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一道高考数学试题的高等数学背景研究

一道高考数学试题的高等数学背景研究

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中学数学月刊

2010年第10期

一道高考数学试题的高等数学背景研究
朱亚丽廖运章 (广州大学数学与信.g-科学学院510006)

2009年湖南高考数学理科第21题是这样的:

对于数列{‰},若存在常数M>0,对任意的

,l∈N’,恒有I“抖1一“。l+l“。一“忭-1 l+…+

I毗一“。I≤M,则称数列{‰)为B一数列.

(I)首项为1、公比为q(1 q I<1)的等比数 列是否为B一数列?请说明理由;

(II)设S。是数列{z。}的前押项和,给出下列

两组论断:

A组:①数列{z。}是B一数列;②数列{z。}不

是B一数列;

B组:③数列{S。)是B一数列;④数列{S。}不

是B一数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组

中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命

题的真假,并证明你的结论;

(Ⅲ)若数列{口。),{b。}都是B一数列,证明:数

列{a.b。)也是B一数列.



不难发现,这道压轴题以开放题的形式。用数

列、不等式知识作载体,考查归纳猜想、逻辑推理

等重要数学思想方法,具有深刻的高等数学背景.

试题来源于数学分析中的有界变差数列,与实变

函数中的有界变差函数一脉相承.

1 命题渊源

1.1 命题背景

事实上,本试题直接来源于吉米多维奇的《数

学分析习题集》的第86题,原题及解答如下:

若存在数C,使得l z:一z-l+I z。~z:}+…

+l z。一z,rl f<C,(咒一2,3,…),则称叙列z。(行

=1,2,3,…)有有界变差.证明凡有有界变差的

叙列是收敛的.举出一个收敛叙列而无有界变差

的例子.

证 令y。一I z2一zI I+l z3一z2 I+l z4一

z3 I+…+I z。一z,r1 l,(咒=2,3,…),则叙列

{Y。}单调增加且有界,所以它是收敛的.

根据柯西收敛准则,对于任给e>0,存在数

N,使当m>n>N时,I Y。一Y。I<e,即1.sT。一

z一1 l+l z聃_1一z一2 I+…+I z计l—z。l<e,而 对于叙列{z。},有

z。一z。l=l z。一z,1+z—l—z一2+…

+z井1一z。l≤l z。一z一1 l+1 z一1一z一2 I+… +I z井。一z。l<£,所以,叙列{z。}是收敛的.
叙列:,,一·,÷,一丢,÷,一÷,…,去,
(一1)一1,…,它是以0为极限的收敛叙列,但它
不是有界变差的.事实上, z2一z1 I+l z3一z2 I+l z4一,sT3 I+…+
1.7C2。一z2,1 I>f z2一z1 I+I z4一z3 I+…+
zz一一zz一-I一2(1+专+寺+…+音),而序
列∞。=1+寺+÷+…+土是发散的,又是递增
的,故(£J。一+。。.于是I z:一z1 I+I z。一z:l+… +l z:。一z。,r,l不是有界的,因而收敛叙列{z。):
·,一,,专,一丢,寻,一号,…,i1,c一-,丢,…无
有界变差[1]. 随后,我国许多数学分析教科书、参考书先后
将之稍作修改变形收入其中,有的还冠以“有界变 差数列收敛定理”的名称.比较典型的问题形式 有华东师范大学数学系的《数学分析》[3],其第40 页的第6题为:
若数列{n。}满足:存在正数M,对一切,z有 A。=I a2一a1 I+I口3一a2 I+…+I口。一口,广1 l≤ M.证明:数列{口。}与{A。)都收敛. 1.2 命题技术
从高考数学命题技术看,一是通过语言转换, 将高中生不熟悉的高等数学术语“有界变差数列” 用其英文简写“B数列”(bounded variation sequence)这一新定义替代,高数语言初等化,保持 原题条件不变,改变其结论(原题第2问的否定即 是本试题的(I)),以达到考查有界变差数列性质的 目的,避开考生不能为之的收敛数列证明,试题的 信息形态有一定新意;二是在解题思想方法上,本 试题的解法与原题一样,都要求正确把握新定义 “B一数列”的内涵并灵活运用绝对值不等式的插 值法(添减项),更是高等数学中的常用估值技巧.
近年来,依托高等数学背景,通过高等数学语 言初等化等形式,将高等数学问题的提法转化为 中学生可接受的语言来编拟高考数学试题是一种

万方数据

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常见的命题方法,而中学数学和大学数学的衔接 点则往往成为命题的焦点.如单调有界定理是数 学分析中判定数列收敛的一个奠基性定理,与中 学的数列、不等式等知识联系紧密,以此背景编拟 本试题就不出意料. 2 解法探究 2.1(I)的解法
(I)比较简单,只要认真阅读有关条件并仿 照新定义进行验证即可.设满足题设的等比数列 为{a。},则口。一q”1,于是I a。一口,l l=J q”1一 q”2 I—I q I”2 g一1 I,咒≥2,因此I n抖1一口。I +I a。一n,。I+…+I a2一Ⅱ。I=I q—l I(1+I q +l q 2+…+l q I川).因为I q I<1,所以1+
g}+I q 2+…+l q I”1一{三牛号午<

丁—}1,即I口抖1一口。l+I口。一口,1 I+…+i口2

一1一口I ,q I<牛斜.故首项为1,公比为q(I l—l口I



I<1)

的等比数列是B一数列.

