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湖北省黄冈中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)新人教A版

湖北省黄冈中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)新人教A版

黄冈中学 2013 年高二年级期中考试数学试题(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求,请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置. ) 1.下列说法中正确的是( ) A.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 B.一组数据不可能有两个众数 C.一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数据 D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动程度越大 2.下列关于随机抽样的说法不正确 的是( ) ... A.简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样 B.系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等 C.有 2008 个零件,先用随机数表法剔除 8 个,再用系统抽样方法抽取抽取 20 个作为样 本,每个零件入选样本的概率都为 1/ 2000 D.当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样 3.从一批产品中取出三件产品,设 A ? { 三件产品全是正品 } , B ? { 三件产品全是次品 } , 的是( C ? { 三件产品不全是次品 } ,则下列结论不正确 ... ) A.A 与 B 互斥且为对立事件 B.B 与 C 为对立事件 C.A 与 C 存在着包含关系 D.A 与 C 不是互斥事件 4.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万 元) 销售额 y (万 元) 44 25 37 54 4 2 3 5

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
为 A.61.5 万元 B. 62.5 万元 C. 63.5 万元 5.给出的四个程序框图,其中满足 WHILE 语句结构的是( ) D. 65.0 万元

循环体
满足条件?



满足条件?

循环体 是

满足条件?



循环体 是
满足条件?





是 循环体










-1-

A. ①②

B. ②③

C. ②④

D. ③④

6.若直线 l:y=kx- 3与直线 x+y-3=0 的交点位于第二象限,则直线 l 的倾斜角的取值 范围是( ) A. (

? 3?
2 , 4

]

B. [

? 3?
2 , 4

)

C. (

? 3?
3 , 4

)

D. (

? 3?
2 , 4

)

7.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个计数 符号,这些符号与十进制数的对应关系如下表: 十 六 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 进 制 十 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 进 制 例如,用十六进制表示:E+D=1B,则 B×F (“×”表示通常的乘法运算)等于( ) A.A5 B.BF C.165 D.B9 8.张三和李四打算期中考试完后去旅游,约定第二天 8 点到 9 点之间在某处见面,并约定先 到者等候后到者 20 分钟或者时间到了 9 点整即可离去,则两人能够见面的概率是( ) 4 5 7 6 A. B. C. D. 9 9 9 9 2 2 9.已知直线 l : ax ? by ? 1 ? 0 ,圆 M : x ? y ? 2ax ? 2by ? 0 ,则直线 l 和圆 M 在同一坐标 系中的图形可能是( )

10.已知 a ? b 且 a 2 sin ? ? a cos ? ? 1 ? 0 、 b2 sin ? ? b cos ? ? 1 ? 0 ,则连接 (a, a ) 、 (b, b 2 ) 两 点的直线与单位圆 x ? y ? 1 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离
2 2

2

D.不能确定

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置.) 11.若数据组 k1 , k2 ,

, k8 的平均数为 3,方差为 3,则 2(k1 ? 3), 2(k2 ? 3),

, 2(k8 ? 3) 的平

均数为_____,方差为_____.

-2-

12.下课以后,教室里最后还剩下 2 位男同学,2 位女同学.如 果每次走出一个同学,则第 2 位走出的是男同学的概率是 ________.

13.如图给出的是计算

1 1 1 ? ? ? 2 4 6

?

1 的值的一个程序 2014

框图,则判断框内应填入的条件是________.
5 3 2 14 .已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 x ? x ? 1,应用秦九韶算法计算 x ? 3 时的值时, v 3 的值为 ________. .

15. 在平面直角坐标系中, ?ABC 的三个顶点 A(0, a), B(b, 0), C (c, 0) , 点 P(0, p) 在线段 AO 上(异于端点) .设 a, b, c, p 均为非零实数,直线 BP, CP 分别交

F. AC, AB 于点 E 、
一同学已正确算出直线 OF 的方程: ( ? ) x ? (

1 1 c b

1 1 ? )y ? 0 . p a

请你写出直线 OE 的方程: (

)x?? ?

