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[配套K12]2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师

[配套K12]2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师

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第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应 用教师用书 理 新人教版

1.y=Asin(ω x+φ )的有关概念 y=Asin(ω x+φ ) 振幅 (A>0,ω >0),x∈R A

周期 T=2π
ω

频率 f=1T=2ωπ

相位 ω x+φ

初相 φ

2.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个特征点

如下表所示:

x

0-φ

π 2

-φ

π -φ

3π 2

-φ

2π -φ

ω

ω

ω

ω

ω

ω x+φ

0

π 2

π

3π 2



y=Asin(ω x+

0

A

0

-A

0

φ)

3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图象的步骤如下:

【知识拓展】 1.由 y=sin ω x 到 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ >0)的变换:向左平移φω 个单位长度而非 φ 个单位长度.
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2.函数 y=Asin(ω x+φ )的对称轴由 ω x+φ =kπ +π2 ,k∈Z 确定;对称中心由 ω x+φ =kπ ,k∈Z 确定其横坐标.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y=sin???x-π4 ???的图象是由 y=sin???x+π4 ???的图象向右平移π2 个单位得到的.( √ ) (2)将函数 y=sin ω x 的图象向右平移 φ (φ >0)个单位长度,得到函数 y=sin(ω x-φ )的

图象.( × )

(3)利 用图象变 换作图时 “ 先平移, 后伸缩” 与“ 先伸缩, 后平移” 中平 移的长度 一

致.( × )

(4)函数

y=Asin(ω

x+φ

)的最小正周期为

T=2π ω

.(

×

)

(5)把

y=sin

x

1 的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的2,所得图象对应的函数解析

式为 y=sin 12x.( × )

(6)若函数 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 T,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离 T
为2.( √ )

1.(教材改编)y=2sin(12x-π3 )的振幅,频率和初相分别为(

)

A.2,4π ,π3

1 B.2,4π

,π3

C.2,41π ,-π3

D.2,4π ,-π3

答案 C

解析 由题意知 A=2,f=1T=2ωπ =41π ,初相为-π3 .

2.(2015·山东)要得到函数 y=sin???4x-π3 ???的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象(

)

A.向左平移1π2个单位

B.向右平移π12个单位

C.向左平移π3 个单位

D.向右平移π3 个单位

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答案 B

解析 ∵y=sin???4x-π3 ???=sin???4???x-π12??????,

∴要得到 y=sin???4x-π3 ???的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象向右平移1π2个单位.

3.(2016·青岛模拟)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度,再把

所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )

A.y=sin(2x-π10)

B.y=sin(2x-π5 )

C.y=sin(12x-π10)

D.y=sin(12x-2π0)

答案 C

右移 π 个单位
解析 y=sin x ???10 ??? y=sin(x-π10)横―原坐―来标―的―伸―2长倍→到y=sin(12x-1π0).

4.(2016·临沂模拟)已知函数

f(x)=Acos(ω x+θ

)的图象如图所示,f(π2

2 )=-3,则

f(-

π 6

)=________.

2 答案 -3

解析 由题图知,函数 f(x)的周期 T=2(1112π -71π2 )=23π ,

所以 f(-π6 )=f(-π6 +2π3 )=f(π2 )=-23.

5.若将函数 f(x)=sin(2x+π4 )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ

的最小正值是________.

答案

3π 8

解析 ∵函数 f(x)=sin(2x+π4 )的图象向右平移 φ 个单位得到 g(x)=sin[2(x-φ )+π4 ]

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=sin(2x+π4 -2φ ), 又∵g(x)是偶函数,∴π4 -2φ =kπ +π2 (k∈Z), ∴φ =-k2π -π8 (k∈Z). 当 k=-1 时,φ 取得最小正值38π .

题型一 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及变换

例 1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )???ω >0,|φ |<π2 ???在某
一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

ω x+φ

0

π 2

π

3π 2



x

π



3

6

Asin(ω x+φ ) 0 5

-5 0

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式;

(2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ (θ >0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y

=g(x)图象的一个对称中心为???51π2 ,0???,求 θ 的最小值.

解 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =-π6 .数据补全如下表:

ω x+φ

0

π 2

π

3π 2



x

π π 7π 5π 13

12 3 12

6

12π

Asin(ω x+φ ) 0

5

0 -5

0

且函数解析式为 f(x)=5sin???2x-π6 ???. (2)由(1)知 f(x)=5sin???2x-π6 ???,

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得 g(x)=5sin???2x+2θ -π6 ???. 因为函数 y=sin x 图象的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. 令 2x+2θ -π6 =kπ ,解得 x=k2π +π12-θ ,k∈Z.

