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卡尔丹公式

卡尔丹公式

卡尔丹公式
人类很早就掌握了一元二次方程的解法,但是对一元三次方程的研究,则是进展缓慢。古代中国、希腊和 印度等地的数学家,都曾努力研究过一元三次方程,但是他们所发明的几种解法,都仅仅能够解决特殊形 式的三次方程,对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲,随着数学的发展,一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上,把三次 方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”,这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大 利数学家卡尔丹诺。那么,一元三次方程的通式解,是不是卡尔丹诺首先发现的呢?历史事实并不是这样。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人,是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛· 冯塔纳(Niccolo Fontana)。 冯塔纳出身贫寒,少年丧父,家中也没有条件供他念书,但是他通过艰苦的努力,终于自学 成才,成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症,所以当时的人们昵称他为“塔 尔塔里亚”(Tartaglia), 也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中,都直接用“塔尔塔里亚” 来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究,冯塔纳利用十分巧妙的方法,找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成 就,使他在几次公开的数学较量中大获全胜,从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之 于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺,对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教,希望 获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶,滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫,但他极为执着, 软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来,冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言,把三次方程的解法“透 露”给了卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”,可是卡尔丹诺的悟性太棒了,他通过解三次 方程的对比实践,很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。 卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式,写进了自己的学术著作《大法》中,但并未提到冯塔纳的名字。 随着《大法》在欧洲的出版发行,人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根 公式的人确实是卡尔丹诺,因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。 卡尔丹诺剽窃他人的学术成果,并且据为已有,这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结 果,对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的。但是,冯塔纳坚持不公开他的研究成果,也不能算是正 确的做法,起码对于人类科学发展而言,是一种不负责任的态度。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只 能将型如 ax^3+bx^2+cx+d+0 的标准型一元三次方程形式化为 x^3+px+q=0 的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次 方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0 的一元三次 方程的求根公式的形式应该为 x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公 式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用 p 和 q 表示 A 和 B。方法如下: (1)将 x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) (3)由于 x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得 (4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型 x^3+px+q=0 作比较,可知 (5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得 (6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3 (7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为 A 和 B 可以看作 是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如 ay^2+by+c=0 的一元二次方程两个根的韦达定理,即 (8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

(9)对比(6)和(8),可令 A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a (10)由于型为 ay^2+by+c=0 的一元二次方程求根公式为

y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a) 可化为

(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的 A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a 代入(11)可得

(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) (13)将 A,B 代入 x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3) 式 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次 方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。


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