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精选2017_2018学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例优化练习新人教A版选修

精选2017_2018学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例优化练习新人教A版选修

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二 用数学归纳法证明不等式举例
[课时作业] [A 组 基础巩固] 1 1 1 1.用数学归纳法证明 1+ + +…+ <n(n∈N+,且 n>1)时,第一步即证下述哪个不等 2 3 2n-1 式成立( A.1<2 1 1 C.1+ + <2 2 3 解析:∵n∈N+,且 n>1, 1 1 ∴第一步 n=2,左边=1+ + ,右边=2, 2 3 1 1 即 1+ + <2,应选 C. 2 3 答案:C 1 1 1 127 2.用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n-1> 成立时,起始值 n0 至少应取( 2 4 2 64 A.7 C.9 1 1 1 1 1 127 解析:1+ + + + +…+ = , 2 4 8 16 64 64 B.8 D.10 ) ) 1 B.1+ <2 2 1 D.1+ <2 3

n-1=6,n=7,故 n0=8.
答案:B 3.用数学归纳法证明 “Sn= 1 A. 2 1 1 C. + 2 3 解析:因为 S1 的首项为 答案:D 4.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,有 f(k)满足:当“f(k)≥k 成立时,总可推出 f(k +1)≥(k+1) 成立”.那么下列命题总成立的是(
2 2 2

1 1 1 1 + + +…+ >1(n∈N+)”时,S1 等于( n+1 n+2 n+3 3n+1 1 B. 4 1 1 1 D. + + 2 3 4

)

1 1 1 1 1 1 1 = ,末项为 = ,所以 S1= + + ,故选 D. 1+1 2 3×1+1 4 1+1 1+2 1+3

)

A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k<5 时,均有 f(k)≥k 成立 推荐精品 K12 资料
2

推荐精品 K12 资料 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k 成立 解析:由题意设 f(x)满足:“当 f(k)≥k 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1) 成立”.因 此,对于 A,k=1,2 时不一定成立.对于 B,C 显然错误.对于 D,因为 f(4)=25>4 ,因此 对于任意的 k≥4,均有 f(k)≥k 成立. 答案:D 5.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时, 命题也成立.现已知当 n=5 时该命题不成立,那么可推得( A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 解析:与“如果当 n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时命题也成立”等价的 命题为“如果当 n=k+1 时命题不成立,则当 n=k(k∈N+)时,命题也不成立”.故知当 n =5 时,该命题不成立,可推得当 n=4 时该命题不成立,故选 C. 答案:C 1 3 1 1 5 1 1 1 7 6.观察下列式子:1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,…,可归纳出一般性结论: 2 2 2 3 3 2 3 4 4 ________. 1 1 1 解析:由题意得 1+ 2+ 2+…+ 2 3 n+ 1 1 1 答案:1+ 2+ 2+…+ 2 3 n+
2 2 2 2 2 2 2 2

)

<

2n+1 (n∈N+). n+1

<

2n+1 (n∈N+) n+1

2n+1 2n-1 sin α ·cos α 2 2 1 7. 用数学归纳法证明 +cos α +cos 3α +…+cos(2n-1)α = (k 2 sin α ∈N+,a≠kπ ,n∈N+),在验证 n=1 时,左边计算所得的项是________. 1 答案: +cos α 2 8.用数学归纳法证明:2
2 2

n+1

≥n +n+2(n∈N+)时,第一步应验证________.

2

答案:n=1 时,2 ≥1 +1+2,即 4=4 9.证明不等式:1+ 1 1 1 + +…+ <2 n(n∈N+ 2 3 n ).

证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=2,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1)时,命题成立,即

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推荐精品 K12 资料 1+ 1 2 + 1 1 +…+ <2 k(k∈N+). 3 k 1 2 + 1 1 1 1 2 k +…+ + <2 k+ = 3 k k+1 k+1

当 n=k+1 时,左边=1+ 2 k 现在只需证明 即证:2 k

k+ +1 , k+1

k+ +1 <2 k+1, k+1
<2k+1,

k+

两边平方,整理得 0<1,显然成立. 2 k ∴ 即 1+ 1

k+ +1 <2 k+1成立. k+1
1 1 1 + +…+ + <2 k+1成立. 2 3 k k+1

∴当 n=k+1 时,不等式成立. 由(1)(2)知,对于任何正整数 n 原不等式都成立. 10.设 Sn= 1 1 1 + + +…+ 1×3 3×5 5×7 1

n-

n+

(n∈N+),设计算 S1,S2,S3,并

猜想 Sn 的表达式,然后用数学归纳法给出证明. 1 1 1 解析:∵S1= = = , 1×3 3 2×1+1

S2= S3=

1 1 2 2 + = = , 1×3 3×5 5 2×2+1 1 1 1 3 3 + + = = , 1×3 3×5 5×7 7 2×3+1

…… 猜想 Sn= (n∈N+). 2n+1 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,左边 S1= 1 1 1 1 = ,右边= = ,等式成立. 1×3 3 2×1+1 3

n

(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即 1 1 1 + + +…+ 1×3 3×5 5×7 则当 n=k+1 时, 1 1 1 + + +…+ 1×3 3×5 5×7 1 1 1

k-

k+

= , 2k+1

k

k-

k+



1

k+

k+



k + 2k+1

k+

k+

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推荐精品 K12 资料 = 2k +3k+1 k+ k+
2

