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山东省潍坊市2013届高三3月第一次模拟考试数学(理)试题

山东省潍坊市2013届高三3月第一次模拟考试数学(理)试题


20 1 3 年高考模拟考试



学(理工农医类)

2013.3

本试卷共 4 页,分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第 1 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 1 2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z ? 只

3?i 的共轭复数 z ? 1? i (A) 1 ? 2i (B) 1 ? 2i

(C) 2 ? i

(D) 2 ? i

x 2.设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A ? B ?

?

?

(A) ?1, 2 ?

(B) ?1, 2?

(C)[1,2)

(D) (1,2]

3.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ∥平面 ? ,则“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要条件

4.设随机变量 X ~ N (3,1),若 P( X ? 4) ? p ,),则(2<X<4)= ( A)

1 ?p 2

( B)l —p

(C)l-2p

(D)
2

1 ?p 2

5. 设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x g ( x) 的部分图象可以为.

6.运行右面框图输出的 S 是 254,则①应为 (A)a≤5 (B)a≤6 (C)a≤7 (D)a≤8 7.若不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? k ?1 对任意的 x ? R 恒成恒成立,则实数 k 的取值范围 (A) (-2,4) (B) (0,2) (C) [2,4] (D) [0,2]

8.某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作,并按出发顺序前后排成 一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则 它们出发时不能相邻,那么不同排法种数为 (A)360 (B)520 (C)600 (D)720 9. 定义

a1 a 2 a3 a 4

若函数 f ( x) ? ? a1a4 ? a2 a3 ,

sin 2 x 1

cos2x 3



则将 f ( x ) 的图象向右平移 的方程是 (A) x ? (D) x ? ?

? 个单位所得曲线的一条对称轴 3

?
6

(B) x ?

?
4

(C) x ?

?
2

1 0.已知 ? , ? ? (0, (A)

?
2

) ,满足 tan(? ? ? ) ? 4 tan ? ,则 tan ? 的最大值是
(B)

1 4

3 4

(C)

3 2 4

(D)

3 2
线

1 1. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合, 抛物线的准 4 5

与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且 AK ? (A) 2 2 (B)3 (C) 2 3
?x

2 AF ,则 A 点的横坐标为
(D)4

1 2.已知 f ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 3), g ( x) ? 2

? 2 ,同时满足以下两个条件:

① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ;[来源:学科网][来源:学科网] ② ?x ? (1, ??),f ( x) ? g ( x) ? 0 成立, 则实数 a 的取值范围是 (A) ( ?4, ) (C) (?4, ?2) ? (? , 0)

1 2

1 2

1 , 0) 2 1 1 (D) (?4, ?2) ? (? , ) 2 2
(B) (??, ?4) ? (?

第Ⅱ卷

(非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 1 6 分.

x2 y 2 1 3.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a b
线的离心率等于 。 1 4.已知一圆 柱内接于球 O,且圆柱的底面直径与母线长均为 2,则球为 O 的表面积为 1 5.在区间 ? 0, 4? 内随机取两个数 a、b, 则使得函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率
2 2

双曲



为 。 1 6.现有一根 n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为 10cm, 最下面的三节长度之和为 114cm,第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中 项,则 n= 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的两

个相邻对称中心的距离为

? ? ,且过点 ( ,1) . 3 2

(I) 函数 f ( x ) 的达式;[来源:学科网] (Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 5 , S?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角。且满 f (

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

1 8. (本小题满分 12 分) 某电视台举办有奖竞答活动,活动规则如下:①每人最多答 4 个小题;②答题过程中,若 答对则继续答题,答错则停止答题;③答对每个小题可得 1 0 分,答错得 0 分.甲、乙两人参加
[来源:学科网 ZXXK]

了此次竞答活动, 且相互之间没有影响. 已知甲答对每个题的 概率为 ( I )设甲的最后得分为 X,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为 20 分的概率.

