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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 解答题规范专练(五)平面解析几何

【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 解答题规范专练(五)平面解析几何

解答题规范专练(五)

平面解析几何

1.已知椭圆 C: +y =1 的上、下顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆 4 上,且异于点 A,B,直线 AP,BP 与直线 l:y=-2 分别交于点 M,N. (1)设直线 AP,BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (2)求线段 MN 长的最小值. 2. (2015·北京西城模拟)已知 A, B 是抛物线 W: y=x 上的两个点, 点 A 的坐标为(1,1), 直线 AB 的斜率为 k(k>0).设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方. (1)求 k 的取值范围; (2)设 C 为 W 上一点,且 AB⊥AC,过 B,C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D, 判断四边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由. 3.(2014·辽宁高考)圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形, 当该三角形面积最小时,切点为 P(如图),双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3.
2 2 2

x2

2

x2 y2 a b

(1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点, 直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A, B 两点. 若 以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程.





1.解:(1)由题意,A(0,1),B(0,-1), 令 P(x0,y0),则 x0≠0,

1

∴直线 AP 的斜率 k1=

y0-1 , x0

y0+1 BP 的斜率 k2= . x0
又点 P 在椭圆上,∴ +y0=1(x0≠0), 4 1- -1 4 y2 1 0-1 从而有 k1k2= 2 = =- . 2 x0 x0 4 即 k1k2 为定值. (2)由题设可以得到直线 AP 的方程为

x2 0

2

x2 0

y-1=k1(x-0),
直线 BP 的方程为 y-(-1)=k2(x-0),
?y-1=k1x, ? 由? ? ?y=-2

3 ? ?x=- , k1 得? ? ?y=-2, 1 ? ?x=- , k 2 得? ? ?y=-2,

?y+1=k2x, ? 由? ?y=-2 ?

? 3 ? ∴直线 AP 与直线 l 的交点 M?- ,-2?, ? k1 ? ? 1 ? 直线 BP 与直线 l 的交点 N?- ,-2?. ? k2 ?
1 又 k1k2=- , 4

? 3 1? ?3 ? ?3? ∴|MN|=?- + ?=? +4k1?=? ?+|4k1| k k k k ?
1 2

? ?

1

? ? 1?

≥2

? 3 ?·|4k |=4 3, ?k1? 1 ? ?

3 ?3? 当且仅当? ?=|4k1|,即 k1=± 时等号成立, 2 ?k1? 故线段 MN 长的最小值是 4 3.

? 1? 2 2.解:(1)抛物线 y=x 的焦点为?0, ?. ? 4?
由题意,得直线 AB 的方程为 y-1=k(x-1), 令 x=0,得 y=1-k,即直线 AB 与 y 轴相交于点(0,1-k). 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,

2

1 3 所以 1-k> ,解得 k< . 4 4 3 因为 k>0,所以 0<k< . 4

? 3? 即 k 的取值范围是?0, ?. ? 4?
(2)结论:四边形 ABDC 不可能为梯形. 理由如下: 假设四边形 ABDC 为梯形. 由题意,设 B(x1,x1),C(x2,x2),D(x3,y3), 联立方程?
? ?y-1=k?x-1?, ?y=x , ?
2 2 2 2

消去 y,得 x -kx+k-1=0, 由根与系数的关系,得 1+x1=k, 所以 x1=k-1. 1 同理,得 x2=- -1.

k

对函数 y=x 求导,得 y′=2x, 所以抛物线 y=x 在点 B 处的切线 BD 的斜率为 2x1=2k-2, 2 2 抛物线 y=x 在点 C 处的切线 CD 的斜率为 2x2=- -2.
2

2

k

由四边形 ABDC 为梯形, 得 AB∥CD 或 AC∥BD. 2 若 AB∥CD,则 k=- -2,

k

即 k +2k+2=0, 因为方程 k +2k+2=0 无解, 所以 AB 与 CD 不平行. 1 若 AC∥BD,则- =2k-2,
2

2

k

即 2k -2k+1=0, 因为方程 2k -2k+1=0 无解, 所以 AC 与 BD 不平行. 所以四边形 ABDC 不是梯形,与假设矛盾. 因此四边形 ABDC 不可能为梯形. 3.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),
3
2

2

则切线斜率为- , 切线方程为 y-y0=- (x-x0), 即 x0x+y0y=4, 此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为

x0 y0

x0 y0

S= · · = . 2 x0 y0 x0y0
由 x0+y0=4≥2x0y0 知当且仅当 x0=y0= 2时 x0y0 有最大值,即 S 有最小值, 因此点 P 的坐标为( 2, 2). 2 2 ? ? 2- 2=1, a b 由题意知? 2 ? ?a +b2=3a2, 故 C1 的方程为 x - =1. 2 (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), 由此设 C2 的方程为 其中 b1>0. 2 2 由 P( 2, 2)在 C2 上,得 2+ 2=1, 3+b1 b1 解得 b =3,因此 C2 的方程为 + =1. 6 3 显然,l 不是直线 y=0. 设 l 的方程为 x=my+ 3, 点 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 1 2 2 2

1

4

4

8

解得 a =1,b =2,

2

2

y2

x2
3+b

2 1

+ 2=1,

y2 b1

x2 y2

? ?x=my+ 3, 由?x2 y2 + =1, ? ?6 3

得(m +2)y +2 3my-3=0.

2

2

又 y1,y2 是方程的根, 2 3m ? ?y +y =-m +2, 因此? -3 yy= ? ? m +2. ②
1 2 2 1 2 2



由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得

4

4 3 ? ?x +x =m?y +y ?+2 3=m +2,③ ? 6-6m ? ?x x =m y y + 3m?y +y ?+3= m +2 .④
1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2

因为 AP =( 2-x1, 2-y1),

??? ?

??? ? BP =( 2-x2, 2-y2), ??? ? ??? ? 由题意知 AP · BP =0,
所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m -2 6m+4 6-11=0, 3 6 6 解得 m= -1 或 m=- +1. 2 2 因此直线 l 的方程为
2

x-?

?3 6 ? ? 6 ? -1?y- 3=0 或 x+? -1?y- 3=0. ? 2 ? ?2 ?

5


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