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高三数学-【数学】浙江省嵊州二中2018届高三2018月月考试题(文) 精品

高三数学-【数学】浙江省嵊州二中2018届高三2018月月考试题(文) 精品

嵊州二中 2018 届高三 12 月月考试题

文科数学

注意:本试卷考试时间 120 分钟,满分 150 分,考试中不能使用计算器.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题意要求的.

1. 关于 z 的方程 z ? i ? 2 ? iz 的根是( )

(A) 3 ? 1 i 22

(B) 3 ? 1 i 22

(C) 3 ? i

(D) 3 ? i

2. 已知 a, b 为实数,则“ 2a ? 2b ”是“ ln a ? ln b ”的( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分与不必要条件

开始

3. 函数 y ? 2cos x?sin x ?cos x? 的最大值为 ( )

S=0,T=0,n=0

(A) 2

(B) 2 ?1

(C) 2

(D) 2 ?1

4. 执行右边的程序框图,输出的 T 的值是( )

(A)12

(B)20 (C)30

(D)42

5. 直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 9 的位置关系是

(A)相离

(B)相交

(C)相切

(D)不确定

T>S 否
S=S+5
n=n+2
T=T+n


输出 T 结束

? ? 6. 已知 S n 是等差数列 an 的前 n 项和,且 S11 ? 35 ? S6 ,则S17 的值为

()

(A)117

(B)118

(C)119

(D)120

7.

函数

f

(x)

?

?? x

? ?a

x

?

3a (x (x ?

? 0) (a
0)

?

0且a

?

1)



R

上的减函数,则

a

的取值范围是

()

(A) (0,1)

(B) (0, 1] 3

(C) (1 ,1) 3

(D)[1 ,1) 3

8. 过 O 的直径的三等分点 A, B 作与直径垂直的直线分别与圆周交 E, F, M , N ,如果以

A, B 为焦点的双曲线恰好过 E, F, M , N ,则该双曲线的离心率是( )

(A) 2 ? 3

(B)1? 6

(C) 6 ?1

(D) 5 ?1

P

2

9. 如图,正三棱锥 P ? ABC 中, ?BPC ? 400 , PB ? 2,一质点自点 B 出

E

F

A

C

B 第 9题 图

发,沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点 B 的最短路线的长为

(A)2

(B)3

(C) 2 3

(D) 3 3

()

?x ? 0

10.

如果实数

x,

y

满足

? ?

y

?0

,对任意的正数 a, b ,不等式 ax ? by ? 1恒成立,则 a ? b

??2x ? y ? 2

的取值范围是( )

(A)

? ??

0,

3 2

? ??

(B) ?0, 4?

(C)

? ??

3 2

,

??

? ??

(D) ?0, 2?

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卡相应位置.
11. 已知右图的三视图中正方形的边长为 a ,则该几何体的体积是

12. 已知 xi ??0,? ? , i ? 1, 2,3, , n ,则有

① sin x1 ? sin x1



sin

x1

?

sin

x2

?

2 sin

x1

? 2

x2



sin

x1

?

sin

x2

?

sin

x3

?

3sin

x1

?

x2 3

?

x3



sin

x1

?

sin

x2

?

sin

x3

?

sin

x4

?

4 sin

x1

?

x2

? 4

x3

?

x4

由上述结论类比,猜想得到一般的结论

是:



正视图 俯视图

13.已知函数 f ? x? 满足 f ? x ?1? ? f ? x ?1? ,当 x???1,1? 时, f ? x? ? x2 ,则函数

侧视图

g ? x? ? f ? x? ? log6(x ?1) 的零点的个数是



14. 某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权取得费为 2000

元/ m2 ;材料工程费在建造第一层时为 400 元/ m2 ;以后每增加一层费用增加 40 元/ m2 ;

要使平均每平方米建筑面积的成本费最低,则应把楼盘的楼房设计成

层.

15. 从集合 M ? ?1, 2,3, 4,5,6?中,抽取三个不同元素构成子集?a1, a2, a3? ,则 a1, a2, a3 成

等差数列的概率



? ? 16. 已知边长为 2 的正方形 ABCD的对角线 BD 上任意取一点 P ,则 BP PA? PC 的

取值范围是

17. 已知棱长为 a 的实心正四面体模型的一条棱 AB 在桌面? 内,设点 P 是模型表面上任意

一点,记 P 到桌面? 的距离的最大值为 h ,则 h 的取值范围是



嵊州二中 2018 届高三 12 月月考数学答题卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题意要求的.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卡相应位置.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,定义向量

? ? m ?