1 2 , 乙答对每个题的概为 . 3 3

1 9. (本小题满分 1 2 分) 如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC, AD =6,BC =4,AB =2,点 E,F 分别在 BC,AD 上, 且 E 为 BC 中点,EF∥AB。现将四边形 ABEF 沿 EF
[来源:Zxxk.Com]

? 折起,使二面角 A ? EF ? D 等于 60 .

( I )设这 P 为 AD 的中点,求证:CP∥平面 ABEF; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分) o, ‘

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

已知数列 ?an ? 的各项排成如图所示的三角形数阵, 数阵中每 一行的第一个数 a1 , a2 , a4 , a7 , ??? 构成等差数列 ?bn ? , Sn 是 ?bn ? 的 前 n 项和,且 b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15

( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且 公比相等,已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值; ( Ⅱ ) 设 Tn ?

1 1 1 ? ? ??? ? Sn?1 Sn ? 2 S2 n

, 当 m?? ?1 , ? 时 , 对 任 意 n ? N , 不 等 式 1
?

8 t 3 ? 2mt ? ? Tn 恒成立,求 t 的取值范围. 3

21. (本小题满分 12 分) 如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正 半轴相交于两点 M,N(点 M 必在点 N 的右侧) ,且 MN ? 3

椭圆 D:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 2 ON ,且过点 a 2 b2

( 2,

6 ) 2

( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 D 与 x 轴负半轴的交点为 P,若过点 M 的动直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点, ?ANM ? ?BNP 是否恒成立?给出你的判断并说明理由.

22. (本小题满分 14 分)

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 ( I )若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P, 且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的图象上, 2
设函数 f ( x) ? 求 m 的值; (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 2

使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点 在 y 轴上?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

2013 年高考模拟考试

[来源:学_科_网]

数学(理工农医类)参考答案及评分标准
一、选择题( 每小题 5 分,共 60 分) BDACC CBCAB BC[来源:学,科,网] 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 5 14. 8π 15.

2013.3

1 4

16. 16

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) =

3 1 sin(wx + j ) + [1- cos(wx + j ) ] 2 2

= sin( wx + j -

π 1 ) + .??????????????????????????? 2 分 6 2

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

π Q 两个相邻对称中心的距离为 ,则 T = π ,?????????????????? 3 分 2

\

2π = π, Q w>0, \ w=2 ,????????????????????????? 4 分 |w|
π 3

又 f ( x ) 过点 ( ,1) ,

骣 骣 2π π 1 π 1 \ sin 珑 - + j 鼢 = 1, 即sin + j = , + 鼢 珑 鼢 2 珑 桫 桫 3 6 2 2
\ cos j = 1 ,??????????????????????????????? 5 分 2 π π π 1 Q 0 < j < , \ j = , \ f ( x ) = sin(2 x + ) + . ?????????????? 6 分 2 3 6 2

(Ⅱ) f 珑 珑 珑

骣 C 桫 2

骣 π π π鼢 1 1 7 = + = sin C + = , 鼢 sin C - + 鼢 桫 6 6 12 2 2 6

\ sin C =

2 ,?????????????????????? ?????? ??? 8 分 3

Q0< C <
又a =

π 5 ,????????????????????????? 9 分 , \ cos C = 2 3
1 1 2 ab sin C = 创 5 b ? 2 2 3
2 2

5, SD ABC =

2 5,

\ b = 6 ,????????????????????????????????? 11 分
由余弦定理得 c = a + b - 2ab cos C = 21 ,
2

\ c=

21 . ???????????????????????????????? 12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (I) X 的取值可为:0,10,20,30,40. ????????? ???? ?????1 分

