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高中数学公式总结

高中数学公式总结

一、 集合: 1、 2、

?a1 , a 2 , a 3 ? a n ? 子集的个数为 2 n 个,真子集个数为
A ? Cu A ? U
,

2 ?1
n

个。

A ? Cu A ? ?

,

C u (C u A ) ? A

二、函数: 1 常见函数的图像:
y
y
y
y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

1 a>1

x

y=kx+b
2、单调性、奇偶性: (1)任意 x 1 ,

y=ax2+bx+c

x 2 ? D , 且 x1 ? x 2 ; 若

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,则

f ( x ) 为增函数

若 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,则 (2)

f ( x ) 为减函数;

f ( x ) 为偶函数 ? f ( ? x ) ? f ( x ) ; f ( x ) 为奇函数 f ( ? x ) ? ? f ( x )
2

3、二次函数: y ? ax

? bx ? c ? a ( x ?
2

b 2a

)

2

?

4 ac ? b 4a

2

顶点坐标 ( ?

b 2a

,

4 ac ? b 4a

) ,对称轴为 x

? ?

b 2a

, 最值为

y ?

4 ac ? b 4a

2

4、指数函数、对函数: (1)

a
0

m

?a

n

? a

m?n

(2)
1 a
n

a

m

?a
m

n

? a
n m

m?n

(3)
? m n

?a ?
m

n

? a

mn

(4)

? ab ? n

? a b
n

n

? 5 ?a

? 1? a ? 0 ? ? 6 ? a

?n

?

? 7 ?a n
? log

?

a

(8 ) a

?

1
m

a

n

(1) y ? log

a

? MN ? ? log a M
M

a

N (2) y ? log

M
a

? log

N

a

M ? log

a

N ;

(3)

log

a

M

a

? a log

a

? 4 ? lo g b
log a
N

N ?
b a

lo g a N lo g a b
? log
a b

?5 ? log
n

a

1? 0;
n m

?6 ? log

a

a ? 1 ; ? 7 ?a

? N ?8 ? log

? 1 (9) lo g a m b ?

lo g a b

三、立体几何: 1、球的半径是 R,则其体积 V ?

4 3

? R ,其表面积 S ? 4? R
3

2

2、椎体体积: V

?

1 3

sh

1

3、三视图: “长对正、高平齐、宽相等” 四、平面几何 1、点到点的距离:

p1 p 2 ?

( x 2 ? x1 )

2

?

( y 2 ? y1 )

2

2、点到直线的距离 : d ?

| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

(点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ).

3、斜率公式 : k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ).

4、直线的五种方程: (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 y 2 ? y1

?

x ? x1 x 2 ? x1

( y 1 ? y 2 )( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 )).

? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、 b ? 0 ) a b (5)一般式 A x ? B y ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(4)截距式 若 l 1 // l 2 且 b 1 ? b 2 ,则有 k 1 ? k 2 ;若 l 1 ? l 2 ,则有 k 1 ? k 2 ? ? 1 。 5、圆的方程: (1)圆的标准方程 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r .
2 2 2

x

?

y

(2)圆的一般方程 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2
2 2

6、直线与圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) (d ?

2

? ( y ? b)

2

? r 的位置关系有三种
2

Aa ? Bb ? C A ? B
2 2

):

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
7、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r,R, O 1 O 2 ? d ,则: (1)内 含: 0

? d ? R ?r

内含

内切 r2-r1

相交

外切 相离 r1+r2

(2) 相交: R (3)相切: d 五、概率与统计

?r ? d ? R?r

o
d ? R?r ?

d
内切

d

d

d

? R?r ?

外切 ,

1、方差:

s ?
2

1 n

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] 2、标准差:
2 2 2

s ?

1 n

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

3、回归线方程:

2

y ? bx ? a

b?

? x i y i ? n xy
i ?1 n

n

? xi ? n x
2 i ?1

2

,a ? y ? bx

六、平面向量

1、 a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | co s ? 。 2、平面向量的坐标运算:设 a = ( x1 , y 1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) (1)

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? b b ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) a a + = .(2) = ??? ? ??? ??? ? ? (3) A B ? O B ? O A ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 ) . ? ? ? (4) ? a = ( ? x , ? y ) (5) a · b = ( x1 x 2 ? y1 y 2 ) . ? ? ? ? a || b ? b =λ a ? x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 .(交叉相乘差为零) ? ? ? ? ? ? a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .(对应相乘和为零)

.

七、三角函数 1、同角三角函数的基本关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

sin ? cos ?

2、和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan (? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

3、二倍角公式及降幂公式

sin 2? ? sin ? cos ?
cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2 2 2 2

1 ? tan ? 2 2 a b c ? ? ? 2 R (R 为 ? A B C 外接圆的半径). 4、正弦定理 : sin A sin B sin C ? a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
2

tan 2? ?

2 tan ?

sin ? ?
2

1 ? co s 2 ?

, co s ? ?
2

1 ? co s 2 ?

解三角形: 5、余弦定理: a
2

? b ? c ? 2 bc cos A ; b ? c ? a ? 2 ca cos B ; c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2 2 2 2 2 2

6、面积定理: S ?

1 2

a b sin C ?

1 2

b c sin A ?

1 2

ca sin B

7、三角函数的周期公式 函数 y ? sin (? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期

T ?

2? |? |



函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k ? ? 3

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ?

?
|? |

.

