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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3几何概型

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3几何概型

§ 3.3

随机数的含义与应用
3.3.1 几何概型

一、基础过关 1.在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数 a,则这个实数满足 17<a<20 的概率是 ( ) 1 1 A. B. 3 2 3 5 C. D. 10 10 2.在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G,用 AG 为半径作圆,则圆的面积介于 36π 平方厘米到 64π 平方厘米的概率是 ( ) 9 16 A. B. 25 25 3 1 C. D. 10 5 3.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 45 秒,那么你看到黄灯的概率是 ( ) 1 3 A. B. 12 8 1 5 C. D. 16 6 4.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点, 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) π π A. B.1- 4 4 π π C. D.1- 8 8 5.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与 正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全; 若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方 体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是________. 6.有一个圆面,圆面内有一个内接正三角形,若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖落 在三角形内的概率为________. V 7. 在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P, 求三棱锥 S-APC 的体积大于 3 的概率.

8.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现 30 min 长的磁带上,从开始 30 s 处起,有 10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的一部分被某 工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起往后的所有内容都 被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?

二、能力过关 9.在区间[-1,1]上任取两数 x 和 y,组成有序实数对(x,y),记事件 A 为“x2+y2<1”, 则 P(A)为 ( ) π π A. B. 4 2 C.π D.2π 10.有四个游戏盘,如下图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望 中奖机会大,他应当选择的游戏盘为 ( )

11.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个 小于 1 的概率是________. 12.甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟, 过时即可离去.求两人能会面的概率.

三、探究与拓展 13.设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率. (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率.

3.3.1

几何概型

1.C 2.D 3.C 4.B [当以 O 为圆心,1 为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点 O 的 距离小于或等于 1, S长方形-S半圆 π 故所求事件的概率为 P(A)= =1- .] 4 S长方形 1 5. 27 3 3 6. 4π 1 解析 设圆面半径为 R, 如图所示, △ABC 的面积 S△ABC=3· △AOC=3·AC· S OD=3· OD CD· 2 2 3 3R =3· Rsin 60°Rcos 60° · = , 4 S△ABC 3 3R2 3 3 ∴P= = = . πR2 4πR2 4π

7.解

V 要使 VS-APC> , 3 1 需有 S△APC> S△ABC, 3 2 ∴P 需满足 PB< AB, 3 2 2 V AB 3 3 V 2 2 ∴三棱锥 S-APC 的体积大于 的概率 P= = (或 P= = ). 3 V 3 AB 3 8.解 包含两个间谍犯罪信息的录音部分在 30 s 到 40 s 之间,当按错键的时刻在这段 时间之内时,部分被擦掉,当按错键的时刻在 0 s 到 30 s 之间,全部被擦掉,即在 0 s 到 40 s 2 之间,也就是 0 min 到 min 之间的时间按错键时,含有犯错内容的谈话部分或全部被擦掉. 3 2 记 A={按错键使含有犯罪内容的谈话部分或全部被擦掉}, 发生在 0 min 到 min 时间 A 3 段内按错键.

2 3 1 所以 P(A)= = . 30 45 9.A [

如图,集合 S={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则 S 中每个元素与随机事件的结果一 一对应,而事件 A 所对应的事件(x,y)与圆面 x2+y2<1 内的点一一对应, π ∴P(A)= .] 4 4-π×12 4-π 3 2 1 10. [选项 A 中 P1= , 中 P2= = , 中设正方形边长为 2, P3= A B C 则 = , 8 6 3 4 4 1 ×2×1 2 1 D 中设圆直径为 2,则 P4= = .在 P1,P2,P3,P4 中,P1 最大.] π π 11.

3π 6 解析 以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形, 当 P 落在阴影部分内时符合要求. 1 π 3×? × ×12? 2 3 3π ∴P= = . 6 3 ×22 4 12.解 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充 要条件是|x-y|≤15.在如图所示的平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为 60 的 正方形区域,而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的 概率公式得: 2 2 SA 60 -45 3 600-2 025 7 P(A)= = = = . 2 S 60 3 600 16

7 所以,两人能会面的概率是 . 16 13.解 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”.当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax 2 +b =0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2).其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本

9 3 事件,事件 A 发生的概率为 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件 A 的区域为{(a, 1 3×2- ×22 2 2 b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为 P(A)= = . 3 3×2


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