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平新乔十八讲答案第一讲

平新乔十八讲答案第一讲

第一讲 偏好、效用……

平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles

偏好、 第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
1 根据下面的描述,画出消费者地无差异曲线.对于 1.2 和 1.3 题,写出效用函数. 1.1 王力喜欢喝汽水 x ,但是厌恶吃冰棍 y 可能的一个无差异曲线是这样:

y

x
0
1.2 李楠既喜欢喝汽水 x ,又喜欢吃冰棍 y ,但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异 的. 只要满足(0,2)和(3,0)在同一条无差异曲线上就符合题目要求.可能的一 个无差异曲线是这样:

y

2

x
0
1.3

3

萧峰有个习惯,它每喝一杯汽水 x 就要吃两根冰棍 y ,当然汽水和冰棍对他而言 是多多益善.

1

第一讲 偏好、效用……

y y

x
0
效用函数为 u = min{x, } 1.4 杨琳对于有无汽水 x 喝毫不在意,但她喜欢吃冰棍 y .

y 2

y

x
0
效用函数为 u = y 2 作图:如果一个人的效用函数为:

u ( x1 , x 2 ) = max{x1 , x 2 }
2.1 请画出三条无差异曲线.

x2

x1
0
(10,0)

2.2

如果 p1 = 1 , p 2 = 2 , y = 10 .请在图上找出该消费者的最优的消费组合.
2

第一讲 偏好、效用……

3

在图中, 赭色直线是预算线. 与之有公共点集的唯一最高无差异曲线是过点 (10, 0)的那条无差异曲线(上图中为橙线) .消费者的最优的消费选择是(10,0) . 下列说法对吗?为什么? 若某个消费者的偏好可以由效用函数
2 u ( x1 , x 2 ) = 10( x12 + 2 x1 x 2 + x 2 ) ? 50

来描述,那么对此消费者而言,商品 1 和商品 2 是完全替代的. 说明:本章没有完全替代商品的定义.范里安的书上给出的完全替代是拿
u (x1 , x 2 ) = x1 + x 2 作为例子.本题的思路是说明两个效用函数在偏好的描述上是等价

的. 答: 令 t ( x1 , x 2 ) =

u + 50 , 由单调变换的定义知, 与 u 是同一个偏好的效用函数. t 且 10

t ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 ,即 t 所描述的偏好中,商品 1 与商品 2 是完全替代的.因此 u 所描
4

述的偏好中,商品 1 与商品 2 是完全替代的. 若某个消费者的效用函数为

u ( x1 , x 2 ) =
其中, x1 , x 2 ∈ R+
4.1

1 1 ln x1 + ln x 2 , 2 2

证明: x1 与 x 2 的边际效用都递减. 证明: u ( x1 , x 2 ) 对 x1 取二阶偏导,得到

? 2u 1 = ? 2 < 0. 2 ?x1 2 x1
因此 x1 的边际效用是递减的.同理, x 2 的边际效用也是递减的.
4.2

请给出一个效用函数形式,使该形式不具备边际效用递减的性质. 答:可能的一个效用函数是 u ( x1 , x2 ) = x1 + x2 .

5

常见的常替代弹性效用函数形式为

u ( x1 , x 2 ) = α 1 x1 + α 2 x 2
请证明:
5.1

(

ρ

ρ ρ

)

1

当 ρ = 1 ,该效用函数为线性. 证明:当 ρ = 1 时,效用函数为

u ( x1 , x 2 ) = α 1 x1 + α 2 x 2 ,

3

第一讲 偏好、效用……

此时,函数 u 是线性的. 5.2 当 ρ → 0 时,该效用函数趋近于 u ( x1 , x 2 )

= x1 1 x 2

α

α2

说明:如果 α 1 + α 2 ≠ 1 ,该效用函数在时发散,如果 α 1 + α 2 = 1 ,那么函数在

ρ → 0 时极限为 x1 1 x 2 2 .
5.3

α

α

当 ρ → ?∞ 时,该效用函数趋近于 u ( x1 , x2 ) = min{x1 , x2 } 证明:令 β1 =

α1 , β 2 = 1 ? β 1 .则 u 的一个单调变换结果是 α1 + α 2
1

ρ t = ( β 1 x1ρ + β 2 x 2 ) ρ .