三角函数的图像:

y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2 2π

x

y=cosx
-2π -3π/2 -π -π/2

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2



x

八、不等式: 常用不等式: (1) a , b ? R ? a ? b ? 2 ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

(2) a , b ? R 九、数列 1、等差数列:

?

?

a?b 2

?

a b (当且仅当 a=b 时取“=”号).

通项公式: (1) a n ? a1 ? ( n ? 1) d (2)推广: a n ? a k ? ( n ? k ) d 前 n 项和: (1) S n ?

n ( a1 ? a n ) 2

(2) S n ? n a 1 ?

n ( n ? 1) 2

d

常用性质: 、若 m+n=p+q ,则有 a m ? a n ? a p ? a q ; (1) 注:若 a m 是 a n , a p 的等差中项,则有 2 a m ? a n ? a p ? n、m、p 成等差。 2、等比数列: 通项公式: (1) a n ? a 1 q
n ?1

?

a1 q

? q ( n ? N ) (2)推广: a n ? a k ? q
n *

n?k

n a1 ? ? 前 n 项和: (3) S n ? ? a 1 (1 ? q n ) ? ? 1? q
常用性质: 、若 m+n=p+q ,则有 (1) 4

( q ? 1) ( q ? 1)

am ? an ? a p ? aq



注:若

am是 an , a p

的等比中项,则有

am ? an ? a p ?
2

n、m、p 成等比。

十、圆锥曲线(平面解析几何) 1、椭圆的标准方程

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) , c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 0 ? e ?

c a

? 1,

准线到中心的距离为

a

2

,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ?

b

2



c
2、双曲线

c

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率 e ?
2

c a

?

1?

b a
b

2 2

,e

? 1, c ? a ? b
2 2

2

准线到中心的距离为

a

2

,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ?



c
双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1)若双曲线方程为
2 2 2 2
2 2

c
2 2

x a

?

y b
b a

? 1 ? 渐近线方程:

x a

?

y b

?0? y?? x a
2 2

b a

x.

(2)若渐近线方程为 y ? ?

x ?

x a

?

y b

? 0 ? 双曲线可设为

?

y b

2 2

? ?.

3、抛物线: 十一、复数

y ? 2 px ( p ? 0 ) ,焦点坐标 (
2

p 2

, 0 ) ,准线方程 x ? ?

p 2

,离心率 e

?1

1、复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d .( a , b , c , d ? R ) 2、复数 z ? a ? b i 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = 3、实系数一元二次方程的解
2

a ?b .
2 2



实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 , ①若 ? ? b ? 4 ac ? 0 ,则 x1, 2 ?
2 2

?b ?

b ? 4ac
2

;

②若 ? ? b ? 4 ac ? 0 ,则 x1 ? x 2 ? ?
2

2a b
2a

;

③ 若 ? ? b ? 4 ac ? 0 , 它 在 实 数 集 R 内 没 有 实 数 根 ; 在 复 数 集 C 内 有 且 仅 有 两 个 共 轭 复 数 根

x ?

?b ?

? (b ? 4 a c )i
2

(b ? 4 a c ? 0 )
2

2a
十二、导数 1、函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f ( x ) 在 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 f ? ( x 0 ) ,相应 的切线方程是 y ? y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) . 2、 几种常见函数的导数: 5

(1) C ? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n ) ? ? n x (4)
x x

n ?1

( n ? Q ) .(3) (sin x ) ? ? cos x .
1 x
; (lo g a x ) ? ?

(cos x ) ? ? ? sin x .

(5)

(ln x ) ? ?

1 x

lo g a e .(6) ( e ) ? ? e
x

x

;

( a ) ? ? a ln a .
3、导数的运算法则: (1) ( u ? v ) ? u ? v .(2) ( u v ) ? u v ? u v .(3) (
' ' ' ' ' '

u v

) ?
'

u v ? uv
'

'

v

2

(v ? 0) .

4、判别 f ( x 0 ) 是极大(小)值的方法: 当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时, 如果在 x 0 附近的左侧 f ? ( x ) ? 0 ,右侧 f ? ( x ) ? 0 ,则 f ( x 0 ) 是极大值; 十三、参数方程

?? 2 ? x 2 ? y 2 x ? ? cos ? ? ? 1、 极坐标与参数方程(1) ? 或? y ( x ? 0) ? y ? ? sin ? ? tan ? ? x ?
2、 圆 ? a , 0 ? ? ? 2 a cos ? ; ? a ,

? ?

? ?

? ? ? 2 a sin ? 2?

3、直线的参数方程 ?

? x ? x 0 ? t cos ? ,t ? R或 ? ? y ? y 0 ? mt ? y ? y 0 ? t sin ? ? x ? x 0 ? lt

? x ? R cos ? 4、圆的参数方程 ? , ? 为参数, 0 ? ? ? 2 ? ? y ? R sin ?

? x ? x 0 ? R cos ? 若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程为: ? ,0 ? ? ? 2? ? y ? y 0 ? R sin ? 5、椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为: ?

? x ? a cos t ? y ? b sin t

, 0 ? t ? 2 ? 以上是椭圆中心在原点。

若 椭 圆 的 中 心 不 在 原 点 , 而 在 点 为: ?

M 0 ( x0 , y0 )

, 相 应 的 椭 圆 的 参 数 方 程

? x ? x 0 ? a cos t ? y ? y 0 ? b sin t

,0 ? t ? 2?

6、抛物线的参数方程抛物线的参数方程: ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt

2

7、双曲线的参数方程双曲线的参数方程: ?

? x ? a sec ? ? y ? b tan ?

6


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