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平潭县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

平潭县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

平潭县二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若实数 x,y 满足不等式组 A.6 B.﹣6 C.4 D.2 ,则 f{f[f(﹣2)]}的值为( C.4 D.8 ) ) 则 2x+4y 的最小值是( )

姓名__________

分数__________

2. 已知 A.0 B.2

3. 在复平面内,复数(﹣4+5i)i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. 函数 f(x)=cos2x﹣cos4x 的最大值和最小正周期分别为( A. ,π B. , C . ,π D. , )an+sin
2



5. 已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2 A.89 B.76 C.77
x

,则该数列的前 10 项和为(



D.35

6. 设函数 f ? x ? ? e 取值范围是( A.? ?

? 2x ?1? ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数,使得 f ?t ? ? 0 ,则的
B.? ?



? 3 3? ? 3 3? ?3 ? C.? , ? D.? ,1? 1111] , ? ? 2e 4 ? ? 2e 4 ? ? 2e ? 2 2 x y 7. 已知直线 l : y ? kx ? 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 F ,且被圆 a b 4 5 ,则椭圆离心率 e 的取值范围是( ) x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 L ,若 L ? 5 ? 2 5? ? ? 3 5? ? 4 5? 5? (A) ? 0, ? ( B ) ? 0, (C) ? 0, (D) ? 0, ? ? ? ? 5 ? ? ? 5 ? 5 ? 5 ? ? ? ? ? ?
8. 下列式子表示正确的是( A、 0 ? ?0, 2,3? 查结果如下表所示. 杂质高 杂质低
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? 3 ? ,1? ? 2e ?

) C、 ? ??1, 2? D、 ? ? ?0?

B、 ?2? ??2,3?

9. 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系,调

精选高中模拟试卷

旧设备 新设备

37 22

121 202 )

根据以上数据,则(

A.含杂质的高低与设备改造有关 B.含杂质的高低与设备改造无关 C.设备是否改造决定含杂质的高低 D.以上答案都不对 10.已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( A.4 B.2 C. D.2 )

11.已知函数 f(x)= x3+(1﹣b)x2﹣a(b﹣3)x+b﹣2 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是﹣3,则不 等式组 A. B.
2 2 所确定的平面区域在 x +y =4 内的面积为(



C.π

D.2π )

12.已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是( A.m?α,n∥m?n∥α B.m?α,n⊥m?n⊥α D.n?β,n⊥α?α⊥β C.m?α,n?β,m∥n?α∥β

二、填空题
2 2 13. 0) 已知一个动圆与圆 C: (x+4) +y =100 相内切, 且过点 A (4, , 则动圆圆心的轨迹方程

14.若函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1, 2? ,则函数 f (3 ? 2 x) 的定义域是 15.设函数 f(x)= 若 f[f(a)]



. ,则 a 的取值范围是 .

16.已知函数 f(x)=xm 过点(2, ),则 m=

. ,且|ω|=5 ,则复数 ω= .

17.已知 z,ω 为复数,i 为虚数单位,(1+3i)z 为纯虚数,ω=

18.已知函数 f(x)=x3﹣ax2+3x 在 x∈[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围



三、解答题

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19.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】如图,某公司的 LOGO 图案是多边形 ABEFMN ,其 设计创意如下:在长 4cm 、宽 1cm 的长方形 ABCD 中,将四边形 DFEC 沿直线 EF 翻折到 MFEN (点 F 是 线段 AD 上异于 D 的一点、点 E 是线段 BC 上的一点),使得点 N 落在线段 AD 上. (1)当点 N 与点 A 重合时,求 ?NMF 面积; (2)经观察测量,发现当 2 NF ? MF 最小时,LOGO 最美观,试求此时 LOGO 图案的面积.

