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复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容: 复数的三角形式,模与辐角的概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1.熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化,会求复数的模、辐角及辐角主值. 2.深刻理解复数三角形式的结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3.能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值). 4.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换,复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议: 1.复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁,相比之下,代数形式在这些方面显得 有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示,即 Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示,复数 Z 既可以用复 平面上的点 Z(a,b)表示, 也可以用复平面上的向量 来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数 Z 的模和

辐角来表示,设其模为 r,辐角为 θ,则 Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式 r= 三角形式

Z=a+bi(a,b∈R)

Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)

复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.否则不是三角形式.三角形式中 θ 应是复数 Z 的一个辐角,不一定是辐角主值. 五、基础知识 1)复数的三角形式 ①定义:复数 z=a+bi (a,b∈R)表示成 r (cosθ + isinθ )的形式叫复数 z 的三角形式。即 z=r(cos θ + isinθ ) 其中 z ? r θ 为复数 z 的辐角。

②非零复数 z 辐角θ 的多值性。 以 ox 轴正半轴为 因此复数 z 的辐 ③辐角主值 表示法;用 arg 定义:适合[0, 始边,向量 oz 所在的射线为终边的角θ 叫复数 z=a+bi 的辐角 角是θ +2k ? (k∈z)
?

z 表示复数 z 的辐角主值。 2 ? )的角θ 叫辐角主值 0 ? arg z ? 2?

唯一性:复数 z 的辐角主值是确定的,唯一的。 ④不等于零的复数的模 z ? r 是唯一的。
1

⑤z=0 时,其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。 (求法) 这是复数计算中必定要解决的问题,物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算,尤其是逮 美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。 因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容 (也是解题术) 复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法,辐角主值的确定是难点,也是关键存在,这 个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2)复数的向量表示 在复平面内与复数 z1、z2 对应的点分别为 z1、z2(如图) 何量 oz1 对应于z1 何量 oz 2 对应于z 2 何量 z1 z 2 对应于z 2 ? z1 ? z
?
? ? ?

与复数 z2-z1 对应的向量为 oz 显然 oz∥z1z2 则 argz1=∠xoz1=θ
1

argz2=∠xoz2=θ 2 argz(z2-z1)=arg z=∠xoz=θ 3)复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1) z2=r2(cosθ 2+isinθ 2) ①乘法:z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)]
? ? ?

如图:其对应的向量分别为 oz1 oz 2 oz 显然积对应的辐角是θ 1+θ
?

2

?

< 1 > 若θ 2 > 0 则由 oz1 逆时针旋转θ 2 角模变为 oz1 的 r2
?

倍所得向量便是积 z1·z2=z 的向量 oz 。 < 2 >若θ 2< 0 则由向量 oz1 顺时针旋转 ? 2 角模变为 r1·2 r 所得向量便是积 z1·z2=z 的向量 oz 。 为此,若已知复数 z1 的辐角为α ,z2 的辐角为β 求α +β 时便可求出 z1·z2=za 这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 z ? ? z1 ? z 2 ? z 对应的辐角就是α +β
?
?

z1 r1 ? [cos(? 1 ? ? 2 ) ? i sin(? 1 ? ? 2 )] (其中 z2≠0) z 2 r2

除法对于辐角主要是“相减” (被除数的辐角一除数的辐角)依向量旋转同乘法简述如下: < 1 > ? 2 ? 0时 oz1 顺时针旋转? 2 角 。 < 2 > ? 2 ? 0时 oz1 逆时针旋转 ? 2 角 。
2
?
?

例 1.下列各式是否是三角形式,若不是,化为三角形式: (1) Z1=-2(cosθ+isinθ) (2) Z2=cosθ-isinθ (3) Z3=-sinθ+icosθ (4) Z4=-sinθ-icosθ (5) Z5=cos60° +isin30° 分析:由三角形式的结构特征,确定判断的依据和变形的方向.变形时,可按照如下步骤进行:首先确定复数 Z 对应点所在象限(此处可假定 θ 为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称 为“定点→定名→定角”.这样,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率. 解:(1)由“模非负”知,不是三角形式,需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ) 复平面上 Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限(假定 θ 为锐角),余弦“-cosθ”已在前,不需再变换三角函数名称, 因此可用诱导公式“π+θ”将 θ 变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)] (2)由“加号连”知,不是三角形式 复平面上点 Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限(假定 θ 为锐角),不需改变三角函数名称,可用诱导公式 “2π-θ”或“-θ”将 θ 变换到第四象限. ∴ Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或 Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ) 考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一. (3)由“余弦前”知,不是三角形式 复平面上点 Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限(假定 θ 为锐角),需改变三角函数名称,可用诱导公式



+θ”将 θ 变换到第二象限.

∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(

+θ)+isin(

+θ)

同理(4)Z4=-sinθ-icosθ=cos(

π-θ)+isin(

π-θ)

(5)Z5=cos60° +isin30° =

+

i=

(1+i)=

·

(cos

+isin

)=

(cos

+isin

)

小结:对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于初学者来讲是个难点.有了“定点→ 定名→定角”这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题. 例 2.求复数 Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多 3 个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”.

解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2

-1)+2i· sin

cos

=2cos

(cos

+isin

)........(1)

∵ π<θ<2π ∴

<

<π,

∴cos

<0

∴(1)式右端=-2cos

(-cos

-isin

)=-2cos

[cos(π+

)]+isin(π+

)]

3

∴ r=-2cos

, ArgZ=π+

+2kπ(k∈Z)



<





π<π+

<2π, ∴argZ=π+

.

小结:(1)式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为 r=2cos

, argZ=

或 ArgZ=

错误之处在于他们没有去考虑 θ 角范围,因此一定要用“模非负,角相同,余弦前,加号连”来判断是否为 三角形式.看了这道例题,你一定能解决如 Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ,Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.

例 3.将 Z=

(

π<θ<3π)化为三角形式,并求其辐角主值.

分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化.

解:

=

=

=

=cos2θ+isin2θ



π<θ<3π, ∴

<2θ<6π,



π<2θ-4π<2π,∴ argZ=2θ-4π

小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确,即要分析式子结构.比较其 与三角形式的异同,从而决定变形的方向,采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思,并能由此及彼, 举一反三,达到熟练解决一类问题的目的,如 1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ 等. 2.复数 Z 的模|Z|的几何意义是:复平面上点 Z 到原点距离,复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点 Z1, Z2 之间距离.辐角几何意义是:以 x 轴正半轴为角始边, 以向量 所在射线为终边的角记为 ArgZ.在[0, 2π)范围

内的辐角称辐角主值,记为 argZ. 要求学生不仅要理解以上所说各几何意义,还要运用几何意义去解决相关问题. 例 4.若 Z∈c,|Z-2|≤1,求|Z|的最大,最小值和 argZ 范围. 解:法一,数形结合 由|Z-2|≤1,知Z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1 为半径的圆面(包括圆周), |Z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然 1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1, 另设圆的两条切线为 OA,OB,A,B 为切点,由|CA|=1,|OC|=2 知

∠AOC=∠BOC=

,∴argZ∈[0,

]∪[

π,2π)

法二:用代数形式求解|Z|的最大,最小值,设 Z=x+yi(x,y∈R) 则由|Z-2|≤1 得(x-2)2+y2≤1,
4

∴ |Z|=
2 2


2

=

,

∵ (x-2) +y ≤1, ∴(x-2) ≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3, ∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3. 小结:在一题多解的基础上,分析比较各种方法的异同,如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势,通 过分析与比较都一目了然.

例 5.复数 Z 满足 arg(Z+3)=

π,求|z+6|+|z-3i|最小值.

分析:由两个复数模的和取最小值,联想到一个点到两个定点距离和的最小 值,将之转化为几何问题来解决应比较简便.

解法一:由 arg(Z+3)=

π,知 Z+3 的轨迹是一条射线 OA,∠xOA=

π,而

|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)| 将 B(-3,0)与 C(3,3)连结,BC 连线与 OA 交点为 D,取 Z+3 为 D 点,表示复数时,

|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3

, ∴ 所求

最小值=3

.

法二:由 arg(Z+3)=

π, 知 Z+3 的轨迹是射线

OA, Z 轨迹应是平行于 OA, 则 P(-6,0)和点 Q(0,3)距离之和, 连

且过点(-3,0)的射线 BM, ∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射线 BM 上点到点 结 PQ 与射线 BM 交于点 N,取 E 为 N 点表示复数时,

|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3 ∴所求最小值=3 .