由于函数 y=g(x)的图象关于点???51π2 ,0???成中心对称, 所以令kπ2 +1π2-θ =51π2 ,解得 θ =k2π -π3 ,k∈Z.

由 θ >0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值π6 .

引申探究

在本例(2)中,将 f(x)图象上所有点向左平移π6 个单位长度,得到 g(x)的图象,求 g(x)的解

析式,并写出 g(x)图象的对称中心.

解 由(1)知 f(x)=5sin(2x-π6 ),

因此 g(x)=5sin[2(x+π6 )-π6 ]=5sin(2x+π6 ). 因为 y=sin x 的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. 令 2x+π6 =kπ ,k∈Z,解得 x=k2π -π12,k∈Z. 即 y=g(x)图象的对称中心为(k2π -1π2,0),k∈Z. 思维升华 (1)五点法作简图:用“五点法”作 y=Asin(ω x+φ )的简图,主要是通过变量 代换,设 z=ω x+φ ,由 z 取 0,π2 ,π ,32π ,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出

五点坐标,描点后得出图象. (2)图象变换:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象,有两种主要 途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,

再把所得函数图象向左平移π4 个单位,得到的函数图象的解析式是(

)

A.y=cos 2x

B.y=-sin 2x

C.y=sin(2x-π4 )

D.y=sin(2x+π4 )

答案 A 解析 由 y=sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的

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解析式为 y=sin 2x,再向左平移π4 个单位得 y=sin2(x+π4 ),即 y=cos 2x. 题型二 由图象确定 y=Asin(ω x+φ )的解析式 例 2 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,|φ |<π2 ,ω >0)的图象的一部分如图所示.

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程. 解 (1)观察图象可知 A=2 且点(0,1)在图象上,
1 ∴1=2sin(ω ·0+φ ),即 sin φ =2.

∵|φ |<π2 ,∴φ =π6 ,

11 又∵12π

是函数的一个零点且是图象递增穿过 x 轴形成的零点,

∴111π2 ω +π6 =2π ,∴ω =2.

∴f(x)=2sin(2x+π6 ).

(2)设 2x+π6 =B,则函数 y=2sin B 的对称轴方程为 B=π2 +kπ ,k∈Z,

即 2x+π6 =π2 +kπ (k∈Z),

解得 x=k2π +π6 (k∈Z),

∴f(x)=2sin(2x+π6 )的对称轴方程为

x=k2π +π6 (k∈Z).

思维升华 求 y=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0)解析式的步骤 (1)求 A,B,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=M-2 m,B=M+2 m.

(2)求 ω ,确定函数的周期 T,则 ω =2πT .

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(3)求 φ ,常用方法如下: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或

把图象的最高点或最低点代入.

②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一 点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =0;“第二点”(即图象的“峰点”)为 ω x+

φ =π2 ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =π ;“第四点”(即图象的“谷

点”)为 ω x+φ =32π ;“第五点”为 ω x+φ =2π .

(2016·太原模拟)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |<π2 )的部分图象

如图所示,则 y=f(x+π6 )取得最小值时 x 的集合为(

)

A.{x|x=kπ -π6 ,k∈Z}

B.{x|x=kπ -π3 ,k∈Z}

C.{x|x=2kπ -π6 ,k∈Z}

D.{x|x=2kπ -π3 ,k∈Z}

答案 B

解析

根据所给图象,周期

T=4×(71π2

-π3

)=π

,故

π

=2π ω

,∴ω

=2,因此

f(x)=sin(2x

+φ ),另外图象经过点(71π2 ,0),代入有 2×71π2 +φ =kπ (k∈Z),再由|φ |<π2 ,得 φ =

-π6 ,∴f(x+π6 )=sin(2x+π6 ),当 2x+π6 =-π2 +2kπ (k∈Z),即 x=-π3 +kπ (k∈Z)

时,y=f(x+π6 )取得最小值.

题型三 三角函数图象性质的应用

命题点 1 三角函数模型的应用 例 3 (2015·陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=

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3sin???π6 x+φ ???+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(

)

A.5

B.6

C.8

D.10

答案 C 解析 由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5. ∴ymax=k+3=8. 命题点 2 函数零点(方程根)问题

例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 在???π2 ,π ???上有两个不同的实数根, 则 m 的取值范围是________.