20.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=

,g(x)=

,其中 n∈N

*

(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值及函数 g(x)的单调区间; y=c (Ⅱ) 若存在直线 l: (c∈R) , 使得曲线 y=f (x) 与曲线 y=g (x) 分别位于直线 l 的两侧, 求 n 的最大值. (参 考数据:ln4≈1.386,ln5≈1.609)

21.如图所示,一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2﹣6x﹣91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程, 并说明它是什么样的曲线.

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22.如图所示,两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB , M ? AC , N ? FB ,且

AM ? FN ,求证: MN / / 平面 BCE .

23. 0) N 0) 在平面直角坐标系中, 已知 M (﹣a, , (a, , 其中 a∈R, 若直线 l 上有且只有一点 P, 使得|PM|+|PN|=10, 则称直线 l 为“黄金直线”,点 P 为“黄金点”.由此定义可判断以下说法中正确的是 ①当 a=7 时,坐标平面内不存在黄金直线; ②当 a=5 时,坐标平面内有无数条黄金直线; ③当 a=3 时,黄金点的轨迹是个椭圆; ④当 a=0 时,坐标平面内有且只有 1 条黄金直线.

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24.已知△ABC 的三边是连续的三个正整数,且最大角是最小角的 2 倍,求△ABC 的面积.

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平潭县二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设 z=2x+4y 得 y=﹣ x+ , x+ 经过点 C 时,

平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ 直线 y=﹣ x+ 的截距最小,此时 z 最小, 由 ,解得 ,

即 C(3,﹣3), 此时 z=2x+4y=2×3+4×(﹣3)=6﹣12=﹣6. 故选:B

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义是解决本题的关键. 2. 【答案】C 【解析】解:∵﹣2<0 ∴f(﹣2)=0 ∴f(f(﹣2))=f(0) ∵0=0 ∴f(0)=2 即 f(f(﹣2))=f(0)=2 ∵2>0

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2 ∴f(2)=2 =4

即 f{f[(﹣2)]}=f(f(0))=f(2)=4 故选 C. 3. 【答案】B 【解析】解:∵(﹣4+5i)i=﹣5﹣4i, ∴复数(﹣4+5i)i 的共轭复数为:﹣5+4i, ∴在复平面内,复数(﹣4+5i)i 的共轭复数对应的点的坐标为:(﹣5,4),位于第二象限. 故选:B. 4. 【答案】B
2 4 2 2 2 2 2 【解析】解:y=cos x﹣cos x=cos x(1﹣cos x)=cos x?sin x= sin 2x=



故它的周期为 故选:B. 5. 【答案】C

=

,最大值为 = .

【解析】解:因为 a1=1,a2=2,所以 a3=(1+cos a2k+1=[1+cos 一般地, 当 n=2k﹣1 (k∈N ) 时,
* 2

2

)a1+sin

2

=a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4. =a2k﹣1+1, 即 a2k+1﹣a2k﹣1=1.

]a2k﹣1+sin2

所以数列{a2k﹣1}是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2k﹣1=k. 当 n=2k(k∈N )时,a2k+2=(1+cos
* 2

)a2k+sin

2

=2a2k.

k 所以数列{a2k}是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2k=2 .

该数列的前 10 项的和为 1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故选:C. 6. 【答案】D 【解析】

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考 点:函数导数与不等式.1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用,涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f ? x ? ? 0 将函数变为两个函 数 g ? x ? ? ex ? 2x ?1? , h ? x ? ? ax ? a ,将题意中的“存在唯一整数,使得 g ? t ? 在直线 h ? x ? 的下方”,转化为 存在唯一的整数,使得 g ? t ? 在直线 h ? x ? ? ax ? a 的下方.利用导数可求得函数的极值,由此可求得 m 的取值 范围. 7. 【答案】 B

【解析】依题意, b ? 2, kc ? 2.
4 5 16 , 解得 d 2 ? 5 5 。 1 1 16 1 又因为 d ? ,所以 ? , 解得 k 2 ? 。 2 2 1 ? k 5 4 1? k

设圆心到直线 l 的距离为 d ,则 L ? 2 4 ? d 2 ?