2sin B, ?

3



n

?

? ??

cos

2

B,

2

cos

2

B 2

?1??? 且 m

/

/n



(Ⅰ)求函数 f ? x? ? sin 2x cos B ? cos 2xsin B 的单调递增区间;
(Ⅱ)如果 b ? 2,求 ?ABC 的面积的最大值.

? 19. (本小题满分 14 分)已知数列 an} 满足:an ? an?1 ? 2an?2 ,且 a1 ? 1, a2 ? 2 ,n ? N* . ? ? (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an ,证明:数列 bn 是等比数列; (Ⅱ)求?an} 的通项公式.

20. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 与 ?DBC 都是边长为 2 3 的等边三角形,且平面 3

ABC ? 平面 DBC ,过点 A 作 PA ?平面 ABC ,且 AP ? 2 .

(Ⅰ)求证: PA / / 平面 DBC ;

(Ⅱ)求直线 PD 与平面 ABC 所成角的大小.

P

D

C B
A

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f (x) ? a x3 ? b x2 ? a2x (a ? 0,b? R) . 32
(Ⅰ)当 a ?1时,判断函数 f ? x? 在 R 上的单调性,并证明你的结论;

(Ⅱ)若 x1 , x2 是函数 f ? x? 的两个不同的极值点,且 | x1 ? x2 |?
的取值范围.

2 a

?1

,求实数

a, b

22. ( 本 小 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 已 知 圆 G : x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经 过 椭 圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上顶点 B.过椭圆外一点 M ?m,0??m ? a?倾斜

角为 5 ? 的直线 l 交椭圆于 C、D 两点. 6
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(II)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

y

BD C

o

F

Mx

嵊州二中 2018 届高三 12 月月考数学(文)评分参考:

一.选择题

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 B

B

D

C

B

C

D

A

C

A

二.填空题

11.

7 ? a3

24

12.

sin x1 ? sin x2 ?

? sin

xn

?

n sin

x1

?

x2

? n

? xn

13. 6

14.

10

3
15.
10

16.

????4,

1 2

? ??

17.

?
? ?

2 a, 2

3 2

? a?
?

三.解答题

18.

解:(Ⅰ)?

? m

//

? n

? 2sin B(2 cos2 B ?1) ? ?

3 cos2B

2

?sin 2B ? ? 3 cos 2B 即 t a n2B ? ? 3

又? B 为锐角 ?2B ? ?0,? ?

?2B ? 2? ? B ? ?

3

3

f

?

x?

?

sin

2x

cos

B

?

cos

2x sin

B

?

sin

? ??

2

x

?

? 3

? ??

2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ?

2

3

2

∴函数的单调递增区间是

???k?

?

? 12

, k?

?

5? 12

? ??



7分

(Ⅱ)? B ? ? ,b ? 2,由余弦定理 cos B ? a2 ? c2 ? b2 得

3

2ac

a2 ? c2 ? ac ? 4 ? 0

又? a2 ? c2 ? 2ac 代入上式得: ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.)

S ?ABC

?

1 acs 2

i nB

?

3 ac ? 4

3 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.)

14 分

? ? 19.

(Ⅰ)

an

?

an?1

?

2an?2

,即

2an?2

?

2an?1

?

an

?

an?1

?

an?2

?

an?1

?

?

1 2

an?1 ? an

列.7 分

? ? 即 bn?1

?

?

1 2

bn

, b1

?

a2

?

a1

? 1 ,数列

bn

是首项为 1,公比为 ? 1 的等比数 2

(Ⅱ)根据(Ⅰ)知, bn

?

? ??

?

1 2

n?1
? ??



an

?

an?1

?

? ??

?

1 2

n?2
? ??

an?1

? an?2

?

? ??

?

1 2

?n?3 ??

…………………

a3

?

a2

?

? ??

?

1 2

? ??

a2

?

a1

?

? ??

?

1 2

0
? ??

把上面 n ?1个式子相加得:

an

?

a1

?

? ??

?

1 2

n?2
? ??

?

? ??

?

1 2

n?3
? ??

?

?

? ??

?

1 2

? ??

?

1

?

1

?

? ??

?

1?

1 ?n?1 2 ?? 1

2

即 14 分

an

?

5 3

?

2 3

? ??

?

1 2

?n?1 ??

20. (Ⅰ)取 BC 的中点 O ,连接 DO ,则 DO ? BC 又∵平面 DBC ? 平面 ABC ,∴ DO ? 平面 ABC .