? 1 1? ? ? ?y ? 0 . ? p a?

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 16. (本小题 12 分)已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : ( m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 , 求当 m 为何值时, l1 与 l2 : (I)平行; (Ⅱ)相交; (Ⅲ) 垂直.

17. (本小题 12 分) 下列程序的输出结果构成了数列 {an } 的前 10 项. 试 根据该程序给出的数列关系, (I)求数列的第 3 项 a 3 和第 4 项 a 4 ; (Ⅱ)写出该数列的递推公式,并求出其通项公式 a n ;

B=0 i ?1 DO A=B B=2*A+1 i ? i ?1 PRINT B LOOP UNTIL i ? 10 END (第 17 题程序)

-3-

18. (本小题 12 分)圆 M 的圆心在直线 y ? ?2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 相切于点 A(2,?1) , (I)试求圆 M 的方程; (Ⅱ)从点 P(3,1) 发出的光线经直线 y ? x 反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所在直线 的斜率取值范围.

19. (本小题 12 分)某校高一的一个班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受 到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (Ⅲ)试用此频率分布直方图估计这组数据的众数和平均数.

2 2 20. (本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 4b , a, b ? R .

(Ⅰ) 若 a 从集合 ?3, 4,5? 中任取一个元素,b 从集合 ?1, 2,3? 中任取一个元素, 求方程 f ( x) ? 0 有两个不相等实根的概率; (Ⅱ)若 a 从区间 ? 0, 2? 中任取一个数, b 从区间 ?0,3? 中任取一个数,求方程 f ( x) ? 0 没有实 根的概率.

-4-

21. (本小题 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1,
2 2

圆 C2

: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 .
6 ,求直线 l 的方程; 5
2

(Ⅰ)若过点 C1 (?1, 0) 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为
2

(Ⅱ)圆 D 是以 1 为半径,圆心在圆 C3 : ( x+1) ? y ? 9 上移动的动圆 ,若圆 D 上任意 一点 P 分别作圆 C1 的两条切线 PE , PF ,切点为 E , F ,求四边形 PEC1 F 的面积的取值范 围 ; (Ⅲ)若动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长, 如图所示,则动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定 点的坐标;若不经过,请说明理由.

期中考试数学(理)参考答案 1.答案:D 解析:一组数据的平均数介于这组数据中的最大数据与最小数据之间,所以 A 错; 众数是一组数据中出现最多的数据,所以可以不止一个,B 错;若一组数据的个数有偶数个, 则其中中位数是中间两个数的平均值,所以不一定是这组数据中的某个数据,C 错;一组数据 的方差越大,说明这组数据的波动越大,D 对. 2. 【答案】C 解析: C 选项中每个零件入选的概率应该 3. 【答案】A 解析:AB 互斥但是不对立。
-5-

1 。 2008

4. 【答案】C 解析:由题意可知 x ? 3.5, y ? 40 , 则 40 ? 9.4 ? 3.5 ? a, a ? 7.1, y ? 9.4 ? 6 ? 7.1 ? 63.5 ,答案应选 C。 5. 【答案】B 解析:WHILE 语句结构结构的特点,先判断再执行循环。

?y=kx- 3, 6. 【答案】D 解析:由? ?x+y-3=0,
? ?x<0, ?y>0, ?

? 3? 3 ?x ? 1 ? k ,∵两直线交点在第二象限, 解得 ? ? ? y ? 3k ? 3 ? 1? k ?

∴?

解得 k ? ?1 ,∴直线 l 的倾斜角的范围是 (

? 3?
2 , 4

).

