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【全程复习方略】2013版高中数学 3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 理 新人教B版

【全程复习方略】2013版高中数学 3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 理 新人教B版

第二节 同角三角函数的基本关系式 与诱导公式

三年1考
2

高考指数:★

1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ? ±α ,π ±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式. 2.理解同角三角函数的基本关系式sin2α +cos2α =1,

tanα = sin? .
cos?

1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简三角函数式 是考查重点也是热点. 2.主要以选择题、填空题的形式考查.

1.同角三角函数基本关系式
sin ? ? cos ? ? 1 (1)平方关系:_________________.
2 2

sin? cos? (2)商数关系:_________________. tan? ?

【即时应用】
(1)已知α 是第三象限角,且sinα = ? 3 , 则cosα =______.
5

(2)若tanα =2,则 sin? ? 3cos? =____________.
sin? ? cos?

【解析】(1)∵α是第三象限角,∴cosα<0,又sinα ? ? 3 ,
5

∴cosα ? ? 1 ? sin 2? ? ? 1 ? (? 3 ) 2 ? ? 4 . (2)∵ sin? ? 3cos? ? tan? ? 3,
sin? ? cos?

5

5

tan? ? 1 又∵tanα=2,∴ tan? ? 3 ? 2 ? 3 ? ? 1 . tan? ? 1 2 ? 1 3 答案: 1? ? 4????????????? 2 ? ? 1 ? 5 3

2.三角函数的诱导公式 (1)诱导公式(其中k∈Z) 函数 角x α +k?2π -α α +(2k+1)π
? α+ 2 ? -α + 2

sinx
sinα -sinα -sinα cosα cosα

cosx
cosα

tanx
tanα -tanα tanα -cotα cotα

cosα
-cosα -sinα sinα

(2)诱导公式的记忆规律

①记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”.(解释:公式中的
角可以表示为k? ? ±α (k∈Z)的形式,“奇、偶”是指k的奇
2

偶性;“符号”是指把任意角α 看作是锐角时原函数值的符号) ②可以分类记忆:函数名称“变与不变”,函数值的符号“变 与不变”.

【即时应用】 (1)思考:“符号看象限”中符号是否与α 的大小有关? 提示:无关,只是把α从形式上看作锐角,从而2kπ+α,
? π+α,-α,π-α, ? ? ?, ? ? 分别是第一、三、四、二、一、 2 2

二象限角.
4? )=______. 3 ? 【解析】sin( ? 4? )=-sin(π+ )=sin ? = 3 3 3 答案: 3 2

(2)sin( ?

3 . 2

(3)已知tan(π +α )=3,则 2cos ? ? ? ? ? ? 3sin ? ? ? ? ? ? __________.
4cos ? ?? ? ? sin ? 2? ? ? ?

【解析】∵tan(π+α)=3,∴tanα=3. 原式 ? ?2cos? ? 3sin? ? ?2 ? 3tan? ? ?2 ? 3 ? 3 ? 7.
4cos? ? sin? 4 ? tan? 4?3

答案:7

同角三角函数关系式的应用 【方法点睛】 同角三角函数关系式的理解 (1)同角三角函数关系式的基本用途: 根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值; 化简同角三角函数式;证明同角的三角恒等式.

(2)注意公式的逆用和变形应用:1=sin2α +cos2α ,sin2α =1cos2α ,cos2α =1-sin2α ,sinα =cosα ?tanα .

【例1】已知 ?

1 ? <x<0,sinx+cosx= . 5 2

(1)求sinx-cosx的值;
(2)求tanx的值. 【解题指南】(1)利用平方关系,把已知两边平方求得sinxcosx, 再把sinx-cosx平方求得(sinx-cosx)2,然后根据x的范围得 sinx-cosx的值. (2)由sinx+cosx和sinx-cosx求得sinx,cosx,再利用商式关系 求得tanx.

1 5 平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= 1 , 25 即2sinxcosx= ? 24 , 25 ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= 49 . 25 ? 又∵ ? <x<0,∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,故 2 7 sinx-cosx= ? . 5

【规范解答】(1)由sinx+cosx= ,

(2)由(1)得sinx-cosx= ? 7 ,
5

故由

sinx+cosx=

1 5 5

sinx-cosx= ? 7 , 得
3 5 cosx= 4 , 3 5 ? ∴tanx= sinx ? 5 ? ? 3 . 4 cosx 4 5

sinx= ? ,

【反思?感悟】
1.在利用同角三角函数关系式解题时,变形非常关键,同时“1” 的代换也经常巧妙地用在里面,使问题得以解决. 2.有些题目还用到方程思想,函数思想.