而 AP ?平面 ABC ,∴ DO / /PA ,又∵ DO 在平面 DBC 内,∴ PA / / 平面 DBC . 6



(Ⅱ)∵ D 在平面 ABC 的射影是 O , P 在平面 ABC 的射影是 A ,

∴ DP 在平面 ABC 的射影是 OA ,即直线 PD 与平面 ABC 所成角就是直线 PD 与直线 OA

所成的角,

9分

过 D 作 DM / /OA交 PA 于 M ,由(Ⅰ)可知 DO / /PA ,

∴ DM ? OA ?1, DO ? MA ? 1? PM ? 1

∴ cos ?PDM ? DM ? 2 PD 2

即 ?PDM ? 450

14 分

21. (Ⅰ)当 a ?1时, f (x) ? 1 x3 ? b x2 ? x ,则 f '(x) ? x2 ? bx ?1
32

而方程 x2 ? bx ?1 ? 0 的判别式 ? ? b2 ? 4 ? 0 恒成立,所以 f '(x) ? x2 ? bx ?1 ? 0 恒

成立,即函数 f ? x? 在 R 上的单调递增.

5分

(II)∵ f (x) ? a x3 ? b x2 ? a2x ,∴ f '(x) ? ax2 ? bx ? a2 . 32
x1 , x2 是函数 f ? x? 的两个不同的极值点,则 x1 , x2 是方程 ax2 ? bx ? a2 ? 0 的两个不同的实
数根,

? ? 即

x1

?

x2

?

?

b a

,

x1x2

?

?a

,且

?

?

b2

?

4a

?a2

? b2 ? 4a3 ? 0



| x1 ? x2 |?

2 ?1?0 ? a ? 2?
a





| x1 ? x

|2

?

2 a

?1

?

?

x2

?

x

?2 ? 4x x

? 2 ?1 a

1

2



? ??

?

b a

?2 ??

?

4a

?

2 a

?1 ,即 b2

?

4a3

?

2a

?

a2

,则

???4a3 ? a2

? ?? 2a

? a2

?

? 0

2a

?

0



?4a2 ?

?

a

?

2

?

0

?

0

?

a

?

?0 ? a ? 2

33 ?1 8

10 分

又 b2

?

g

?a?

?

?4a3

?

a2

?

? 2a ??? 0

?

a

?

33 ?1? 8 ???

g '?a? ? ?12a2 ? 2a ? 2 ? 0 ? a ? 1 , a ? ? 1 (舍)

3

2

当 0 ? a ? 1 时, g '?a? ? 0 ,函数 g ?a?是增函数;
3

当 1 ? a ? 33 ?1 时, g '?a? ? 0 ,函数 g ?a?是减函数;

3

8



a

?

1 3

时,函数

g

?a?

取到最大值

g

? ??

1 3

? ??

?

11 27

所以

0

?

b2

?

11 27

?

b

?

? ?? ?

33 9

,

0

? ???

? ??? 0,

33 9

?
? ?



22. 解:(Ⅰ)∵圆 G: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B

∴F(2,0),B(0, 2 ),

∴c ? 2,b ? 2 ∴a2 ? 6

故椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 62

(II)设直线 l 的方程为 y ? ? 3 (x ? m)(m ? 6) 3

?x2 y2



?? ?

6

?

2

?1

消去 y 得 2x2 ? 2mx ? (m2 ? 6) ? 0

? ??

y

?

?

3 (x ? m) 3

由△= 4m2 ? 8(m2 ? 6) ? 0 ,解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .

又m ? 6, 6 ? m? 2 3

设 C(x1, y1 ) , D(x2 , y2 ) ,

则 x1

?

x2

?

m

, x1 x2

?

m2 ? 2

6



15 分 5分 8分

∴ y1 y2

? [?

3 3 (x1 ? m)] ?[?

3

1

m

m2

3 (x2 ? m)] ? 3 x1x2 ? 3 (x1 ? x2 ) ? 3

.

∵ FC ? (x1 ? 2, y1) , FD ? (x2 ? 2, y2 ) ,

∴ FC ? FD = (x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2

?

4 3

x1 x2

?

(m

? 3

6)

(

x1

x2

)

?

m2 3

? 4=

2m(m ? 3) 3

分 ∵点 F 在圆 G 的外部,
∴ FC ? FD ? 0 ,即 2m(m ? 3) ? 0 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 3

又 6 ? m ? 2 3 ,∴ 3 ? m ? 2 3

12 15 分

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