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推荐学习K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.3 第二课时 组合的应用-缺

推荐学习K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.3 第二课时 组合的应用-缺

推荐学习 K12 资料 第二课时 组合的应用 [对应学生用书P15] 有限制条件的组合问题 [例 1] 课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生各指定一名 队长.现从中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有 1 名女生; (2)两名队长当选; (3)至少有 1 名队长当选. [思路点拨] 特殊元素特殊对待,特殊位置优先安排. [精解详析] (1)1 名女生,4 名男生,故共有 C15·C48=350 种. (2)将两名队长作为一类,其他 11 人作为一类,故共有 C22·C311=165 种. (3)至少有 1 名队长含有两类:只有 1 名队长;2 名队长,故共有选法 C12·C141+C22·C311= 825 种,或采用间接法共有 C513-C511=825 种. [一点通] 解答组合应用题的总体思路: (1)整体分类:从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,即“不漏”,任意 两类的交集等于空集,即“不重”,计算结果时使用分类计数原理. (2)局部分步:整体分类以后,对每类进行局部分步,分步要做到步骤连续,保证分步 不遗漏,同时步骤要独立. 1.从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有 1 名女生的选法共有________ 种. 解析:法一:选出 3 名志愿者中含有 1 名女生 2 名男生或 2 名女生 1 名男生,共有 C12C26 +C22C16=2×15+6=36(种)选法; 法二:从 8 名学生中选出 3 名,减去全部是男生的情况,共有 C83-C36=56-20=36(种) 选法. 答案:36 2.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组, 则不同的选法共有________种. 解析:从中选出 2 名男医生的选法有 C26=15 种,从中选出 1 名女医生的选法有 C15=5 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 种,所以不同的选法共有 15×5=75 种. 答案:75 3.设集合 I={1,2,3,4,5}.选择集合 I 的两个非空子集 A 和 B,若集合 B 中最小的元素 大于集合 A 中最大的元素,则不同的选择方法共有多少种? 解:从 5 个元素中选出 2 个元素,小的给集合 A,大的给集合 B,有 C25=10 种选择方 法;从 5 个元素中选出 3 个元素,有 C35=10 种选择方法,再把这 3 个元素从小到大排列, 中间有 2 个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合 A、一边给集合 B,方法种数是 2,故此 时有 10×2=20 种选择方法;从 5 个元素中选出 4 个元素,有 C45=5 种选择方法,从小到 大排列,中间有 3 个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合 A、一边给集合 B,方法种数是 3,故此时有 5×3=15 种选择方法;从 5 个元素中选出 5 个元素,有 C55=1 种选择方法, 同理隔开方法有 4 种,故此时有 1×4=4 种选择方法.根据分类计数原理,总计为 10+20 +15+4=49 种选择方法. 几何问题中的组合问题 [例 2] 平面上有 9 个点,其中有 4 个点共线,除此外无 3 点共线. (1)经过这 9 个点,可确定多少条直线? (2)以这 9 个点为顶点,可以确定多少个三角形? (3)以这 9 个点为顶点,可以确定多少个四边形? [思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行. [精解详析] 法一:(直接法) (1)可确定直线 C44+C41C15+C25=31 条. (2)可确定三角形 C24C51+C14C25+C35=80 个. (3)可确定四边形 C24C52+C14C35+C45=105 个. 法二:(间接法) (1)可确定直线 C29-C42+1=31 条. (2)可确定三角形 C39-C34=80 个. (3)可确定四边形 C49-C44-C43C15=105 个. [一点通] 解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样,只要把图形 隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可.计算时可用直接法,也可用间接法,要注意在 限制条件较多的情况下,需要分类计算符合题意的组合数. 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 4.正六边形的中心和顶点共 7 个点,以其中三个点为顶点的三角形共有________个. 解析:C37-3=32. 答案:32 5.平面内有两组平行线,一组有 m 条,另一组有 n 条,这两组平行线相交,可以构成 __________个平行四边形. 解析:第一步,从 m 条中任选 2 条,Cm2 ; 第二步,从 n 条中任选 2 条 C2n. 由分步计数原理,得 C2m·C2n. 答案:C2m·C2n 6.已知平面 α∥β,在 α 内有 4 个点,在 β 内有 6 个点. (1)过这 10 个点中的任意 3 点作一平面,最多可作多少个不同的平面? (2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥? (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积? 解:(1)所作出的平面有三类: ①α 内 1 点,β 内 2 点确定的平面,有 C14·C26个; ②α 内 2 点,β 内 1 点确定的平面,有 C24·C16个; ③α,β 本身. 所以所作的不同平面最多有 C14·C26+C42·C16+2=98(个). (2)所作的三棱锥有三类: ①α 内 1 点,β 内 3 点确定的三棱锥,有 C14·C36个; ②α 内 2 点,β 内 2 点确定的三棱锥,有 C24·C26个; ③α 内 3 点,β 内 1 点确定的三棱锥,有 C34·C16个. 所以最多可作出的三棱锥有 C14·C36+C42·C26+C34·C61=194(个). (3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,又平面 α∥β,所以体积不相同 的三棱锥最多有 C36+C43+C26·C24=114(个).

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