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高等数学(同济六版)PPT——D12数列的极限_图文

高等数学(同济六版)PPT——D12数列的极限_图文

第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则

第一章

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声明
? 教科书上讲的普适的真理(公理, 准确来说应该只是合符某种直观 的假设,当然由这些假设可以推 演出一个完整的逻辑系统。
? 欧几里德从未讲过两点之间有且 仅有一条直线是真理,他只是说 把它作为科学的假设 !!

极限思想
? 极限的思想方法可追溯到古代,3世 纪,中国数学家刘徽创立的割圆术用 圆内接正九十六边形的面积近似代替 圆面积,求出圆周率π的近似值 3.141024,并指出:“割之弥细,所 失弥少 ,割之又割,以至不可割,则 与圆合体而无所失矣”。刘徽对面积 的深刻认识和他的割圆术方法,正是 极限思想的具体体现 。

一 、数列极限的定义

引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积

逼近圆面积 S .

?

如图所示 , 可知

n

r

当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
数学语言描述: ?? ? 0, ?正整数 N, 当 n > N 时, 总有 An ? S ? ?
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束

极限思想
? 数列极限就是当一个有顺序的数列 往前延伸时,如果存在一个有限数, 使这个数列可以无限接近这个数, 这个数就是这个数列的极限。
? 数列极限是函数极限的基础 。

定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作



称为通项(一般项) .

若数列

及常数 a 有下列关系 :

当 n > N 时, 总有

则称该数列

的极限为 a , 记作

lim
n??

xn

?

a

或 xn ? a (n ? ?)

此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a ? ? ? xn ? a ? ?

(n ? N)

几何解释 :
(
a ? ? xN ?1

)
xN?2 a ??

即 xn ? ? ( a , ? )
(n ? N)

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例如,

1,2 23

,3 4

, ?, n , ? n ?1

xn

?

n n ?1

?1

(n ? ?)





xn

?

n

?

(?1)n?1 n

?1

(n ? ?)

2 , 4 , 8 , ? , 2n ,? xn ? 2n ? ? (n ? ?) 发


xn ? (?1)n?1 趋势不定

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例1. 已知

证明数列 的极限为1.

证:

xn ?1 ?

n ? (?1)n ?1 n

?? ? 0 , 欲使



只要

n

?

1
?

因此 ,



N

?[1 ],
?

则当 n ? N

时, 就有

n ? (?1)n ?1 ? ?
n



lim
n??

xn

?

lim n
n??

?

(?1)n n

?1

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例2. 已知

证明

证: xn ? 0 ?

?

(n

1 ? 1) 2

?1 n ?1

?? ?(0,1), 欲使

只要

1 ?? ,
n ?1

即 n?

1 ?1.
?



N ? [ 1 ?1] ,
?

则当 n ? N 时, 就有

xn ? 0 ? ? ,



lim
n??

xn

?

lim
n??

(?1)n (n ?1)2

?

0

也可由

xn ? 0

?

1 (n?1)2

说明: N 与 ? 有关, 但不唯一. 取

N ??

1
?

?1

?

不一定取最小的 故N 也. 可取

N

?

[

1
?

]

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例3. 设 q ? 1, 证明等比数列
的极限为 0 .

证: xn ? 0

欲使

只要



亦即 n ? 1? ln? .
ln q

因此

,



N

?

? ??

1?

ln ?
ln q

? ??

, 则当 n > N

时,

就有

qn?1 ? 0 ? ?



lim qn?1 ? 0

n??

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二、收敛数列的性质

1. 收敛数列的极限唯一.

证: 用反证法. 假设



且 a ? b.





lim
n??

xn

?

a,

故存在

N1

,

使当

n

>

N1

时,

从而

xn

?

a?b 2

同理, 因

lim
n??

xn

?

b,

故存在 N2 ,

使当 n > N2 时, 有

从而

xn

?

a?b 2

矛盾取. 故?Nb假?2?a设m?a不xxn?真?Nba1!?, 因Nbb?2?22此aa?,收则敛当数n列3a>a?22的?bNb?极?时x限nx, n?x必?n3满唯ba2??2a足一b 的. 不等式

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例4. 证明数列

是发散的.

证: 用反证法.

假设数列 ? xn? 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .

取?

?

1 2

,

则存在

N

,

使当 n > N

时,有

a

?

1 2

?

xn

?

a

?

1 2

但因 xn 交替取值 1 与-1 , 而此二数不可能同时落在

长度为

1

的开区间 (

a

?

1 2

,

a

?

1 2

)

内,

因此该数列发散

.

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2. 收敛数列一定有界.

证: 设

取 ? ? 1 , 则 ? N , 当 n ? N 时, 有

xn ? a ? 1, 从而有

? xn ? a ? a ?1? a



? ? M ? max x1 , x2 , ? , xN , 1? a

则有

xn ? M ( n ?1, 2 , ?) .

由此证明收敛数列必有界.

说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
? ? 数列 (?1)n?1 虽有界但不收敛 .