当 x1 < x2 时,

? ?x lim t ( x1 , x 2 ) = lim x1 ? β 1 + β1 ? 2 ?x ρ → ?∞ ρ → ?∞ ? ? 1 ?
同理,当 x1 > x 2 时,有
ρ → ?∞

? ? ? ?

ρ

1

?ρ ? = x1 ; ? ?

lim t ( x1 , x 2 ) = x 2 .

当 x1 = x 2 时,有 t ( x1 , x 2 ) ≡ x1 = x 2 . 综上所述,当 ρ → ?∞ 时,原效用函数描述的偏好关系趋近于

u ( x1 , x2 ) = min{x1 , x2 } 所描述的偏好关系.
如果 α 1 与 α 2 满足 α 1 + α 2 = 1 ,那么当 ρ → ?∞ 时,同时有效用函数

u ( x1 , x 2 ) = α 1 x1 + α 2 x 2
趋近于以下效用函数

(

ρ

ρ ρ

)

1



u ( x1 , x 2 ) = min{ x1 , x 2 } .
[注]我们可以发现该效用函数的边际替代率 MRS1, 2

α = 1 α2

? x1 ? ?x ? 2

? ? ? ?

ρ ?1

.当 ρ → 1 时,

边际替代率趋近于

α1 ,即为完全替代效用下的边际替代率; ρ → 0 时,趋近于 α2

α1 x2 ,即柯布–道格拉斯效用下的边际替代率; ρ → ?∞ 时,若 x1 > x 2 ,趋近 α 2 x1
于 0,若 x1 < x 2 ,趋近于正无穷,即完全互补品的边际替代率.
4

第一讲 偏好、效用……

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茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖.如果每汤匙糖的价格是 p1 ,每杯咖啡的价格 她有 M 元可以花在咖啡和糖上, 那么她将打算购买多少咖啡和糖?如果价格变 是 p2 ,

′ 为 p1 和 p ′ ,对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响? 2
解:咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品,即她的效用函数可以表示为(假设她的偏好满 足单调性) :

1 u (c, s ) = min{c, s} 2 其中, c 代表咖啡的量,以杯为单位; s 表示糖的量,以汤匙为单位.
很明显,她的最优选择必然是

c=
考虑 c ≠

1 s. 2

(*)

1 s ,那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好,反而还浪费了—— 2 1 还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 c = s . 2
她面临的约束条件为:

p1c + p 2 s ≤ M .
由于她的偏好是单调的,而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和(或)糖,因此 她的最优选择必然在预算线上.也就是说,她的约束条件可以表达为:

p1c + p 2 s = M .
综合*与**式,可以得到, s =

(**)

2M M ,c = . p1 + 2 p 2 p1 + 2 p 2 2M M , c′ = .咖啡和糖的 ′ ′ ′ p1 + 2 p 2 p1 + 2 p ′ 2

′ 如果价格变成 p1 和 p ′ ,同样可以得到 s ′ = 2
消费比例不会发生变化.

[注] 严格地说,一般地,约束条件应该写成 p1 c + p 2 s ≤ M , c ≥ 0 , s ≥ 0 .但只要效 用满足局部不厌足性,我们就可以将 p1 c + p 2 s ≤ M 写成 p1c + p 2 s = M ;同时,在 十八讲的习题里我们遇到的大多数效用函数下, 最优的 c 和 s 都是严格大于零的, 因此, 在这样的条件下,我们也可以省略 c ≥ 0 , s ≥ 0 .在后面,如非特别说明,我们的约束 条件均仅仅写成 p1c + p 2 s = M .
7

令 ≥ 为偏好关系,>为严格偏好关系, ≈ 为无差异关系.证明下列关系 说明:本题的解答仅作参考. 我不认为类似“= ?≥ ”是一个规范的表达方式,也许它的本意是对任意消费束的无差 异集均属于它的弱偏好集.其余符号的解释与以上类似.

