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秋学期高中数学北师大版必修一3.1指数函数教案

秋学期高中数学北师大版必修一3.1指数函数教案


3.1.2 指数函数(一) 【学习要求】 1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念; 2.掌握指数函数的图象及性质; 3.初步学会运用指数函数来解决问题. 【学法指导】 通过了解指数函数的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;通过展示函数图象,用数形结合的方法从具体 到一般地探索、概括指数函数的性质. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.指数函数的定义:一般地,函数 y=ax (a>0,a≠1,x∈R)叫做指数函数. 2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的图象过定点 (0,1). 3.指数函数 y=ax (a>0,a≠1,x∈R),当 a>1 时,在(-∞,+∞)上是单调增函数当 0<a<1 时在(-∞,+∞)上是单调减函数. 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境]印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下,请你在这张棋盘的第一个小格内, 赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格加一倍. 直到 摆满棋盘上 64 格”,国王说:“你的要求不高,会如愿以偿的”.于是,下令把一袋麦子拿到宝座前,计算麦粒的工作开始了. 还没到第二十小格,袋子已经空了,一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那样迅速, 很快看出,即使拿出来全印度的粮食,国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想,共需要多少粒麦子? 探究点一 指数函数的概念 问题 1 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个,…,一个细胞分裂 x 次后,得到细胞的个数 为 y,则 y 与 x 的函数关系是什么呢? 答:x=0,y=1;x=1,y=2;x=2,y=2× 2=4;x=3,y=22× 2=8,…,y=2x. 问题 2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过 1 年剩留的质量约是原来的 84%.这种物质的剩留量随时间(单 位:年)变化的函数关系是怎样的? 答:设最初的质量为 1,时间变化量用 x 表示,剩留量用 y 表示,则经过 x 年,y=0.84x. 问题 3 在上述两问题关系式中,如果用字母 a 代替 2 和 0.84,那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式? 答:表示成 y=ax 的形式. 小结:指数函数的定义:一般地,函数 y=ax (a>0,a≠1,x∈R)叫做指数函数. 问题 4 指数函数的定义中为什么规定了 a>0 且 a≠1? 答:将 a 如数轴所示分为:a<0,a=0,0<a<1,a=1 和 a>1 五部分进行讨论: 1 1 (1)如果 a<0,比如 y=(-4)x,这时对于 x= ,x= 等,在实数范围内函数值不存在; 4 2 x ? ?当x>0时,a =0, (2)如果 a=0,? x ?当x≤0时,a 无意义; ? x (3)如果 a=1,y=1 =1,是个常值函数,没有研究的必要; (4)如果 0<a<1 或 a>1 即 a>0 且 a≠1,x 可以是任意实数. 例 1 在下列的关系式中,哪些是指数函数,为什么? + (1)y=2x 2; (2)y=(-2)x; (3)y=-2x; (4)y=πx; (5)y=x2; (6)y=(a-1)x(a>1,且 a≠2). x 2 解:只有(4),(6)是指数函数,因为它们满足指数函数的定义;(1)中解析式可变形为 y=2 · 2 =4· 2x,不满足指数函数的形 式;(2)中底数为负,所以不是;(3)中解析式多一负号,所以不是;(5)中指数为常数,所以

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