,

小结:两种方法的本质相同,都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方 法求解,难度会很大.对有关最值问题,尤其是模(距离)和辐角主值最值问题,用数形结合方法显然较为简便. 例 6.已知|Z-2i|≤1,求 arg(Z-4i)最大值. 解:∵|Z-2i|≤1,∴点 Z 轨迹是以(0,2)为圆心,1 为半径的圆面,在其上任取一点 Z,连 Z 与点(0,4) 得一以(0,4)为起点,Z 为终点的向量,将起点平移到原点,则 θ 为其对应的辐角主值,显然 arg(Z-4i)最大

值为

π.

3.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是模的伸缩及 对应向量的旋转. 两个复数相除,商的模等于模的商(除数不为零),辐角为两辐角之差,其几何意义 同乘法. 由复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转问题,如等腰、等边 三角形、直角三角形,平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示. 复数三角形式较之代数形式,在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘(乘方),相除及乘除混合运 算. 例 7.若 与 分别表示复数 Z1=1+2 i, Z2=7+
5

i, 求∠Z2OZ1 并判断 ΔOZ1Z2 的形状.

解:欲求∠Z2OZ1,可计算

=

=

=

=

∴∠Z2OZ1=



=



由余弦定理,设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k· cos 2k·

=3k2

∴ |Z1Z2|= 而 k2+(

k, k)2=(2k)2,∴ΔOZ1Z2 为有一锐角为 60° 的直角三角形.

小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便. 例 8.已知直线 l 过坐标原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1,0)和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 与抛物线 C 的方程. 解:如图,建立复平面 x0y,设向量 x1+y1i, x2+y2i. 由对称性,|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8, ∴ x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i 、 对应复数分别为



设抛物线方程为 y2=2px(p>0)则有 y12=2px1, y22=2px2,

∴ x1=

, y12=p2, 又|OA'|=1,

∴(

)2+p2=1, ∴p=

或-

(舍)

∴抛物线方程为 y2=

x,直线方程为:y=

x.

小结:对于解析几何的许多问题,若能借助于复数的向量来表示,常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊 位置,特殊关系的图形时,尤显其效. 五、易错点 1.并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为 0,辐角主值不确定. 2.注意 ArgZ 与 argZ 的区别.ArgZ 表示复数 Z 的辐角,而 argZ 表示复数 Z 的辐角主值. ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角,但辐角不一定是辐角主值.
6

3.复数三角形式的四个要求:模非负,角相同,余弦前,加号连,缺一不可.任何一个不满足,就不是三角 形式. 4.注意复数三角形式的乘除运算中,向量旋转的方向. 六、练习 1.写出下列复数的三角形式

(1) ai(a∈R) 2.设 Z=(-3

(2) tgθ+i( +3

<θ<π)

(3) -

(sinθ-icosθ)

i)n, n∈N,当 Z∈R 时,n 为何值?

3.在复平面上 A,B 表示复数为 α,β(α≠0),且 β=(1+i)α,判断 ΔAOB 形状,并证明 SΔAOB= 参考答案:

|d|2.

1.(1)ai=

(2)tgθ+i(

<θ<π)=-

[cos(

π-θ)+isin(

π-θ)]

(3)-

(sinθ-icosθ)=

[cos(

+θ)+isin(

+θ)]

2.n 为 4 的正整数倍 3.法一:∵α≠0,β=(1+i)α

∴ ∵

=1+i=

(cos

+isin

), ∴∠AOB=

,

分别表示复数 α,β-α,

由 β-α=αi,得

=i=cos

+isin



∴∠OAB=90° ∴ΔAOB 为等腰直角三角形. , 法二:∵| 又| |=|α|, | |=|β-α|=|αi|=|α|, |α|,| |2+| ∴| |=| | |2

|=|β|=|(1+i)α|=

|2=|α|2+|α|2=2|α|2=|

∴ΔAOB 为等腰直角三角形,∴SΔAOB=

|

|· |

|=

|α|2.