2.2 (Ⅱ)的解法

(II)是一个开放性问题,给考生思考的空间

大,A,B两组可以组成八个命题:(1)①净③;

(2)③净①;(3)②≥③;(4)③净②;(5)①净④; (6)④净①;(7)②净④;(8)④j②.由原命题与逆

否命题的等价性可知;(1)与(8)、(2)与(7)、(3)

与(6)、(4)与(5)分别互为逆否命题,所以本试题

的八个命题可以归结为(1)、(2)、(3)、(4)这四个

命题,但命题(2)真则命题(4)假,反之亦可,故问

题(Ⅱ)实质上是要判断下列命题的真假:

命题1 若数列{z。)是B一数列,则数列{S。} 是B一数列.

命题2 若数列{S。)是B一数列,则数列{z。) 是B一数列.

命题3 若数列{z。)不是B一数列,则数列 {S。}是B一数列.

命题1为假命题.事实上,设z。=1,,z∈N。,

易知数列{z。)是B一数列,但S。=咒,且

S一。一S。I+J S。一S,。J+…+I S。一S。l= .1 z科,l+f z。I+…+l z:I=咒,由行的任意性

知,数列{S。}不是B一数列.

对于命题2,因为数列{S。)是B一数列,所以

存在正数M,对任意的,z∈N。,有I S井,~S。l+

S。一S,。f+…+}S。一S,I≤M,即I z井。I+

z。I+…+I z2 I≤M.于是I z井-一z。I+I z。 ~z,卜l I+…+I z2一z1 I≤f z井1 l+2 z。I+

2 z,.f+…+2 z。I+I z。I≤2M+I z。I,所

以数列{z。}是B一数列,命题为真. 命题3为假命题.考虑其逆否命题

(6)④≥①:若数列{S。)不是B一数列,则数列{z。)

是B~数列.其实,举一反例如令S。=咒2,即知(6)

为假命题.

2.3 (Ⅲ)的证法

若数列{口。),{以)都是B一数列,则存在正数

M1,M2,对任意的7"/∈N。,有I n井1一口。l+}a。一

口,,l+…+I a2一a1 I≤M,,I 6抖1一b。I+I b。一

6,r。I+…+I b:一b。I≤M2.注意到l a。l=I口。

一n,r1+口,r1+口,r2+…+口2一口1+a1 I≤I a。一

口,rl I+I口,1一口,2 I+…+l口2一口l I+I al I≤M1 +l a,f,同理I b。I≤M2+I b,I.

记K。=M,+I b,|,K。=M2+I b。I,则有

n一1 6井】一a。b。I—I n抖16什l—n。6件1+n。6神l— a.b。I≤I 6升。l l口+,一a。I+I n。I 6井。一b。J≤

K2 n#l—a。l+K1 6科l—b。I, 因此1口一16抖1一口。b。I+l a。b。一口一16,r1 I+
…+I a2b2 malbl I≤K2(I口升】~口。l+1口。一口,l

+…+}口2一a。『)+K。(I 6科l—b。I+I b。一6,r。l

+…+}b。一6。1)≤K:M,+K。M2,故数列{a.b。}

是B一数列.

3 试题拓展

综上讨论,本试题主要探究有界变差数列的

定义与个别性质,属于初等数学研究范畴.高中生

是完全可以接受的;而吉米多维奇的原题侧重于

研究有界变差数列的敛散性,是大学数学的教学

内容.其实,有界变差数列与有界变差函数密切相

关,有界变差函数是通过有界变差数列定义的,它

们有许多相似的性质.以下列举有界变差数列的

主要性质. 性质1

若数列{a。)为有界变差数列,则

{a。)必是有界数列.

性质2 若数列{a。}为单调递增(递减)有界

数列,则{a。)必为有界变差数列. 性质3 设数列{a。},若存在M,对任何以∈

N’,有∑I口i I≤M,则数列la。}必为有界变差
l=l
数列. 性质4 设数列{a。},{阮}都是有界变差数
列,A为常数,则(1){加。);(2){a。士b。);(3){a。·

¨;(4)㈥力一≥A>o;∞){|口一…
(6)max{a。,b。),rain/a。。b。)均是有界变差数列.