2 5 4 c2 c2 1 . 故选 B. 0 ? e2 ? , 解得 0 ? e ? ? 2 ? 2 2 2 ,所以 5 5 a b ? c 1? k 8. 【答案】D
2 于是 e ?

【解析】 试题分析:空集是任意集合的子集。故选 D。 考点:1.元素与集合的关系;2.集合与集合的关系。 9. 【答案】 A 【解析】 独立性检验的应用. 【专题】计算题;概率与统计.

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【分析】根据所给的数据写出列联表,把列联表的数据代入观测值的公式,求出两个变量之间的观测值,把观 测值同临界值表中的数据进行比较,得到有 99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的. 【解答】解:由已知数据得到如下 2×2 列联表 杂质高 旧设备 新设备 合计
2 由公式 κ =

杂质低 121 202 323

合计 158 224 382 ≈13.11,

37 22 59

由于 13.11>6.635,故有 99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的. 【点评】本题考查独立性检验,考查写出列联表,这是一个基础题. 10.【答案】A 【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3), ∴AB 是正方体的体对角线,AB= 设正方体的棱长为 x, 则 故选:A. 【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题. 11.【答案】 B 【解析】解:因为函数 f(x)的图象过原点,所以 f(0)=0,即 b=2. 则 f(x)= x3﹣x2+ax, ,解得 x=4. ∴正方体的棱长为 4, ,

2 函数的导数 f′(x)=x ﹣2x+a,

因为原点处的切线斜率是﹣3, 即 f′(0)=﹣3, 所以 f′(0)=a=﹣3, 故 a=﹣3,b=2, 所以不等式组 则不等式组 如图阴影部分表示, 为
2 2 确定的平面区域在圆 x +y =4 内的面积,

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所以圆内的阴影部分扇形即为所求. ∵kOB=﹣ ,kOA= ,

∴tan∠BOA=

=1, , ,扇形的面积是圆的面积的八分之一, ×4×π = ,

∴∠BOA=

∴扇形的圆心角为

2 2 ∴圆 x +y =4 在区域 D 内的面积为

故选:B

【点评】本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数 a,b 的是值,然后借助不等式 区域求解面积是解决本题的关键. 12.【答案】D 【解析】解:在 A 选项中,可能有 n?α,故 A 错误; 在 B 选项中,可能有 n?α,故 B 错误; 在 C 选项中,两平面有可能相交,故 C 错误; 在 D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

二、填空题
13.【答案】 + =1 .

【解析】解:设动圆圆心为 B,半径为 r,圆 B 与圆 C 的切点为 D,
2 2 ∵圆 C:(x+4) +y =100 的圆心为 C(﹣4,0),半径 R=10,

∴由动圆 B 与圆 C 相内切,可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|, ∵圆 B 经过点 A(4,0),

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∴|BD|=|BA|,得|CB|=10﹣|BA|,可得|BA|+|BC|=10, ∵|AC|=8<10, ∴点 B 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆, 设方程为 (a>b>0),可得 2a=10,c=4, + =1.

2 2 2 ∴a=5,b =a ﹣c =9,得该椭圆的方程为

故答案为:

+

=1.

14.【答案】 ? , 2 ? 2 【解析】 试题分析:依题意得 ?1 ? 3 ? 2 x ? 2, x ? ? , 2 ? . 2 考点:抽象函数定义域. 15.【答案】 【解析】解:当 ∵ 当 ,由 ,f(a)=2(1﹣a), ,则 , 或 a=1 . 时, . ,解得: ,所以 ;

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

∵0≤2(1﹣a)≤1,若 分析可得 a=1. 若 由 ,即 ,得: .

,因为 2[1﹣2(1﹣a)]=4a﹣2,

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综上得: 故答案为: 中档题.

或 a=1. 或 a=1.