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7

选择题

1.若复数 z=(a+i) 的辐角是 A、1 B、-1
2

2

,则实数 a 的值是( ) C、D、-

2.已知关于 x 的实系数方程 x +x+p=0 的两虚根 a, b 满足|a-b|=3, 则 p 的值是( )

A、-2

B、-

C、

D、1

3.设π <θ < A、2π -3θ

,则复数 B、3θ -2π

的辐角主值为( ) C、3θ D、3θ -π

4.复数 cos A、3

+isin B、12

经过 n 次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,则 n 的值等于( ) C、6k-1(k∈Z) D、6k+1(k∈Z)

5.z 为复数,( A、直线

)

|z-3|

=(

)

|z+3|

(

) 的图形是( )

-1

B、半实轴长为 1 的双曲线

C、焦点在 x 轴,半实轴长为 答案:1、B 解析: 2、C 3、B

的双曲线右支 答案与解析 5、C

D、不能确定

4、C

1.∵z=(a+i) =(a -1)+2ai, argz=

2

2

,∴

,∴a=-1,本题选 B.

2.求根 a,b=

(Δ =1-4p<0) ∵|a-b|=|

|=3,

∴ 4p-1=9, p=

,故本题应选 C.

3.

=

=cos3θ +isin3θ .

∵ π <θ <

,∴3π <3θ <

,∴π <3θ -2π <

,故本题应选 B.

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4.由题意,得(cos

+isin

) =cos

n

+isin

=cos

-isin

由复数相等的定义 ,得

解得

=2kπ -

,(k∈Z),∴n=6k-1.故本题应选 C.

5. 依题意, |z-3|=|z+3|-1, |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义, 有 ∴ 此方程表示焦点(±3, 0), 2a=1, a= 的双曲线右支,故本题应选 C. 复数三角形式的运算· 疑难问题解析 1.复数的模与辐角: (1)复数模的性质:|z1·2|=|z1|· 2| z |z

(2)辐角的性质:积的辐角等于各因数辐角的和. 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 一个复数 n 次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的 n 倍. 注意:(1)辐角与辐角主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如下面两个问题: 若 arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求 α+β 的值.(α+β∈(3π,4π))

若 arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求 arg[(2-i)(3-i)]的值. (2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和,商的辐角主值不一定等于辐角主值的差. 2.关于数的开方 (1)复数的开方法则:r(cosθ+isinθ)的 n 次方根是

几何意义:



对应于复平面上的点

,则有:

9

所以,复数 z 的 n 次方根,在复平面内表示以原点为中心的正 n 边形的 n 个顶点. (2)复数平方根的求法. 求-3-4i 的平方根. 解法一 利用复数代数形式.设-3-4i 的平方根为 x+yi(x,y∈R),则有 (x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i, 由复数相等条件,得

∴-3-4i 的平方根是± (1-2i). 法二 利用复数的三角形式.

3.复数集中的方程. 关于实系数的一元二次方程的解法:设 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R,x1,x2 为它的两个根) (1)当△=b2-4ac≥0 时,方程有两个实数根 当△=b2-4ac<0 时,方程有一对共轭虚根

(4)二次三项式的因式分解:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 关于复系数的一元二次方程的解法:设 ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c∈C,且至少有一个虚数,x1x2 为它的两 个根)

(4)二次三项式的因式分解 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用. 关于二项方程的解法 形如 anxn+a0=0(a0,an∈C 且 an≠0)的方程叫做二项方程,任何一个二项方程都可以化成 xn=b(b∈C)的形式, 因此都可以通过复数开方来求根.

可以充分利用复数 z 的整体性质,复数 z 的三种表示方法及其转换来解方程. 已知方程 x2-4x+p=0 两虚数根为 α、β,且|α-β|=2 求实数 p 的值. 解法 1 ∵实系数一元二次方程虚根共轭设 α=a+bi,
10

β=a-bi,(a,b∈R) ∴α+β=2a=4,∴a=2 又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2 得 b=± 1 即两根为 2+i,2-i 由韦达定理得:p=(2+i)(2-i)=5 法 2 由韦达定理可得:α+β=4,αβ=p 于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4, 即|4-p|=1 又∵△=42-4p<0 p>4, ∴p-4=1, 得 p=5 说明 注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别. 一等式成立.若有两个虚根则 上述等式不成立.因为|α-β| ≠(α-β) .因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系,要避免出 现混淆与干扰. 已知方程 2x2+3ax+a2-a=0 有模为 1 的根,求实数 a 的值. 分析 已知方程有模为 1 的根,此根可能是实数,也可能是虚数,故求实数 a 要注意分域讨论. 解 (1)若所给方程有实根则△=(3a)2-4× 2-a)=a2+8a>0, 即 a<-8 或 a>0 2(a 由条件得根必为 1 或-1, ①将 x=1 代入原方程可得 a2+2a+2=0a 无实数解.
2 2