k+1 = = 2k+3

k+1 , k+ +1

这就是说, 当 n=k+1 时,等式成立. 由(1)(2)可知, 等式 Sn= 对 n∈N+都成立. 2n+1 [B 组 能力提升] 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1.观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +…+ > ,1+ + +…+ >2, 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 1 1 1 5 1+ + +…+ > ,…,由此猜测第 n(n∈N+)个不等式为( 2 3 31 2 1 1 1 n-1 A.1+ + +…+ n> 2 3 2 2 1 1 1 n B.1+ + +…+ > 2 3 2n-1 2 1 1 1 n C.1+ + +…+ n > 2 3 2 -1 2 1 1 1 n D.1+ + +…+ n-1> 2 3 2 2 解析:∵1,3,7,15,31,…的通项公式为 an=2 -1, 1 1 1 ∴不等式左边应是 1+ + +…+ n . 2 3 2 -1 1 3 5 n ∵ ,1, ,2, ,…的通项公式为 bn= , 2 2 2 2 ∴不等式右边应是 . 2 答案:C 2.用数学归纳法证明不等式“ 1 1 1 13 + +…+ > (n>2,n∈N+)”时的过程中,由 n= n+1 n+2 2n 24 )
n

n

)

n

k 到 n=k+1 时,不等式的左边(
A.增加了一项 1

k+
1

1 B.增加了两项 , 2k+1 1 C.增加了两项 , 2k+1 D.增加了一项 1 k+

k+
1

k+

,又减少了一项 1 k+1

1

k+1

,又减少了一项

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推荐精品 K12 资料 解析:当 n=k 时,左边= 当 n=k+1 时, 左边= 1 . 2k+2 故由 n=k 到 n=k+1 时,不等式的左边增加了两项,又减少了一项. 答案:C 3.用数学归纳法证明某不等式,其中证 n=k+1 时不等式成立的关键一步是: 1 1 1 + +…+ . k+1 k+2 2k + 1 +…+ 1

1

k+1+1 k+1+2

k+



1

k+2 k+3



1

1 1 +…+ + + 2k 2k+1

k+
3

k+



k+

k+

>

k+
3

k+

+(

)>

k+
3

k+



括号中应填的式子是________. 解析:由 答案:k+2 4.设 a,b 均为正实数,n∈N+,已知 M=(a+b) ,N=a +na ________(提示:利用贝努利不等式,令 x= ). 解析:令 x= ,∵M=(a+b) ,N=a +na ∴ n=(1+x) , n=1+nx. ∵a>0,b>0,∴x>0. 由贝努利不等式得(1+x) >1+nx. ∴ n> n,∴M>N 答案:M>N 5.对于一切正整数 n,先猜出使 t >n 成立的最小的正整数 t,然后用数学归纳法证明,并 lg 3 再证明不等式:n(n+1)· >lg(1·2·3·…·n). 4 证明:猜想当 t=3 时,对一切正整数 n 使 3 >n 成立.下面用数学归纳法进行证明. 当 n=1 时,3 =3>1=1 ,命题成立. 假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,3 >k 成立, 则有 3 ≥k +1. 对 n=k+1,3
2 2 1 2

k+

k+

>k+2,联系不等式的形式可知,应填 k+2.

n

n

n-1

b,则 M,N 的大小关系为

b a

b a
n

n

n

n-1

b,

M a

N a

n

M N a a

n

2

n

2

k

2

k

2

k+1

=3·3 =3 +2·3
2

k

k

k

>k +2(k +1)>3k +1. ∵(3k +1)-(k+1)
2 2

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推荐精品 K12 资料 =2k -2k=2k(k-1)≥0, ∴3
k+1
2

>(k+1) ,

2

∴对 n=k+1,命题成立. 由上知,当 t=3 时,对一切 n∈N+,命题都成立. 再用数学归纳法证明:

n(n+1)·

lg 3 >lg(1·2·3·…·n). 4

lg 3 lg 3 当 n=1 时,1×(1+1)× = >0=lg 1,命题成立. 4 2 假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,

k·(k+1)·

lg 3 >lg(1·2·3·…·k)成立. 4

lg 3 当 n=k+1 时,(k+1)·(k+2)· 4 lg 3 lg 3 =k(k+1)· +2(k+1)· 4 4 1 k+1 >lg(1·2·3·…·k)+ lg 3 2 1 2 >lg(1·2·3·…·k)+ lg(k+1) 2 =lg[1·2·3·…·k·(k+1)],命题成立. 由上可知,对一切正整数 n,命题成立. 6.已知等比数列{an}的首项 a1=2,公比 q=3,Sn 是它的前 n 项和. 求证:

Sn+1 3n+1 ≤ . Sn n
n

证明:由已知,得 Sn=3 -1,
n+1 Sn+1 3n+1 3 -1 3n+1 n ≤ 等价于 n ≤ ,即 3 ≥2n+1.(*) Sn n 3 -1 n

法一:用数学归纳法证明上面不等式成立. ①当 n=1 时,左边=3,右边=3,所以(*)成立. ②假设当 n=k 时,(*)成立,即 3 ≥2k+1,那么当 n=k+1 时, 3
k+1 k

=3×3 ≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3=2(k+1)+1,

k

所以当 n=k+1 时,(*)成立. 综合①②,得 3 ≥2n+1 成立. 所以
n

Sn+1 3n+1 ≤ . Sn n

法二:当 n=1 时,左边=3,右边=3,所以(*)成立. 推荐精品 K12 资料

推荐精品 K12 资料 当 n≥2 时, 3 =(1+2) =Cn+Cn×2+Cn×2 +…+Cn×2 =1+2n+…>1+2n, 所以(*)成立. 所以
n n
0 1 2 2

n

n

Sn+1 3n+1 ≤ . Sn n

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