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2016届高考数学一轮复习 2.15用导数解决生活中的优化问题练习 理

2016届高考数学一轮复习 2.15用导数解决生活中的优化问题练习 理


第十五节
题号 答案 1

用导数解决生活中的优化问题
2 3 4

1.把长 100 cm 的铁丝分成两段,各围成一个正方形,当两正方形面积之和最小时,两 段长分别为( ) B.40 cm,60 cm D.30 cm,70 cm

A.20 cm,80 cm C.50 cm,50 cm

解析:设一段长为 x,则另一段长为 100-x, 2 2 ?x? ?100-x? = 1 [x2+(100-x)2]= 1 (2x2-200x+10 000). ∴S=? ? +? ? 16 ?4? ? 4 ? 16 1 令 S′=0,得 (4x-200)=0, 16 ∴x=50.故选 C. 答案:C 2.已知一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则圆柱的侧面积最大值为( A.2π r
2

)

B.3π r

2

C.4π r

2

1 2 D. π r 2
2 2 2

解析:设圆柱高 h, 圆柱底半径 x,则(2x) +h =(2r) ; S 侧=2π xh=2π x 4r -4x ,令 y=S 侧 =16π (-x +r x ), y′ =0 得唯一极值点 x= 2 r,所以 h= 2r. 2
2 2 2 2 2 4 2 2

所以 S 侧最大值 2π r ,故选 A. 答案:A 3.进货原价为 80 元的商品 400 个,按 90 元一个售出时,可全部卖出.已知这种商品 每个涨价一元,其销售数就减少 20 个,所获得利润最大时售价应为( A.90 元 B.95 元 C.100 元 D.105 元 解析:设售价为 90+x 元时利润为 y,此时售量为 400-20x. y=f(x)=(90+x)(400-20x)-(400-20x)×80=20(20-x)(10+x), 求导得:y′=20(-2x+10),令 y′=0,得 x=5, 所以当 x=5 时,ymax=4 500(元),即售价为 95 元时获利最大,其最大值为 4 500 元, 故选 B. 答案:B 4.用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一
1

)

个大小相同的小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),当容器的容积最大 时,该容器的高为( )

A.8 cm B.9 cm C.10 cm

D.12 cm
3

解析:设容器的高为 x cm,容器的容积为 V(x) cm , 则 V(x)=(90-2x)(48-2x)x=4x -276x +4 320x(0<x<24), ∵V′(x)=12x -552x+4 320, 由 V′(x)=12x -552x+4 320=0? x -46x+360=0, 解得 x1=10,x2=36(舍去). ∵当 0<x<10 时,V′(x)>0;当 10<x<24 时,V′(x)<0, ∴当 x=10 时,V(x)在区间(0,24)内有唯一极值,且取极大值. ∴容器高 x=10 cm 时,容器容积 V(x)最大.故选 C. 答案:C 5.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以 3 m/s 的速度离 开墙脚滑动,当其下端离开墙脚 1.4 m 时,梯子上端下滑的速度为____________. 5? 2? 解析:设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5- 25-9t ?0≤t≤ ?, 3? ? 当下端移开 1.4 m 时,t0= 1.4 7 = , 3 15
2 2 2 3 2

1 1 9t 2 又 s′=- (25-9t )- ·(-9·2t)= , 2 2 2 25-9t 7 所以 s′(t0)=9× × 15 1 2 ?7? 25-9×? ? ?15? =0.875(m/s).

答案:0.875 m/s 6.在直径为 d 的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为 ________(强度与 bh 成正比,其中 h 为矩形的长,b 为矩形的宽). 解析:如图为圆木的横截面, ∵b +h =d , ∴bh =b(d -b ).
2
2 2 2 2 2 2 2

设 f(b)=b(d -b ), ∴f′(b)=-3b +d . 令 f′(b)=0,由于 b>0, ∴b= 3 d, 3 3 ? ? 3 ? d?上 f′(b)>0,在? d,d?上,f′(b)<0. 3 ? ?3 ? 3 6 d 处取得极大值,也是最大值,即抗弯强度最大,此时长 h= d. 3 3
2 2

2

2

且在?0,

? ?