答案 (-2,-1)

解析 方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 可转化为

m=1-2sin2x+ 3sin 2x

=cos 2x+ 3sin 2x

=2sin???2x+π6 ???,x∈???π2 ,π ???.



2x+π6

=t,则

t∈???76π

13 ,6π

???,

m ∴题目条件可转化为2=sin

t,t∈???76π

,163π

???有两个不同的实数根.

∴y=m2和 y=sin t,t∈???76π ,163π ???的图象有两个不同交点,如图:

由图象观察知,m2的范围为(-1,-12), 故 m 的取值范围是(-2,-1). 引申探究 例 4 中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是__________. 答案 [-2,1)
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解析 由例 4 知,m2的范围是???-1,12???, ∴-2≤m<1, ∴m 的取值范围是[-2,1).
命题点 3 图象与性质的综合应用 例 5 已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )(ω >0,-π2 ≤φ <π2 )的图象关于直线 x=π3 对称, 且图象上相邻两个最高点的距离为 π . (1)求 ω 和 φ 的值; (2)当 x∈[0,π2 ]时,求函数 y=f(x)的最大值和最小值. 解 (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π ,所以 f(x)的最小正周期 T=π ,从 而 ω =2Tπ =2. 又因为 f(x)的图象关于直线 x=π3 对称, 所以 2·π3 +φ =kπ +π2 ,k∈Z, 由-π2 ≤φ <π2 ,得 k=0, 所以 φ =π2 -23π =-π6 . 综上,ω =2,φ =-π6 . (2)由(1)知 f(x)= 3sin(2x-π6 ), 当 x∈[0,π2 ]时,-π6 ≤2x-π6 ≤56π , ∴当 2x-π6 =π2 ,即 x=π3 时,f(x)最大值= 3; 当 2x-π6 =-π6 ,即 x=0 时,f(x)最小值=- 23. 思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把 实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. (3)研究 y=Asin(ω x+φ )的性质时可将 ω x+φ 视为一个整体,利用换元法和数形结合思 想进行解题.
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已知函数 f(x)=cos(3x+π3 ),其中 x∈[π6 ,m],若 f(x)的值域是[-1,- 23], 则 m 的取值范围是__________. 答案 [29π ,51π8 ] 解析 画出函数的图象.

由 x∈[π6 ,m],可知56π ≤3x+π3 ≤3m+π3 ,

因为 f(π6 )=cos

5π 6

=-

3 2且

f(29π

)=cos π

=-1,要使 f(x)的值域是[-1,-

3 2 ],只

要2π9 ≤m≤51π8 ,即 m∈[2π9 ,51π8 ].

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4.三角函数图象与性质的综合问题

典例 (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin(x2+π4 )·cos(x2+π4 )-sin(x+π ).

(1)求 f(x)的最小正周期;

(2)若将 f(x)的图象向右平移π6 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,

π ]上的最大值和最小值. 思维点拨 (1)先将 f(x)化成 y=Asin(ω x+φ )的形式再求周期;

(2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x-π6 ,得 g(x),然后利用整体思想求最值.

规范解答 解 (1)f(x)=2 3sin(x2+π4 )·cos(x2+π4 )-sin(x+π )= 3cos x+sin x[3 分]

=2sin(x+π3 ),[5 分]

于是 T=21π =2π .[6 分]

(2)由已知得 g(x)=f(x-π6 )=2sin(x+π6 ),[8 分]

∵x∈[0,π ],∴x+π6 ∈[π6 ,76π ],

∴sin(x+π6

1 )∈[-2,1],[10

分]

∴g(x)=2sin(x+π6 )∈[-1,2].[11 分]

故函数 g(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2,最小值为-1.[12 分]

解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤:

第一步:(化简)将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式;

第二步:(用辅助角公式)构造 f(x)=

a2+b2·(sin x·

a a2+b2+cos



b a2+b2);

第三步:(求性质)利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ )研究三角函数的性质; 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

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1.为了得到函数 y=cos(2x+π3 )的图象,可将函数 y=sin 2x 的图象(

)

A.向左平移56π 个单位长度

B.向右平移56π 个单位长度

C.向左平移51π2 个单位长度

D.向右平移51π2 个单位长度

答案 C

解析 由题意,得 y=cos(2x+π3 )=sin(2x+π3 +π2 )=sin 2(x+51π2 ),则它是由 y=sin 2x

向左平移51π2 个单位得到的,故选 C.

