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2018年高中数学理科高考二轮复习:函数的单调性和奇偶性质的应用(链接高考解析版)

2018年高中数学理科高考二轮复习:函数的单调性和奇偶性质的应用(链接高考解析版)

2018 年高考数学热点复习函数部分 函数的单调性和奇偶性质的应用(链接高考解析版) 考纲要求: 1.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性. 2.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求函数的最大(小)值. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、 周期性求函数值及求参数值等问题是重点,也是难点. 基础知识回顾: 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2), 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 2.奇、偶函数的概念 自左向右图象是下降的 2018 年高考数学热点复习函数部分 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函 数 f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数 f(x)就叫做奇函数. 3、奇、偶函数的性质 ①奇偶函数的定义域关于原点对称;②奇函数的图像关于原点对称;偶函数的图 像关于 y 轴对称; ③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间 上的单调性相反. ④若 f(x)是奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f (0) ? 0 ;⑤若 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(|x|). 【注】函数的问题,一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样 要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。 4.函数的周期性 ( 1 ) 周期函 数的 定 义:若 T 为非 零实 数, 对于定 义域 内的 任意 x ,总有 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f ( x) 叫做周期函数, T 叫做这个函数的一个周期。 (2)周期函数的性质: ①若 T 是函数 f ( x) 的一个周期,则 kT ( k ? z, k ? 0) 也是它的一个周期; ②若 f ( x) 的周期中,存在一个最小的正数,则称它为 f ( x) 的最小正周期; ③如果对于函数 f ( x) 定义域中的任意 x , 满足 f ( x ? a) ? f ( x ? b) , 则得函数 f ( x) 的最小正周期是 | a ? b | 。 【注】如果对于函数 f ( x) 定义域中的任意 x ,满足 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则得函数 2018 年高考数学热点复习函数部分 f ( x) 的 周 期 是 T ?| a ? b | ; 如 果 对 于 函 数 f ( x) 定 义 域 中 的 任 意 x , 满 足 f ( x? a) ? f (? x? b ) ,则得函数 f ( x) 的对称轴是 x ? a?b 。 2 应用举例: 类型一:利用函数性质解决三角函数图象问题 ? ? 【例 1】 【2017 长郡中学高三入学考试】将函数 y ? sin( x ? ) cos( x ? ) 的图象 2 2 ? 沿 x 轴向右平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的取值不可能是() 8 5? ? ? 3? A. ? B. ? C. D. 4 4 4 4 【答案】C ? ? 1 ? y ? sin( x ? ) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ? ) 2 2 2 【解析】 的图象沿 x 轴向右平移 8 个单位 1 ? 1 ? y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) 2 8 2 4 ,因为该函数为偶 后得到的函数解析式为 函数,所以 ?? ? 4 ? k? ? ? 2 (k ? Z ) 即 ? ? k? ? 3? (k ? Z ) 4 ,由此可知选项 C 不符合题 意,故选 C. 【例 2】将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单位长度 ) 后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π A. 12 【答案】C π B. 6 π C. 3 5π D. 6 2018 年高考数学热点复习函数部分 类型二:利用函数性质解决函数零点问题 【例 3】 【2017 广东省惠州市高三调研】已知 f ( x) 是定义在 R 上的且以 2 为周 期的偶函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 .如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? m) 有两个零 点,则实数 m 的值为() A. 2k (k ? Z ) 【答案】D 1 1 B. 2k 或2k ? (k ? Z ) C.0 D. 2k 或2k ? (k ? Z ) 4 4 ?1 2 x ? 1, x ? 0 ? 【例 4】 【2017 新疆兵团农二师华山中学月考】 已知函数 f ( x) ? ? 2 , ? ?? ln(1 ? x), x ? 0 若函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点,则 k 的取值范围为() 1 1 A. (0,1) B. (0, ) C. ( ,1) D. (1, ??) 2 2 【答案】C 2 2 【解析】由题意, x ? 0, f ( x) 可化为为双曲线 4 y ? x ? 1在第一象限的部分,渐 2018 年高考数学热点复习函数部分 1 1 y ? ? x; y' ? ?1 y ? ln(1 ? x ) k ? 1 2 1 ? x 近线方程为 当 时,由

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