利用诱导公式求值 【方法点睛】 利用诱导公式解题的原则和步骤 (1)诱导公式应用的原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. (2)诱导公式应用的步骤: 任意负角的三角函数→任意正角的三角函数 →0~2π 的角的三角函数→锐角三角函数

【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数值的
符号.

【例2】(1)已知tanα =2,sinα +cosα <0, 则 sin ? 2? ? ? ??sin ? ? ? ? ??cos ? ? ? ? ? =_______________.
sin ? 3? ? ? ??cos(? ? ?)

(2)已知α 为第三象限角,
? 3? sin(? ? )?cos( ? ?)?tan ? ? ? ? ? 2 2 f(α )= , tan ? ?? ? ? ?? ?? ? ?) sin(

①化简f(α ); ②若cos(α - 3? )= 1 , 求f(α )的值.
2 5

【解题指南】(1)先利用诱导公式对原式进行化简得sinα,根

据tanα=2,结合α的范围和同角三角函数关系式求得sinα.
(2)①直接利用诱导公式化简约分.②利用α在第三象限及同角

三角函数关系的变形式得f(α).

【规范解答】(1)原式= ?sin??? ?sin? ??? ?cos? ? ? sin?,
?sin??cos?

∵tanα =2>0,∴α 为第一象限角或第三象限角, 又sinα +cosα <0,∴α 为第三象限角.
sin? =2,得sinα =2cosα 代入sin2α +cos2α =1,解得 cos? sinα = ? 2 5 . 5 答案:? 2 5 5

由tanα =

? 3? sin(? ? )?cos( ? ?)?tan(? ? ?) 2 2 (2)①f(α)= tan(?? ? ?)? ?? ? ?) sin( = (?cos?)?sin??(?tan?) (? tan?)? ? sin

=-cosα.
②∵cos(α∴-sinα=
3? 1 )= , 2 5

1 1 , 从而sinα= ? . 5 5

又α为第三象限角, ∴cosα= ? 1 ? sin 2? ? ? 2 6 ,
5

即f(α)的值为 2 6 .
5

【反思?感悟】 在利用诱导公式求值时,一般要先化简,再根据条件求值,掌 握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判断. 另外,诱导公式的应用非常灵活,可以正用、逆用和变形应用, 但是要尽量避开平方关系.

利用诱导公式化简证明 【方法点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化

成单角三角函数;③整理得最简形式.
(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能

少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.

3 sin ? ?? ??cos ? 3? ? ? ??cos( ? ? ?) 2 【例3】(1)化简: ; sin ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??cos ? ?? ? ? ? sin

(2)求证:对于任意的整数k,
? ?1. sin[? k ? 1? ? ? ?]cos[? k ? 1? ? ? ?] sin ? k? ? ? ? cos ? k? ? ? ?

【解题指南】(1)把所给的三角函数式化简,约分得结果. (2)由于此题中的k不明确,需要对其分偶数和奇数讨论.

【规范解答】(1)原式= ?sin??? ?cos? ??sin? ? 1.
sin?? ?sin? ?? ?cos? ? ? ?

(2)当k为偶数时,设k=2n(n∈Z), 则原式=
sin ? 2n? ? ? ? ? ? cos(2n? ? ? ? ?) sin ? 2n? ? ? ? cos ? 2n? ? ? ?

? ?sin? ? cos? ? ?1; ? ? ?sin? ?? ?cos? ?

当k为奇数时,设k=2n+1,n∈Z, 则原式= sin[? 2n ? 1? ? ? ?]cos[? 2n ? 1? ? ? ?] ? ?sin?cos? ? ?1.
sin[? 2n ? 2 ? ? ? ?]cos(2n? ? ?)
sin?cos?

故对任意的整数k,
? ?1. sin[? k ? 1? ? ? ?]cos[? k ? 1? ? ? ?] sin ? k? ? ? ? cos ? k? ? ? ?

【反思?感悟】1.在用诱导公式时,式子符号的判断看象限,注

意把任意角α看成锐角来处理.
2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化简

是求解的关键.