【点评】本题考查了函数的值域,考查了分类讨论的数学思想,此题涉及二次讨论,解答时容易出错,此题为

16.【答案】 ﹣1 .

【解析】解:将(2, )代入函数 f(x)得: 解得:m=﹣1; 故答案为:﹣1.

=2m,

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题,是一道基础题. 17.【答案】 ±(7﹣i) . 【解析】解:设 z=a+bi(a,b∈R),∵(1+3i)z=(1+3i) (a+bi)=a﹣3b+(3a+b)i 为纯虚数,∴ .

又 ω=

= .

=

,|ω|=

,∴

2 把 a=3b 代入化为 b =25,解得 b=±5,∴a=±15.

∴ω=± 故答案为±(7﹣i).

=±(7﹣i).

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出. 18.【答案】 (﹣∞,3] .

2 【解析】解:f′(x)=3x ﹣2ax+3,

∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,
2 即 3x ﹣2ax+3≥0 在[1,+∞)上恒成立.

则必有 ≤1 且 f′(1)=﹣2a+6≥0,

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∴a≤3; 实数 a 的取值范围是(﹣∞,3].

三、解答题
19.【答案】(1)

15 2 3 2 cm ;(2) 4 ? cm . 16 3 15 , 8

【解析】试题分析: (1)设 MF ? x ,利用题意结合勾股定理可得 x2 ?1 ? x ? 4 ,则 x ? 据此可得 ?NMF 的面积是

1 15 15 ?1? ? cm 2 ; 2 8 16

试题解析: (1)设 MF ? x ,则 FD ? MF ? x , NF ?

x2 ? 1 ,
15 , 8

2 ∵ NF ? MF ? 4 ,∴ x ?1 ? x ? 4 ,解之得 x ?

∴ ?NMF 的面积是

1 15 15 ?1? ? cm 2 ; 2 8 16

(2)设 ?NEC ? ? ,则 ?NEF ? ∴ ?MNF ?

?

?

2 MN ∴ NF ? ? cos?MNF

? ?? ? ? ? ? ? ?

?
2

2

, ?NEB ? ?FNE ? ? ? ? ,



1

?? ? cos ? ? ? ? 2? ?

?

1 , sin?

?? cos? ? MF ? FD ? MN ? tan?MNF ? tan ? ? ? ? ? ? , 2? sin? ? 2 ? cos? ∴ 2 NF ? MF ? . sin? 1 ? cos? ? ? 4 ,即 1 ? tan ? 4 , ∵ 1 ? NF ? FD ? 4 ,∴ 1 ? sin? 2 ? ? ?? ? ? ∴ ? ? ? ( tan? ? 4 且 ? ? ? , ? ), 4 2 ?3 2? ? ?? ? ? ∴ ? ? ? 2? ( tan? ? 4 且 ? ? ? , ? ), 2 ?3 2?
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设 f ?? ? ? 列表得

2 ? cos? ?1 ? 2cos? 2? ,则 f ? ?? ? ? ,令 f ? ?? ? ? 0 得 ? ? , 2 sin? sin ? 3

∴当 ? ?

2? 时, 2 NF ? MF 取到最小值, 3

此时, ?NEF ? ?CEF ? ?NEB ? ?FNE ? ?NFE ? ?NFM ? 在 Rt?MNF 中, MN ? 1 , MF ?

?
3

, ?MNF ?

?
6



3 2 3 , NF ? , 3 3 2 3 在正 ?NFE 中, NF ? EF ? NE ? , 3 2 3 在梯形 ANEB 中, AB ? 1 , AN ? 4 ? 3 , BE ? 4 ? , 3 3 3 1 ? 2 3? 3 ? ? ?? 4? 3 ?4? ?1 ? 4 ? ∴ S六边形ABEFMN ? S?MNF ? S?EFN ? S梯形ABEN ? . ? ? ? 6 3 2 ? 3 ? 3
答:当 2 NF ? MF 最小时,LOGO 图案面积为 4 ?