(2)若所给方程有虚根则△=a2+8<0, 即-8<a<0

即 a2-a-2=0, ∴a=-1 或 a=2(舍)

已知方程 x2-(2i-1)x+3m-i=0 有实数根,求实数 m. 分析 求实数 m 的范围,若用判别式来判断是错误的,因为此方程的系数是复数. 利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等,解方程组来求实数 m 均可以.现仅介绍一种方法. 解 ∵x,m∈R,方程变形可得,(x2+x+3m)-(2x+1)i=0

复数例题讲解与分析 例 1.已知 x, y 互为共轭复数,且(x+y) -3xyi=4-6i,求 x, y. [思路 1]:确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角,设 z=a+bi 或三角形式,化虚为实。 [解法 1]:设 x=a+bi(a,b∈R), 则 y=a-bi, 代入原等式得:(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i.
2
















11



[思路 2]:“x, y 互为共轭”含义?→x+y∈R, xy∈R,则(x+y)2-3xyi=4-6i

.

[解法 2]:∵x= ,∴x+y∈R, xy∈R, ∴由两复数相等可得: ∴由韦达定理可知:x,y 同是方程:z +2z+2=0 或 z -2z+2=0 的两根, 分别解两个一元二次方程则得 x,y……(略)。
2 2



例 2.已知 z∈C,|z|=1 且 z2≠-1,则复数





A、必为纯虚数 B、是虚数但不一定是纯虚数 C、必为实数 D、可能是实数也可能是虚数 [思路分析]:选择题,从结论的一般性考虑,若 z=± 1,显然 A、B 选项不成立,分析 C、D 选项,显然穷 举验证不能得出一般结论只能推演 解:[法 1] 设 z=a+bi, a,b∈R, a2+b2=1,a≠0.



=

=

=

∈R,故,应选 C。

[法 2] 设 z=cosθ+isinθ (θ∈R,且 θ≠kπ+

),



=

=

=

∈R。

[法 3] ∵z· =|z|2, ∴当|z|=1 时有 z· =1,



=

=

=

∈R.

[法 4] ∵当|z|=1 时有 z· =1,



=

=

∈R.

[法 5] ∵复数 z 为实数的充要条件是 z= ,

而(

)=

, 又∵|z|=1 时, =



∴ = = , ∴ ∈R。 [评注]:复习中,概念一定要结合意义落实到位,一方面深化理解(比如复数定义:“形如 a+bi (a,b∈R)的 数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样,求一个复数,使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为 实;……。)
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同时对一些概念的等价表达式要熟知。(比如:z=a+bi∈R z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b≠0 (a,b∈R) z+ =0 (z≠0)

b=0(a,b∈R)

z=

z2≥0;

z2<0;…….)

在面对具体问题时要有简捷意识(比如该例方法 1,有同学可能会在算到

时不注意及时

化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行),多方理解挖掘题目立意。 例 3.求使关于 x 的方程 x2+(m+2i)x+2+mi=0 至少有一个实根的实数 m. [思路分析]:根的判别式只适用实系数的一元二次方程,虚系数有实根用两复数相等,化虚为实。 解:设 x0 为方程的一个实根,则有

x02+mx0+2+(2x0+m)i=0

,解得:m=± 2



例 4.设 z∈C, arg(z+2)=

, arg(z-2)=

, 求 z。

[思路分析]:常规思路,设 z=a+bi, 由已知列关于 a,b 的方程求解;数形结合思想,由题设可知 z+2 对应的

点 A 在射线 OA 上,∠AOX=

,z-2 对应的点 B 应在射线 OB 上,

∠BOX=

,z 对应的点 Z 应在 AB 中点上,|AB|=4,AB//Ox 轴,∠AOB= i.



故而易得:z=-1+ 解:(略)

例 5.设 x,y∈R, z1=2-

x+xi, z2=

y-1+(

-y)i,

已知|z1|=|z2|,arg k∈Z}中元素的个数。

=

, (1)求(

)100=?

(2)设 z=

, 求集合 A={x|x=z2k+z-2k,

[思路分析]:理解已知,|z1|=|z2|,arg

=

含义?→

=i, 即 z1=z2i→两复数相等→x, y.