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3. 收敛数列的保号性.





时, 有

(? 0).

证: 对 a > 0 , 取

(? 0),

推论: 若数列从某项起

(? 0)

(? 0). (用反证法证明)

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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .

证: 设数列

是数列 的任一子数列 .



则 ?? ? 0, ?N , 当

时, 有

现取正整数 K , 使

于是当 k ? K 时, 有

nk ? ? N

xN
*********************

N

从而有

xnk ?a

? ? , 由此证明

lim
k ??

x

n

k

?a.

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说明:

由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极

限 , 则原数列一定发散 .

例如,

发散 !

lim
k ??

x

2k

?

?1

三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .

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1. 夹逼准则 (准则1) (P49)

(1) yn ? xn ? zn ( n ? 1, 2, ?)

(2)

lim
n??

yn

?

lim
n??

zn

?

a

证: 由条件 (2) , ?? ? 0, ? N1, N2 ,



时,

lim
n??

xn

?

a



时,

令 N ? max? N1 , N2?, 则当 n ? N 时, 有

由条件 (1) a ?? ? yn ? xn ? zn ? a ? ?



xn ? a

?? ,



lim
n??

xn

?

a

.

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例5. 证明

证: 利用夹逼准则 . 由

n

?? ?

n

2

1 ?

?

?

n2

1
? 2?

???

n2

1
? n?

?? ?

?

n2
n2 ??



lim
n??

n2 n2 ?

?

?

lim
n??

1

1

?

?
n2

?1

?

lim n
n??

?? ?

n2

1 ?

?

?

n2

1
? 2?

???

n2

1
? n?

?? ?

?1

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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )
lim xn ? a ( ? M )
n??
a
lim xn ? b ( ? m )
n??
b
( 证明略 )
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例6. 设

证明数列

极限存在 . (P52~P54)

证: 利用二项式公式 , 有

xn

?

(1?

1 n

)n

?1?

n 1!

1 n

?

n(n?1) 2!

1 n2

?

n(n?1)(n?2) 3!

1 n3

??

?

n(n?1)?(n?n?1) n!

1 nn

?1?1?

21!(1? 1n)

?

1 3!

(1

?

1 n

)

(1

?

2 n

)

??

?

n1!(1

?

1n)

(1 ?

2 n

)

?(1 ?

nn?1)

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xn

?1?1?

1 2!

(1

?

1 n

)

?

31!(1

?

1n )

(1 ?

2 n

)

??

?

1 n!

(1

?

1n)

(1

?

2 n

)

?(1

?

nn?1)

xn?1

?1?1?

21! (1 ?

n1?1)

?

1 3!

(1

?

n1?1)(1 ?

n2?1)

??





? (n?11)!(1? n1?1)(1? n2?1)?(1? nn?1)


比较可知 xn ? xn?1 ( n ? 1, 2, ?)

又 xn ? (1? 1n)n ? 1?1?

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xn

?

(1 ?

1 n

)n

?1?1?

?1?1?

?

3

?

1 2n?1

?3

根据准则 2 可知数列? xn? 有极限 .

记此极限为 e , 即

lim (1?
n??

1 n

)n

?

e

e 为无理数 , 其值为

e ? 2.718281828459045?

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*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)

数列 极限存在的充要条件是:

?? ? 0, 存在正整数 N , 使当 m ? N , n ? N 时,



xn ? xm ? ?

证:

“必要性”设.

lim
n??

xn

? a,则

使当

时, 有

xn ? a ? ? 2 , xm ? a ? ? 2

因此

xn ? xm ?

? xn ? a ? xm ? a ? ?
“充分性” 证明从略 .

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思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2. 已知 x1 ? 1 , xn?1 ? 1? 2xn (n ? 1, 2,?), 求 lim xn
n??
时, 下述作法是否正确? 说明理由.

设 lim
n??

xn

?

a

,

由递推式两边取极限得

a ?1? 2a

a ? ?1

不对!

此处

lim
n??

xn

?

?

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内容小结
1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应
用2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则
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作业 P30 3 (2) , (3) ; 6 P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示:

可用数学归纳法证

第三节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题

1.设

xn?1

?

1 2

( xn

?

a xn

)

( n ?1, 2, ?) , 且

x1 ? 0,

a?0,



lim
n??

xn

.

利用极限存在准则

解: ? xn?1

?

1 2

(xn

?

a) xn

?

xn

?

a xn

?

a

xn?1 xn

? 1 (1? 2

a xn 2

)

? 1 (1? 2

a) a

?1

∴数列单调递减有下界,故极限存在,设

lim
n??

xn

?

A

则由递推公式有 A ? 1 ( A ? a )

A?? a

2A

?

x1 ? 0,

?

xn

? 0, 故

lim
n??

xn

?

a

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2. 设

证明下述数列有极限 .

证: 显然 xn ? xn?1 , 即 (1? ) ?1

单调增, 又

?

(1 ?

1 a1 )?(1 ?

ak )

? ??

存在

“拆项相消” 法

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