)当 a ?
0? x?

2 时,令 f ?( x) ? 0, 得x ?
1 , f ?( x) ? 0; a2 ?1
2

1 ? (0,1] a ?1
2

1 ? x ? 1, f ?( x) ? 0. a2 ?1

?[ f ( x]max ? f (

1 (a 2 ? 1) a 2 ? 1 a2 ? 1 )? ?a ? ? a.……12分 2 a ?1 a ?1 a2 ?1

2 所以 0 ? a ? 2时, [ f ( x)] ? ( 2 ? 1)a ? 1; 当a ? 2时, [ f ( x)] ? a ? 1 ? a ……14 分 max max a 2 ?1

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