3 2 cm . 3

点睛:求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域, 利用求函数的最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如 果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)函数 f(x)在区间(0,+∞)上不是单调函数.证明如下, , 令 f′(x)=0,解得 .

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化如下表所示: x f′(x) f(x) + ↗ 0 ﹣ ↘

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所以函数 f(x)在区间

上为单调递增,区间 )= = .

上为单调递减.

所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上的最大值为 f( g′(x)= ,令 g′(x)=0,解得 x=n.

当 x 变化时,g′(x)与 g(x)的变化如下表所示: x n (0,n) (n,+∞) 0 + g′(x) ﹣ g(x) ↘ ↗

所以 g(x)在(0,n)上单调递减,在(n,+∞)上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g(x)的最小值为 g(n)= ,

∵存在直线 l:y=c(c∈R),使得曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)分别位于直线 l 的两侧, ∴ 即e ≥
n+1



≥nn﹣1,即 n+1≥(n﹣1)lnn,

当 n=1 时,成立, 当 n≥2 时, 设 h(n)= ≥lnn,即 ,n≥2, ≥ 0,

则 h(n)是减函数,∴继续验证, 当 n=2 时,3﹣ln2>0, 当 n=3 时,2﹣ln3>0, 当 n=4 时, 当 n=5 时, ﹣ln5< ﹣1.6<0, 则 n 的最大值是 4. 【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,同时考查了函数的最值的求法,属于难题. 21.【答案】 【解析】解:(方法一)设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别为 O1、O2, ,

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2 2 2 2 将圆的方程分别配方得:(x+3) +y =4,(x﹣3) +y =100,

当动圆与圆 O1 相外切时,有|O1M|=R+2…① 当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10﹣R…② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, ∴动圆圆心 M(x,y)到点 O1(﹣3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为点 O1(﹣3,0)、O2(3,0),长轴长等于 12 的椭圆. ∴2c=6,2a=12, ∴c=3,a=6
2 ∴b =36﹣9=27

∴圆心轨迹方程为

,轨迹为椭圆. ,移项再两边分别平方得:

(方法二):由方法一可得方程 2
2 2 两边再平方得:3x +4y ﹣108=0,整理得

所以圆心轨迹方程为

,轨迹为椭圆.

【点评】本题以两圆的位置关系为载体,考查椭圆的定义,考查轨迹方程,确定轨迹是椭圆是关键.

22.【答案】证明见解析. 【解析】

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考点:直线与平面平行的判定与证明. 23.【答案】 ①②③ 【解析】解:①当 a=7 时,|PM|+|PN|≥|MN|=14>10,因此坐标平面内不存在黄金直线; ②当 a=5 时,|PM|+|PN|=10=|MN|,因此线段 MN 上的点都满足上式,因此坐标平面内有无数条黄金直线,正 确; ③当 a=3 时,|PM|+|PN|=10>6=|MN|,黄金点的轨迹是个椭圆,正确; ④当 a=0 时,点 M 与 N 重合为(0,0),|PM|+|PN|=10=2|PM|,点 P 在以原点为圆心、5 为半径的圆上,因 此坐标平面内有且无数条黄金直线. 故答案为:①②③. 【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.
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24.【答案】 【解析】解:由题意设 a=n、b=n+1、c=n+2(n∈N+), ∵最大角是最小角的 2 倍,∴C=2A, 由正弦定理得 ∴ ,则 ,得 cosA= = = , , , ,

由余弦定理得,cosA= ∴ 化简得,n=4, ∴a=4、b=5、c=6,cosA= , 又 0<A<π,∴sinA= ∴△ABC 的面积 S= = =

, = .

【点评】 本题考查正弦定理和余弦定理,边角关系, 三角形的面积公式的综合应用,以及方程思想, 考查化简、 计算能力,属于中档题.

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