另解:数形结合从图形中很容易看出来。 7. 【答案】A 解析:在十进制中,B×F =11×15=165.∵165=16×10+5, ∴在十六进制中 B×F=A5. 8. 【答案】B 解析:设两人到达的时间为 x, y ,则有 0 ? x ? 60,0 ? y ? 60,0 ?| x ? y |? 20 由 集合概型分析知,两人见面的概率为

5 。 9

9. 【答案】C 解析:由圆的方程易知圆的图象过原点,排除 D;A 选项中圆心在 y 轴上, 得 a ? 0 ,所以直线应平行于 x 轴,排除 A; BC 中的圆心都在第一象限,故 a , b 都大于 0 , 所以直线 l 的斜率 k ? ?

a | a 2 ? b2 ? 1| ? 0 ,圆心 ( a, b ) 到直线的距离 l : d ? ? a 2 ? b2 , 2 2 b a ?b

所以直线和圆相离,故选 C。
2 2 10. 【答案】B 解析:由题意可知,经过 (a, a ) 、 (b, b ) 两点的直线方程为

cos? x ? sin ? y ? 1 ? 0 .∴ d ? |1| ? 1 ? 1,故选 B.
1
11. 【答案】12 ,12 1 12. 【答案】 解析:已知有 2 位女同学和 2 位男同学,所有走的可能顺序有(女,女,男, 2 男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女), 3 1 (男,女,女,男),所以第 2 位走的是男同学的概率是 P= = . 6 2 1 1 1 1 1 13. 【答案】 i≤1007 或 i<1008 解析:依题意得, ? ? ? ? 可视为数列{ } 2n 2 4 6 2014 的前 1007 项的和,因此结合程序框图可知,判断框内应填入的条件是 i≤1007。 14. 【答案】24 解析: f ( x) ? 1 ? x(?1 ? x(3 ? x(?2 ? x(0 ? x))))) , v1 ? 3, v2 ? 7, v3 ? 24 。 15. 【答案】

1 1 ? 解析:直接类比可以得到。 b c

16.解: (I)由 1 ? 3 ? m ? ( m ? 2) ? 0 得:m = – 1 或 m = 3 当 m = – 1 时,l1: x ? y ? 6 ? 0 ,l2: ?3x ? 3 y ? 2 ? 0 ,即 3x ? 3 y ? 2 ? 0

-6-

1 ?1 6 ∴ l1∥l2 ? ? 3 ?3 2 当 m = 3 时,l1: x ? 3 y ? 6 ? 0 ,l2: x ? 3 y ? 6 ? 0 ,此时 l1 与 l2 重合
∵ ∴ m = – 1 时,l1 与 l2 平行 ????4 分 (Ⅱ)由 1 ? 3 ? m ? ( m ? 2) ? 0 得:m≠– 1 且 m≠3 ,∴ m≠– 1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交 ? 8分 (Ⅲ)由 1 ? ( m ? 2) ? m ? 3 ? 0 得: m ?

1 1 ,∴ m ? 时,l1 与 l2 垂直 ???????12 分 2 2
???????4 分

17.解: (I)依题意有 a3 ? 7 , a4 ? 15 ;

(Ⅱ)由此得到的数列的递推公式为: a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 1 ,用待定系数法可得 an ? 2n ? 1 (第二问 8 分,答案不对酌情给分) 18.解: (I)由题意知:过 A(2,-1)且与直线 x ? y ? 1 垂直的直线方程为: y ? x ? 3 ∵圆心在直线:y=-2x 上, ?x ? 1 ? y ? ?2 x ∴ 由 即 M (1, ?2) , 且 半 径 ? ? ? y ? ? 2 y ? x ? 3 ? ?
r ? AO1 ? (2 ?1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2
( x ?1) ? ( y ? 2) ? 2 .
2 2





















???????6 分(得到圆心给 2 分)

(Ⅱ)圆 M 关于直线 y ? x 对称的圆为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 , 设发出光线为 y ? 1 ? k ( x ? 3) 化简得 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,由 2 ?

| ?2k ? 1 ? 3k ? 1|
2

1? k 46 46 所以发出光线所在直线的斜率取值范围为 [? , ]。 23 23

得k ? ?