诱导公式在三角形中的应用
【方法点睛】 三角形中的诱导公式 在三角形ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π -C)=sinC, cos(A+B)=cos(π -C)=-cosC, tan(A+B)=tan(π -C)=-tanC, sin( A + B )=sin( ? - C )=cos C ,
2 2 2 2 2 cos( A + B )=cos( ? - C )=sin C . 2 2 2 2 2

【例4】在△ABC中,若sin(2π -A)=- 2 sin(π -B), 3 cosA= - 2 cos(π -B),求△ABC的三个内角. 【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系求 得cosA,进而可求得角A,B,C. 【规范解答】由已知得sinA= 2 sinB, 3 cosA= 2 cosB两式平 方相加得2cos2A=1,即cosA= 2 或cosA= ? 2 .
2 (1)当cosA= 时,cosB= 3 , 2 2 2
2

又角A、B是三角形的内角,
∴A=
7? ? . ,B= ? , ∴C=π-(A+B)= 12 4 6

(2)当cosA= ? 2 时,
2

cosB= ? 3 ,
2

又角A、B是三角形的内角,
3? B= 5? , 不合题意. , 4 6 综上知,A ? ? ,B ? ? ,C ? 7? . 4 6 12

∴A=

【反思?感悟】 1.三角形中常用角的变形结论有:A+B=π-C;2A+2B+2C=2π;
A B C ? ? ? ? . 2 2 2 2

2.求角时,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的

范围,最后求角.

【满分指导】关于诱导公式主观题的规范解答

【典例】(12分)(2012?肥城模拟)已知sin(α +
α ∈(0,π ),
? ? ? ? cos 2 ( ? ) ? cos 2 ( ? ) 4 2 4 2 的值; (1)求 sin ? ? ? ? ? ? cos(3? ? ?) (2)求cos(2α - 3? )的值. 4

? 5 )=, 2 5

【解题指南】利用已知结合诱导公式求出cosα和sinα,把所 给三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简,即可求得.

【规范解答】(1)∵sin(α+ ? )= ? 5 , ??????2分
2

5

∴cosα= ? 5 , 又α∈(0,π),∴sinα= 2 5 . ????4分
? ? ? ? cos 2 ( ? ) ? cos 2 ( ? ) 4 2 4 2 sin ? ? ? ? ? ? cos(3? ? ?) ? ? ? ? cos 2 ( ? ) ? sin 2 ( ? ) 4 2 4 2 ? sin? ? cos? ? cos( ? ?) ?sin? 2 2 ? ? ?? . sin? ? cos? sin? ? cos? 3

5

5

????????????????????????6分

4 (2)∵cosα? ? 5 , sinα= 2 5 , α∈(0,π)?sin2α= ? ,

5

5

5

3 5 cos(2α- 3? )= ? 2 cos2α+ 2 sin2α= ? 2 . 4 2 10 2

cos2α= ? , ??????????????????10分

????????????????????????12分

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下 失分警示和备考建议: 失 在解答本题时有以下两点容易造成失分: 分 (1)忽略α的范围而使解的三角函数值符号错误; 警 示 (2)在化简时公式应用错误,而使结果错误.

在用诱导公式解三角函数的问题时,还有以下几点容易造

备 成失分,在备考时要高度关注:
考 (1)诱导公式记忆不准确; 建 (2)不注意角的范围和象限,造成符号的错误. 议 另外,需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形,才 能快速正确地解决这类问题.

1.(2011?大纲版全国卷)已知α ∈(π , 3? ),tanα =2,则cosα =
2

________.
cos 2? 1 1 = ? , sin 2? ? cos 2? tan 2 ? ? 1 5 3? 又α∈(π, ),∴cosα<0,∴cosα= ? 5 . 2 5 答案:? 5 . 5

【解析】∵cos2α=

2.(2012?聊城模拟) sin(-210°)=_______. 【解析】sin(-210°)=sin30°= 1 .
2

答案: 1
2

9? +tan( ? 7 ? )+sin21π 的值为_____. 4 6 ? 【解析】原式=cos(2π+ )-tan(π+ ? )+0 4 6 ? -tan ? = 2 3 3 2 ?2 3 =cos ? ? . 6 4 2 3 6 答案:3 2 ? 2 3 6

3.(2012?德州模拟)cos


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