2.若 f(x)=sin(2x+φ )+b,对任意实数 x 都有 f???x+π3 ???=f(-x),f???2π3 ???=-1,则实数 b 的值为( )

A.-2 或 0

B.0 或 1

C.±1

D.±2

答案 A

解析 由 f ???x+π3 ???=f(-x)可得 f(x)的图象关于直线 x=π6 对称,∴2×π6 +φ =π2 +kπ ,

k∈Z.当直线

x=π6

经过最高点时,φ

=π6

;当直线

x=π6

经过最低点时,φ

5 =-6π

.若

f(x)

=sin???2x+π6 ???+b,由 f ???23π ???=-1,得 b=0;若 f(x)=sin???2x-56π ???+b,由 f???23π ???=- 1,得 b=-2.所以 b=-2 或 b=0.

3.已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点

中,若相邻交点距离的最小值为π3 ,则 f(x)的最小正周期为(

)

A.π2

B.23π

C.π 答案 C

D.2π

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解析 f(x)= 3sin ω x+cos ω x=2sin(ω x+π6 )(ω >0).

由 2sin(ω x+π6 )=1,得 sin(ω x+π6 )=12,

∴ω

x+π6

=2kπ

+π6



ω

x+π6

=2kπ

5 +6π

(k∈Z).

令 k=0,得 ω x1+π6 =π6 ,ω x2+π6 =56π ,

∴x1=0,x2=23πω . 由|x1-x2|=π3 ,得23πω =π3 ,∴ω =2. 故 f(x)的最小正周期 T=2π2 =π .

4.函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (x∈R,ω >0,|φ |<π2 )的部分图象如图所示,如果 x1,x2∈(-

π 6

,π3

)且

f(x1)=f(x2),则

f(x1+x2)等于(

)

A.12

B.

3 2

C.

2 2

D.1

答案 B 解析 观察图象可知,A=1,T=π , ∴ω =2,f(x)=sin(2x+φ ). 将(-π6 ,0)代入上式得 sin(-π3 +φ )=0,

由|φ |<π2 ,得 φ =π3 ,则 f(x)=sin(2x+π3 ).

函数图象的对称轴为

-π6 +π3 x= 2

=1π2.

又 x1,x2∈(-π6 ,π3 ),

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且 f(x1)=f(x2),∴x1+2 x2=1π2,

∴x1+x2=π6 ,

∴f(x1+x2)=sin(2×π6 +π3 )= 23.故选 B.

5.函数 f(x)=sin(2x+φ )???|φ |<π2 ???的图象向左平移π6 个单位后所得函数图象的解析式是

奇函数,则函数 f(x)在???0,π2 ???上的最小值为(

)

3 A.- 2

1 B.-2

C.12

D.

3 2

答案 A

解析 由函数 f(x)的图象向左平移π6 个单位得 g(x)=sin???2x+φ +π3 ???的图象,

因为是奇函数,所以 φ +π3 =kπ ,k∈Z,

又因为|φ |<π2 ,所以 φ =-π3 ,

所以 f(x)=sin???2x-π3 ???. 又 x∈???0,π2 ???,所以 2x-π3 ∈???-π3 ,23π ???,

所以当 x=0 时,f(x)取得最小值为- 23.

6.(2016·太原模拟)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )???ω >0,|φ |<π2 ???的最小正周期是 π ,

若将 f(x)的图象向右平移π3 个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象(

)

A.关于直线 x=1π2对称

B.关于直线 x=51π2 对称

C.关于点???π12,0???对称

D.关于点???51π2 ,0???对称

答案 B

解析 由题意知2ωπ =π ,∴ω =2;

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又由 f(x)的图象向右平移π3 个单位后得到 y=sin[2???x-π3 ???+φ ]=sin???2x+φ -23π ???,此时
关于原点对称,

∴-23π +φ =kπ ,k∈Z,

∴φ =2π3 +kπ ,k∈Z,

又|φ |<π2 ,

∴φ =-π3 ,

∴f(x)=sin???2x-π3 ???.

当 x=π12时,

2x-π3 =-π6 ,

∴A、C 错误;

当 x=51π2 时,

2x-π3 =π2 ,

∴B 正确,D 错误.

7.(2016·全国丙卷)函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=sin x+ 3cos x 的图象

至少向右平移________个单位长度得到.