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2010年第10期

由课后一题浅谈几何概型
朱云鹤陈峰(苏州大学附属中学215006)

苏教版必修3第103页练习 4:如图1,在直角坐标系内,射线 OT落在60。角的终边上,任作一 条射线OA,求射线OA落在

一\ ‘./T







准确地理解这个概念,课本准备了两个情境(如图
2).
试验1:取一根长 度为3 m的绳子,拉

么扣T内的概率(答案为÷).此

图1



题难度不大,学生也都能准确得到答案,其解答过

程如下:P(射线OA落在么:rOT内的概率)一

券一吉.笔者曾在课堂上问学生,高中阶段几

何概型所涉及的测度包括长度、面积、体积,那此 题的测度是什么?得到的结果是多数学生对此是 模糊不清的.
要解决这个问题,首先要关注课本中几何概 型的概念的描述.将每个基本事件理解为从某个 特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一 点被取到的机会都是一样的;而一个随机事件的 发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区 域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立 体图形等.一般地,在几何区域D中随机地取一 点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事
件A,则事件A发生的概率P(A)=吾鼍嚣攫.

直后在任意位置剪 断,那么剪得两段的 长都不小于1 m的概 率有多大?
试验2:射箭比赛
。。
的箭靶涂有五个彩色 得分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色。靶心 是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直 径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设箭都能射中靶面,且射中靶面内任何 一点都是等可能的.射中黄心的概率为多少?
这两个试验如果抽象成数学图形,则是分别 在线段上和圆内取点.学生当时也能体验到这一 点.在几何概型的概念中,情境被抽象地提炼了出 来.教师此时应授之学生以数学模型的思想,即把 所有的几何概型的问题都转化为在一定范围内取 点这一数学模型,进而确定几何区域D和区域d. 2 继续领悟,二次发现。解决几何概型问题的落

1 把握本质,深刻挖掘.几何概型的本质就是在 一定区域内取点

脚点在于判断测度 原题(必修3第102页例3)

在等腰直角三

概念所揭示的是对数学本质的认识.为了更

角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小

·+一-'l'---4,-一+—+*+-+-+-+—1一—+-+—■——■一—+—卜■——+-+-·卜-■—·■——■——■——■——+-+-+-+—+—■——+—+一+斗—■一■一+—+—+一十—+——r—+—■——+—-●一

性质5 数列{n。}为有界变差数列甘{n。) 可以表示为两个单调有界数列之差.
性质6若数列{Ⅱ。}满足条件l口一t—n。I≤ r I口。一口,1 J(靠=2,3,…;0<r<1),称数列 {如)为压缩变差数列,则压缩变差数列必为有界 变差数列.
总之,借用或包装高等数学概念、用初数语言 叙述高等数学原理、保持数学解题思想方法一致 等,高等数学语言初数化以编拟高考数学试题,是 当前高考数学命题惯用的重要手法之一,目的在 于考查学生数学现场阅读理解等学习潜能以及数 学创新意识,应引起重视.

参考文献 [1]吉米多维奇著.费定辉,周学圣编译.数学分析习题
集题解[M].济南:山东科学技术出版社,1980. [2]吉米多维奇著,曹敏廉译.数学分析习题集题解
[M].上海:上海交通大学应用数学系编印,1979. [3]华东师范大学数学系.数学分析(第3版)[M].北
京:高等教育出版社,2001. [43胡玲.关于圃变数列及其特征的若干主注记{J).安
徽广播电视大学学报(自然科学版),2007(1). [5]上海师范大学数学系.实变函数与泛函分析(上册)
[M].上海:上海科技教育出版社,1978.

万方数据

一道高考数学试题的高等数学背景研究

作者: 作者单位: 刊名:
英文刊名: 年,卷(期):

朱亚丽, 廖运章 广州大学数学与信息科学学院,510006
中学数学月刊 ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN 2010(10)

参考文献(5条) 1.吉米多维奇;费定辉;周学圣 数学分析习题集题解 1980 2.吉米多维奇;曹敏廉 数学分析习题集题解 1979 3.华东师范大学数学系 数学分析 2001 4.胡玲 关于囿变数列及其特征的若干主注记 2007(01) 5.上海师范大学数学系 实变函数与泛函分析 1978

本文读者也读过(10条) 1. 华腾飞 妙用单位圆简解三角题[期刊论文]-中学数学月刊2010(10) 2. 庞永江 高考命题中的高等数学背景[期刊论文]-试题与研究(教学论坛)2010(14) 3. 邵贤虎 高考圆锥曲线试题中的恒定问题赏析[期刊论文]-中学数学月刊2010(10) 4. 姜坤崇 圆锥曲线与"轴定点弦"有关的一个性质[期刊论文]-中学数学月刊2010(10) 5. 李东月.张亚 高等数学背景下的高考数学命题[期刊论文]-上海中学数学2008(5) 6. 顾云良 多管齐下科学高效——与2011届师生谈高三数学第一轮复习的六要法[期刊论文]-中学数学月刊 2010(10) 7. 陈晓红 对高中数学作业有效性的研究[期刊论文]-中学数学月刊2010(10) 8. 朱云鹤.陈峰 由课后一题浅谈几何概型[期刊论文]-中学数学月刊2010(10) 9. 林伟民 与数列有关的不定方程的整数解问题初探[期刊论文]-中学数学月刊2010(10) 10. 吴宝莹 用通俗化的方法研究高中数学问题[期刊论文]-中学数学月刊2010(10)

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