9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第6节 几何概型

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第6节 几何概型


第三节 第六节

几何概型(文) 几何概型(理)

[主干知识梳理] 一、几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 ( 面积 或 体积 )成比例,则称这样的概率模型为几何概率

模型,简称为 几何概型 .

二、几何概型的概率公式 在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下: 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)设 A(0,0),B(4,0),在线段 AB 上任投一点 P, 则|PA|<1 的概率为 ( 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 5 )

1 C [满足|PA|<1 的区间长度为 1,故所求其概率为 .] 4

2.(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在 上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,

小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是
( )

3 2 2 1 A [中奖的概率依次为 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= .] 8 8 6 3

3.分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆, 重叠部分如图中 阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影 区域的概率为 ( )

4-π A. 2 4-π C. 4

π -2 B. 2 π -2 D. 4

B [设正方形边长为 2, 阴影区域的面积的一半等于半径为 1 的圆减去圆内接正方形的面 积, 即为π-2,则阴影区域的面积为 2π-4, 2π-4 所以所求概率为 P= 4 π-2 = .] 2

4.有一杯2升的水,其中含一个细菌,用一个小杯从水中取 0.1升水,则此小杯中含有这个细菌的概率是________.

解析 试验的全部结果构成的区域体积为2升,
所求事件的区域体积为0.1升,故P=0.05. 答案 0.05

5.如图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 30° 角的终边上, 任作一条射线 OA, 则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为________. 解析 如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的, 60 1 则 OA 落在∠yOT 内的概率为 = . 360 6 1 答案 6

[关键要点点拨]

1.几何概型的特点:
几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结 果不是有限个,它的特点是试验结果在一个区域内均匀 分布,故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形 状位置无关,只与该区域的大小有关.

2.几何概型中,线段的端点、图形的边界是否包含在事件
之内不影响所求结果.

与长度、角度有关的几何概型 [典题导入] 已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为________; (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________.

[听课记录]

25 (1)根据点到直线的距离公式得 d= =5; 5

|c| (2)设直线 4x+3y=c 到圆心的距离为 3,则 =3,取 c=15,则 5 直线 4x+3y=15 把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值 即是所求的概率,由于圆半径是 2 3,则可得直线 4x+3y=15 截 1 得的圆弧所对的圆心角为 60° ,故所求的概率是 . 6 答案 (1)5 1 (2) 6

[互动探究] 本例条件变为: “已知圆 C:x2+y2=12,设 M 为此圆周上一定点, 在圆周上等可能地任取一点 N, 连接 MN.” 求弦 MN 的长超过 2 6 的概率. 解析 如图,在图上过圆心 O 作 OM⊥直径 CD. 则 MD=MC=2 6. 当 N 点不在半圆弧 CMD 上时, MN>2 6. π×2 3 1 所以 P(A)= = . 2π×2 3 2

[规律方法] 求与长度 (角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表 示的几何模型转化为长度 ( 角度) ,然后求解.确定点的边界 位臵是解题的关键.

[跟踪训练]
1 . (1)(2014· 福建四校联考 ) 已知 A 是圆上固定的一点,在圆 上其他位置上任取一点 A′,则AA′ 的长度小于半径的概率 为________. (2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在BC边 上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为________.

解析

(1)如图, 满足 AA′的长度小于半径的点 A′位于劣弧

上,

其中△ABO 和△ACO 为等边三角形, 2π 可知∠BOC= , 3 2π 3 1 故所求事件的概率 P= = . 2π 3

(2)如图,在 Rt△ABC 中, 作 AD⊥BC,D 为垂足, 1 由题意可得 BD= ,且点 M 在 BD 上时, 2 满足∠AMB≥90°, 1 BD 2 1 故所求概率 P= = = . BC 2 4 答案 1 1 (1) (2) 3 4

与面积有关的几何概型 [典题导入]
(1)(2012· 湖北高考)如图,在圆 心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,O B 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机 取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )

2 A.1- π 2 C. π

1 1 B. - 2 π 1 D. π

[听课记录] 解法一:设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于 点 C,OA 的中点为 D,如图,连接 OC,DC.不妨令 OA=OB=2, 则 OD=DA=DC=1.在以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1
?π 1 ? π 1 ? = + ×1×1-? - ×1×1? ?=1, 4 2 4 2 ? ?