46 , 23
????????12 分

19.解析: (Ⅰ)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08, 2 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 =25. ????4 分 0.08 (Ⅱ)分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4, 4 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷10=0.016. ????7 分 25 (Ⅲ)分数在[60,70)之间的频率为:

7 10 ;分数在[70,80)之间的频率为: ; 25 25 2 分数在[90,100)之间的频率为: , 25
所以分数在[70,80)之间对应的矩形最高,这组数据的众数为 75。????10 分 平均数为: 55 ?

2 7 10 4 2 ? 65 ? ? 75 ? ? 85 ? ? 95 ? ? 73.8 ????12 分 25 25 25 25 25

20.解: (Ⅰ)∵ a 取集合 ?3, 4,5? 中任一个元素, b 取集合{1,2,3}中任一个元素, ∴ a , b 的取值的情况有(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3) ,(5,1),(5,2), (5,3).其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值,即基本事件总数为 9. 设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A,
-7-

当 a > 0,b > 0 时,方程 f ( x) ? 0 有两个不相等实根的充要条件为 a>2b. 当 a>2b 时,a,b 取值的情况有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),即 A 包含的基本事件数为 4, ∴方程 f ( x) ? 0 有两个不相等实根的概率 p( A) ?

4 9

??????6 分

(Ⅱ)∵a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数, 则试验的全部结果构成区域 Ω = {(a , b)|0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形区域,其面积

SΩ =2×3=6.
设 B ? { 方程 f ( x) ? 0 没有实根},则事件 B 所构成的区域为 M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a <2b},

1 它所表示的部分为梯形,其面积 S ? ? 6 ? ? 2 ? 1 ? 5 2
由几何概型的概率计算公式可得方程 f ( x) ? 0 没有实根的概率 p( B) ?

S? 5 ? ????13 分 S 6

21 解析: (Ⅰ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 .因为直线 l 被圆 C2 截得的弦
4k ? 4 4 4) 到 l : kx ? y ? k ? 0 的距离为 ? .化 长为 6 ,而圆 C2 的半径为 1,所以圆心 C2 (3, 5 k2 ?1 5

简,得
12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 , 解得 k ? 4 或 k ? 3 . 所以直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 4 3

4分 (Ⅱ) 动圆 D 是圆心在定圆 ( x+1)2 ? y 2 ? 9 上移动,半径为 1 的圆
y

在四边形 PEC1 F 中,

S PEC1F ? 2S?PEC1 ?| PE | r ?| PE |? | PC1 |2 ?r 2 ? | PC1 |2 ?1 ,
由圆的几何性质得,
C1

E P

P D x O F

DC1 ? r ? PC1 ? DC1 ? r ,即 2 ? PC1 ? 4 ,

故 3 ? | PC1 | ?1 ? 15 即为四边形 PEC1 F 的面积范围.
2

???9 分

y ) ,由题意,得 CC1 ? CC2 , (Ⅲ)设圆心 C ( x,

即 ( x ? 1)2 ? y2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 . 化简得 x ? y ? 3 ? 0 ,即动圆圆心 C 在定直线 x ? y ? 3 ? 0 上运动.
3 ? m) ,则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 设 C (m,

于是动圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? 3 ? m)2 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 整理,得 x2 ? y 2 ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 .
-8-

y
y

C2

? x ? 1 ? 3 2, ? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 2 由? 2 得? 或? 2 ? x ? y ? 6 y ? 2 ? 0, ? y ? 2 ? 3 2; ? y ? 2 ? 3 2. ? 2 ? 2 所以定点的坐标为 1 ? 3 2, 2 ? 3 2 , 1 ? 3 2, 2? 3 2 . 2 2 2 2

C1
O

C

x



?

? ?

?

???14 分

-9-


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