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第一讲 偏好、效用……

7.1 7.2

≥?≥
说明:此题的含义是,弱偏好集是唯一的(如果按照上面的解读) . = ?≥ 证明:

7.3

≈=≥ ∩ ≤?≈?≥ ≈ ∪ >=≥
证明:

≈=≥ ∩ ≤? ? ?≈ ∪ >=≥ >=≥ ? ≤ ?
7.4

≈ ∩ >= ?
证明:

≈=≥ ∩ ≤ ? ? ?≈ ∪ >= ? >=≥ ? ≤ ?
8 证明下列结论(或用具说服力的说理证明) 8.1 > 与 ≈ 都不具有完备性 说明:严格偏好关系真包含于偏好关系,而偏好关系是完备的,因此,严格偏好 关系不具有完备性.同理可以说明无差异关系也不具有完备性. 8.2 ≈ 满足反身性 说明:如果无差异关系不具有完备性,那么根据无差异关系的定义,则必存在一 个消费束严格偏好于它自身,也就是说,这个消费束同时既偏好于它本身又不偏 好于它本身,这是矛盾的. 8.3 严格偏好关系不满足反身性 说明:如果严格偏好关系满足反身性,那么根据严格偏好关系的定义,则对任一 对消费束 a, b,如果 a 严格偏好于 b,则说明 b 不可能偏好于 a;而根据假设 b 严 格偏好于 a,b 必然偏好于 a.因此它们是矛盾的. 8.4 对于任何 X 中的 x 与 x ,在下列关系中,只能居其一: x > x , x > x ,或
1 2 1 2 2 1

x1 ≈ x 2
说明:根据 8.3 的说明, x > x 与 x > x 不可能同时成立,那么,当 x > x 和
1 2 2 1 1 2

x 2 > x 1 同时不成立的时候,必有 x1 ≥ x 2 且 x 2 ≥ x1 ,即 x1 ≈ x 2
9 一个只消费两类物品的消费者面临正的价格,其拥有正的收入,他的效用函数为:

u ( x1 , x 2 ) = x1
导出其马歇尔需求函数. 解:本题的最大化问题为

max u ( x1 , x 2 )
x1 , x2

s.t. p1 x1 + p 2 x 2 = y
由约束条件 p1 x1 + p2 x2 = y 知
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第一讲 偏好、效用……

x1 =

y ? p 2 x2 . p1 y y .此时, x1 的消费量为 . p1 p1 y , x2 = 0 p1

当 x 2 = 0 时, u 有最大值

即,马歇尔需求函数为 x1 =

[注] 以后所称“需求函数” ,若非特别说明,均为马歇尔需求函数. 10 一个人的效用函数为 u ( x1 , x 2 ) = Ax1 x 2 ,这里 0 < α < 1 , A > 0 .假定存在内点解, 请导出其马歇尔效用函数. 解:本题的最大化问题为
α max Ax1 x 1?α 2
x1 , x2

α

1?α

s.t. p1 x1 + p 2 x 2 = y
其拉格朗日函数为
α L(λ ; x1 , x 2 ) = Ax1 x1?α + λ ( y ? p1 x1 ? p 2 x 2 ) . 2

使 L(?) 最大化的 x1 , x 2 , λ 满足一阶条件:

?L α = αAx1 ?1 x1?α ? λp1 = 0 , 2 ?x1 ?L α ? = (1 ? α ) Ax1 x 2 α ? λp 2 = 0 , ?x 2

(1)

(2)

?L = y ? x1 p1 ? x 2 p 2 = 0 . ?λ
将 1 式除以 2 式,得

(3)

x p 1?α α x 2 p1 = ,即 x 2 = 1 1 ; 1 ? α x1 p2 p2 α
代 4 式入 3 式,得

(4)

x1 =
代 5 式入 4 式,得

αy
p1



(5)

x2 =

(1 ? α ) y . p2

(6)

5 与 6 式即为 x1 与 x 2 的马歇尔需求函数.

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第一讲 偏好、效用……

[注]该效用函数称为柯布–道格拉斯效用函数.记住以下这个结论是很有用的,若效用
α β 函 数 形 如 u (x1 , x 2 ) = Ax1 x 2 , 那 么 在 约 束 条 件 p1 x1 + p 2 x 2 = y 下 , 需 求 函 数 为

xi =

y , i = 1,2 .在以后的计算中我将直接使用这个结论. α + β pi

α

[注]严格来说,伴随着一般情况下完整的约束( p1 x1 + p 2 x 2 ≤ y , x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 ) ,这

个最大化问题的求加需要更繁琐的过程; 但是, 我们遇到的绝大多数问题都可以以这种 相对简化的方法求解,而下面遇到的最大化/最小化问题的求解,如果没有特别说明, 这个注均适用. (与之伴随的是“简化”的约束, p1 x1 + p 2 x 2 = y )

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