答案

2π 3

解析 y=sin x- 3cos x=2sin???x-π3 ???,y=sin x+ 3cos x=2sin???x+π3 ???,因此至少向
右平移2π3 个单位长度得到.

8.(2017·长春质检)设偶函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,0<φ <π )的部分图象如图 所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 f(16)的值为________.

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答案

3 4

解析 由题意知,点 M 到 x 轴的距离是12,根据题意可设 f(x)=12cos ω x,

又由题图知12·2ωπ =1,所以 ω =π , 所以 f(x)=12cos π x,

故 f(16)=12cos

π 6



3 4.

9.(2015·天津)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.若函数 f(x)在区间(- ω ,ω )内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为________.

答案

π 2

解析 f(x)=sin ω x+cos ω x= 2sin???ω x+π4 ???, 因为 f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增,且函数图象关于直线 x=ω 对称,所以 f(ω )必为 一个周期上的最大值,所以有 ω ·ω +π4 =2kπ +π2 ,k∈Z,所以 ω 2=π4 +2kπ ,k∈Z.





ω

-(-ω

)≤

ω 2

,即 ω 2≤π2 ,即 ω 2=π4 ,所以 ω =

π 2

.

10.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ω t+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π2 )的图象

如图所示,则当 t=1100秒时,电流强度是________安.

答案 -5 解析 由图象知 A=10,T2=3400-3100=1100, ∴ω =2πT =100π ,∴I=10sin(100π t+φ ).
∵图象过点???3100,10???,
∴10sin(100π ×3100+φ )=10,
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∴sin(π3 +φ )=1,π3 +φ =2kπ +π2 ,k∈Z, ∴φ =2kπ +π6 ,k∈Z, 又∵0<φ <π2 ,∴φ =π6 . ∴I=10sin???100π t+π6 ???, 当 t=1100秒时,I=-5 安. 11.已知函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图象过点 P(π12,0),图象上与点 P 最近的一 个最高点是 Q(π3 ,5). (1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间. 解 (1)依题意得 A=5,周期 T=4(π3 -1π2)=π , ∴ω =2ππ =2. 故 y=5sin(2x+φ ),又图象过点 P(1π2,0), ∴5sin(π6 +φ )=0, 由已知可得π6 +φ =0,∴φ =-π6 , ∴y=5sin(2x-π6 ). (2)由-π2 +2kπ ≤2x-π6 ≤π2 +2kπ ,k∈Z, 得-π6 +kπ ≤x≤π3 +kπ ,k∈Z, 故函数 f(x)的递增区间为[kπ -π6 ,kπ +π3 ] (k∈Z). 12.已知函数 f(x)= 3cos2x+sin x·cos x- 23. (1)求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)的对称中心为(x,0),求 x∈[0,2π )的所有 x 的和.
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解 (1)由题意得 f(x)=sin(2x+π3 ),∴T=22π =π , 令-π2 +2kπ ≤2x+π3 ≤π2 +2kπ ,k∈Z. 可得函数 f(x)的单调递增区间为[-51π2 +kπ ,π12+kπ ],k∈Z. (2)令 2x+π3 =kπ ,k∈Z,可得 x=-π6 +k2π ,k∈Z. ∵x∈[0,2π ),∴k 可取 1,2,3,4. ∴所有满足条件的 x 的和为26π +56π +8π6 +116π =133π . *13.(2016·潍坊模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,0<φ <π2 )的部分图象如图所 示.

(1)求 f(x)的解析式;

(2)设 g(x)=[f(x-π12)]2,求函数 g(x)在 x∈[-π6 ,π3 ]上的最大值,并确定此时 x 的值.

解 (1)由题图知 A=2,T4=π3 ,

则2π ω

=4×π3

,∴ω

=32.

又 f(-π6 )=2sin[32×(-π6 )+φ ]

=2sin(-π4 +φ )=0,

∴sin(φ -π4 )=0,

∵0<φ <π2 ,∴-π4 <φ -π4 <π4 ,

∴φ -π4 =0,即 φ =π4 ,

∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin(32x+π4 ).

(2)由(1)可得

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f(x-π12)=2sin[32(x-1π2)+π4 ]

=2sin(32x+π8 ),

1- ∴g(x)=[f(x-π12)]2=4×

x+π4 2

=2-2cos(3x+π4 ),

∵x∈[-π6 ,π3 ],∴-π4 ≤3x+π4 ≤54π ,

∴当 3x+π4 =π ,即 x=π4 时,g(x)max=4.

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