1 所以整体图形中空白部分面积 S2=2.又因为 S 扇形 OAB= ×π 4 ×22=π,所以阴影部分面积为 S3=π-2. π-2 2 所以 P= =1- . π π

解法二: 连接 AB, 设分别以 OA, OB 为直径的两个半圆交于点 C, 令 OA=2. 由题意知 C∈AB 且 S 弓形 AC=S 弓形 B C=S 弓形 O C, 1 所以 S 空白=S△OAB= ×2×2=2. 2 1 又因为 S 扇形 OAB= ×π×22=π,所以 S 阴影=π-2. 4 π-2 2 所以 P= = =1- . S扇形OAB π π 答案 A S阴影

(2)(2013· 四川高考 ) 节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩 灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内 任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮.那么这 两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的 概率是 ( 1 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 7 D. 8 )

[ 听课记录 ]

设两串彩灯第一次闪亮的时刻

分别为 x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4; 而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪 亮相差不超过 2 秒”={(x,y)||x-y|≤2}, S阴影 16-4 3 由图示得,该事件概率 P= = = . 16 4 S正方形 答案 C

[规律方法] 求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构

成事件的全部结果形成的平面图形,然后再利用面积的比值
来计算事件发生的概率.这类问题常与线性规划、定积分知 识联系在一起.

[跟踪训练] 2.(理)(2014· 石家庄质检)如图,已知函数 y=sin x,x∈[-π ,π ] 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分),若随机向圆 O:x2 +y2=π 2 内投入一米粒,则该米粒落在区域 M 内的概率是 ( 4 A. 2 π 2 C. 2 π 4 B. 3 π 2 D. 3 π )

π π B [由题意得阴影部分面积 S1=2∫0 sin xdx=2[(-cos x)|0 ]=2×

2=4, 圆 x2+y2=π2 面积为 S=π3,

4 则所求事件的概率 P= 3.] π

?x-y≥0, ? (文)已知不等式组?x+y≥0, 表示平面区域 M,若点 P(x,y) ?x≤a(a>0) ? 在所给的平面区域 M 内, 则点 P 落在 M 的内切圆内的概率为( 2-1 A. π 4 C.(2 2-2)π B.(3-2 2)π 2-1 D. π 2 )

B [由题知平面区域 M 为一个三角形, 且其面积为 S=a2.设 M 的 内切圆的半径为 r,

1 则 (2a+2 2a)r=a2, 2 解得 r=( 2-1)a. 所以内切圆的面积 S 内切圆=πr2=π[( 2-1)· a]2 =(3-2 2)πa2. S内切圆 故所求概率 P= =(3-2 2)π.] S

与体积有关的几何概型 [典题导入]

(1)(2014· 烟台模拟)在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内随 机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( π A. 12 π C. 6 π B.1- 12 π D.1- 6 )

[听课记录] 点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球的外部.记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A, 1 4π 3 2- × × 1 2 3 π 则 P(A)= =1- . 23 12
3

答案 B

(2)一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行. 若蜜 蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的 6 个表面的距离均 大于 10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到 每一个位置的可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率为( 1 A. 8 1 C. 27 1 B. 16 3 D. 8 )

[听课记录] 由题意,可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞 行时才是安全的,所以由几何概型的概率计算公式,知蜜蜂飞行 103 1 是安全的概率为 3= . 30 27 答案 C

[规律方法]
与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的,只 是将题中的几何概型转化为立体模式,至此,我们可以总结 如下: 对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式,关键在于能 否将问题几何化;也可根据实际问题的具体情况,选取合适 的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一个

结果一一对应于该坐标系中的一个点,使得全体结果构成一
个可度量区域.