∴函数 f(b)在 b=

答案:

6 d 3

7.高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是 4 500 元/台.当笔记本电 脑销售价为 6 000 元/台时,月销售量为 a 台.市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销 售价提高的百分率为 x(0<x<1), 那么月销售量减少的百分率为 x .记销售价提高的百分率为 x 时,电脑企业的月利润是 y 元. (1)写出月利润 y 与 x 的函数关系式; (2)如何确定这种笔记本电脑的销售价,可使得该公司的月利润最大? 解析:(1)依题意,销售价提高后变为 6 000(1+x)元/台,月销售量为 a(1-x )台, 则 y=a(1-x )[6 000(1+x)-4 500], 即 y=1 500a(-4x -x +4x+1),0<x<1. (2)由(1)知 y′=1 500a(-12x -2x+4), 令 y′=0,得 6x +x-2=0, 1 2 解得 x= 或 x=- (舍去). 2 3 1 1 当 0<x< 时,y′>0;当 <x<1 时,y′<0. 2 2 1 故当 x= 时,y 取得最大值. 2
3
2 2 3 2 2 2 2

3 此时销售价为 6 000× =9 000(元). 2 故笔记本电脑的销售价为 9 000 元/台时,该公司的月利润最大. 8.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 的延 长线上,N 在 AD 的延长线上,且对角线 MN 过 C 点.已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)设 AN=x(单位:米),要使花坛 AMPN 的面积大于 32 平方米,求 x 的取值范围; (2)若 x∈[3,4) (单位:米),则当 AM,AN 的长度分别是多少时,花坛 AMPN 的面积最 大?并求出最大面积. DN DC 3x 解析:由于 = ,则 AM= , AN AM x-2 3x 故 SAMPN=AN·AM= . x-2 3x (1)由 SAMPN>32 得 >32, x-2 因为 x>2, 所以 3x -32x+64>0,即(3x-8)(x-8)>0, 8 从而 2<x< 或 x>8, 3
2 2 2

? 8? 即 x 的取值范围是?2, ?∪(8,+∞). ? 3?
3x 6x(x-2)-3x 3x(x-4) (2)令 y= ,则 y′= = 2 2 , x-2 (x-2) (x-2) 3x 因为当 x∈[3,4)时,y′<0,所以函数 y= 在[3,4)上为单调递减函数, x-2 3x 从而当 x=3 时,y= 取得最大值,即花坛 AMPN 的面积最大为 27 平方米,此时 AN x-2 =3 米,AM=9 米. 9.某商场预计 2016 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种商品的需求总量 P(x)(单位:件) 与月份 x 的近似关系是: 1 * P(x)= x(x+1)(41-2x)(x≤12 且 x∈N ). 2 (1)写出第 x 月的需求量 f(x)的表达式; (2)若第 x 月的销售量 f(x)-21x,1≤x<7, ? ? 2 * g(x)=?x ?1 2 ?,7≤x≤12,(x∈N ). x - 10x + 96 ? x? ? ? ? e ?3 1 000e (单位:件),每件利润 q(x)元与月份 x 的近似关系为:q(x)= x
x-6 2 2 2 2

,该商场销售
4

该商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少? (参考数据:e ≈403) 解析:(1)当 x=1 时,f(1)=P(1)=39; 1 1 2 当 x≥2 时,f(x)=P(x)-P(x-1)= x(x+1)(41-2x)- (x-1)x(43-2x)=-3x + 2 2 42x. 又 f(1)=-3×1 +42×1=39, ∴f(x)=-3x +42x(x≤12,x∈N ).
x-6 3 000e (7-x),1≤x<7, ? ? (2)h(x)=q(x)·g(x)=?1 000?1 3 2 x -10x +96x? ? ?,7≤x≤12, 6 ? 3 ? ? e ? x-6 3 000e (6-x),1≤x<7, ? ? * h′(x)=?1 000 (x∈N ). ( x - 8 )( x - 12 ), 7 ≤ x ≤ 12 , 6 ? ? e 2 * 2 6

∵当 1≤x≤6 时,h′(x)≥0,当 6<x<7 时,h′(x)<0, ∴当 1≤x<7 且 x∈N 时,h(x)max=h(6)=3 000. ∵当 7≤x≤8 时,h′(x)≥0,当 8<x≤12 时,h′(x)≤0, 1 000×896 1 000×896 * ∴当 7≤x≤12 且 x∈N 时,h(x)max=h(8)= ≈ ≈741<3 000. 6 3e 3×403 综上所述,预计第 6 个月的月利润达到最大,最大月利润为 3 000 元.
*

5


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