(1)解:∵|z1|=|z2|, ∴|

|=1,

又 arg

=

,



=|

|(cos

+isin

)=i, 即 z1=z2i,

13

∴ 2-

x+xi=[

y-1+(

-y)i]i



,解得 x=y=

+

,

∴ (

)100=(

+

i)100=(-

+

i)50=

=-

-

i.

[简评] 10 本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法,如果把两个已知条件割裂开来去考虑,则需要 解关于 x, y 的二元二次方程组,其运算肯定很麻烦;

20 在计算题中对 1 的立方根之一:w=1+ +

+

i 的特性要熟知即 w3=

3

=1,

=

=w2,1+w+w2=0,

=0, 关于此点设计问题是命题经常参考的着眼点。

(2) [思路分析]: 由(1)知 z= 可怎么理解呢? (z2)k+(z2)-k, z2k+

+
2k

i, 的特性:3=-1= z z , ……

3

, |z|=1,

=

; z=cos

+isin

, z2=w, ……,2k+z-2k z

解[法 1]:令 w=-

+

i,则 z2k+z-2k=wk+w-k,

∵w3=1,而 k∈z, ∴k= 当 k=3m 时,z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,

当 k=3m+1 时,z2k+z-2k=w3m· -3m· -1=w+w-1=w+ w+w w 当 k=3m+2 时,z +z =w · +w w
2k -2k 3m 2 -3m -2 2 -2 3

=-1,

· =w +w =w · -1+w-3· -1+w=-1, w w w=w

综上可知,集合 A 中有 2 个元素。

[法 2]:∵|z|=1, ∴

=

,

∴z2k+z-2k=z2k+

2k

=cos

+isin

+cos

-isin

=2cos

=
14

由此可判定集合 A 中有 2 个元素。

例 6.设复数 z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w= [思路分析]:欲用已知,需化简 w,

, 并且|w|=

, argw<

,求 θ。(93 年全国理)

解:w= =tg2θ(sin4θ+icos4θ)

=

=

∴ |w|=|tg2θ|

由|w|=

得 tg2θ=±

.

∵ 0<θ<π, 故有(i)当 tg2θ=

时,得 θ=

或 θ=

.

此时 w=

(cos

+isin

),∴argw=

<

,适合题意。

(ii)当 tg2θ=-

时,得 θ=

π 或 θ=

π,此时,w=

(cos

π+isin

π).

∴argw=

π>

, 不合题意,舍去,

故综合(i), (ii)知,θ=

或 θ=

.

[简评] 10 复数与三角的综合题目是命题的一个方向,其中应用三角公式“1±cosa 的升幂式”及“诱导公式” 化复数代数形式为标准三角形式应用频率较高。 20 此题在 w 的化简中亦可利用 |z|=1, z· =|z|来化简:

w=

=

=

=……以下略,这样可省去较为繁锁的三角

变换。 例 7.已知|z|=1,且 z5+z=1, 求 z。 [思路分析 1]:已知含未知数的等式求未知数,方程问题,设元化虚为实, 解:[法 1]设 z=cosθ+isinθ,则由 z5+z=1 可得:

由(1)2+(2)2 得:cos4θ=-

……(以下略)。

[思路分析 2]:复数的概念,运算都有几何意义,由 z5+z=1,若设 z5, z,1 对应点为 A,B,C 则四边形 OACB 为平行四边形。 ★[法 2]:设 z5,z,1 在复平面上对应点分别为 A,B,C,则由 z5+z=1,可知,四边形 OACB 为平行四边形,
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又∵ |z5|=|z|5=1=|z|



OACB 为边长为 1 的菱形且∠AOB=120° ,∴ 易求得:z=

+

i 或 z=

-

i。

可以验证当 z=

±

i 时,z5=

i 符合题意。

[简评]:10 数形结合思想方法应是处理复数有关问题的习惯思路,因复数中的概念,运算都有一定的几 何含义,这源于 z=a+bi 本身就表示一个点,当 a,b 确定,z 表示定点,当 a,b 不定则 z 就能表示一个动点轨迹,

如 z=x+

i 就可表示双曲线。故在解题时变换角度从几何意义去分析,往往会事半功倍。

20 此题还可这样联系,由 z5+z=1 得 z-1=-z5,两边取模|z-1|=|-z|5=|z|5=1,从而知 z 应是圆|z|=1 与 |z-1|=1 的交点。

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