[跟踪训练] 3.(1)(2014· 黑龙江五校联考)在体积为 V 的三棱锥 S—ABC 的棱 V AB 上任取一点 P,则三棱锥 S—APC 的体积大于 的概率是 3 ________.

解析

如 图 , 三 棱 锥 S—ABC 的 高 与 三 棱 锥

S—APC 的高相同.作 PM⊥AC 于 M,BN⊥AC 于 N,则 PM、BN 分别为△APC 与△ABC 的高,所 VS—APC S△APC PM PM AP AP 1 以 = = ,又 = ,所以 > 时,满足条件. VS—ABC S△ABC BN BN AB AB 3 AD 1 BD 2 设 = ,则 P 在 BD 上,所求的概率 P= = . AB 3 BA 3 2 答案 3

(2)(2014·广州模拟)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱, 点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,

则点P到点O的距离大于1的概率为________.

解析 先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率,圆柱的体积 V 圆柱=π×12×2=2π, 以 O 为球心, 1 为半径且在圆柱内部的半 1 4 2 3 球的体积 V 半球= × π×1 = π. 2 3 3 2 π 3 1 则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 = , 2π 3 1 2 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1- = . 3 3 2 答案 3

【创新探究】 转化与化归思想在几何概型中的应用 (2012· 辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩 形面积大于 20 cm2 的概率为 ( 1 A. 6 2 C. 3 1 B. 3 4 D. 5 )

【思路导析】 根据题意求出矩形面积为 20 cm2 时的各边长,再 求概率. 【解析】 设 AC=x,则 BC=12-x,所以 x(12-x)=20,解得 x 12-2-2 2 =2 或 x=10.故 P= = . 12 3 【答案】 C

【高手支招】

本题主要考查通过结合题意,将所求事件的

概率转化与化归为长度型的几何概型问题.解决本题时,关

键是找出矩形面积恰好为20 cm2时的分界点,进而转化为长
度之比.解决几何概型问题时,还有以下几点容易造成失分, 在备考时要高度关注: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误; (2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;

(3)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性
导致错误.

[体验高考] 1.(2013· 陕西高考 ) 如图,在矩形区域 ABCD 的 A , C两点处

各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形
区域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则 该地点无信号的概率是 ( )

π A.1- 4 π C.2- 2 A

π B. -1 2 π D. 4

1 [ 由题意知,两个四分之一圆补成半圆其面积为 × π×12= 2

π ,矩形面积为 2, 2 π 2- π 2 则所求概率为 =1- .] 2 4

2.(2013·湖南高考)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取 1 AD 一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 ,则 = 2 AB ( 1 A. 2 3 C. 2 1 B. 4 7 D. 4 )

1 D [如图,设 AB=2x,AD=2y.由于 AB 为最大边的概率是 ,则 2 1 P 在 EF 上运动满足条件, 且 DE=CF= x, 即 AB=EB 或 AB=FA. 2 ∴2x= (2y)
2

?3 ? ?2 x +? ?2 ? ,即 ? ?

9 2 4x =4y + x , 4
2 2

2 7 2 y 7 y 7 2 即 x =4y ,∴ 2= ,∴ = . 4 x 16 x 4

AD 2y y 7 又∵ = = = ,故选 D.] AB 2x x 4

3. (理)(2013· 福建高考)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a, 则事件“3a-1>0”发生的概率为________. 1 解析 因为 0≤a≤1,由 3a-1>0 得 <a≤1,由几何概型的 3 1 1- 3 2 概率公式得,事件“3a-1>0”发生的概率为 = . 1 3 2 答案 3

3. (文)(2013· 福建高考)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a, 则事件“3a-1<0”发生的概率为________. 1 1 解析 由 3a-1<0,得 a< .∵0≤a≤1,∴0≤a< . 3 3 1 3 1 根据几何概型知所求概率为 = . 1 3 1 答案 3

课时作业


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com