P( X = 0) = 1 -

1 2 = , 3 3

P( X = 10) =

1 骣 1÷ 2 ??1 ÷= , ? 桫 3 ? 3÷ 9
2

骣 骣 1 1 2 , P( X = 20) = 珑鼢 1= 珑鼢 珑鼢 桫 桫 3 3 27 骣 骣 1 1 2 ,[来源:Z+xx+k.Com] P( X = 30) = 珑鼢 1 ? = 珑鼢 桫 珑鼢 桫 3 3 81 骣 1 1 . P( X = 40) = ? ÷ = ? ÷ ?3÷ 81 桫
\ X 的分布列如下:
4 3

X P
网]

0

10

20

30

40

[来源:学科

2 3

2 9

2 27

2 81

2 数学期望 EX = 0 ? 3

2 1 400 30 ? 40 ? . ????????7 分 81 81 81 (II)设“甲、乙最后得分之和为 20 分”为事件 A , “甲恰好得 0 分且乙恰好得 20 分”为事件 “恰好得 10 分且乙恰好得 10 分”为事件 C , “甲恰好得 20 分且乙恰好得 0 分”为事件 D , B, 则事件 B 、 C 、 D 互斥,且 A = B + C + D .

2 10 ? 9

1 81 2 20 ? 27

??????????????5 分

骣 1 骣 2 又 P( B ) = 珑 鼢 1 鬃 珑- 鼢 珑 3鼢 3 桫 桫
P(C ) =

2

骣 2 8 , 1= 桫 3 81

1 骣 1 鼢2 骣 2 4 , ?珑 鼢 11 鬃 = 珑 鼢 桫 桫 3 珑 3 3 3 81
2

骣 骣 1 1 1 P( D) = 珑鼢 1 ? ? 珑鼢 桫 珑鼢 桫 3 3 3

2 . ???????????????????????? 10 分 81
8 4 2 14 + + + . ????? 12 分 81 81 81 81

\ P( A) = P( B + C + D ) = P ( B ) + P (C ) + P ( D ) =
19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)取 AF 的中点 Q ,连 QE 、 QP ,

1 DF ,又 DF = 4, EC = 2, 且DF ∥ EC , 2 EC ,即四边形 PQEC 为平行四边形,??????????????? 3 分 所以 PQ
则 QP 所以 CP ∥ QE ,又 QE ? 平面 ABEF , CP ? 平面ABEF , 故 CP ∥平面 ABEF . ????????????????????????????4 分 (Ⅱ)由题知折叠后仍有 EF ^ AF , EF ^ FD ,则 EF ^ 面AFD ,

\

AFD 为二面角 A - EF - D 的平面角,????????? ??????????5 分 60 ,[来源:学_科_网]

即 ? AFD

过 A 作 AO ^ FD于O, 又 Q AO ^ EF , \ AO ^ 平面CDFE , 作 OG ∥ EF 交 EC 于 G ,则 OG ^ FD, AO ^ OG , 分别以 OG, OD, OA 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 O - xyz ,???????7 分 在 RtD AOF 中, AF = 2, ? AFO

60 ,则 FO = 1, OA =

3,

\ F (0,- 1,0), A(0,0, 3), D(0,3,0), C(2,1,0) .??????????????????8 分 uuu r uuu r uuu r \ AF = (0,- 1,- 3), AD = (0,3,- 3), CD = (- 2,2,0) , uuu r ì n ?AD 0 ì 3 y - 3z = 0 ? ? ? 设平面 ACD 的一个法向量 n = ( x, y, z ) 则 镲 uuu , 即 眄 r 镲 ?CD 0 - 2x + 2 y = 0 n 镲 ? ? ?
令z=

3, 得y = 1, x = 1,

\ n = (1,1, 3), ???????????????????????????????10 分
则 cos < n, AF > =

uuu r

| - 1- 3 | 2 = 5 ,?????????????????????11 分 5 2? 5
2 5 .?????????????????12 分 5

\ 直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值为
20.(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)? {bn } 为等差数列,设公差为 d , b1 ? 1, S5 ? 15,? S5 ? 5 ? 10d ? 15, d ? 1
?bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n. ????????????????????????????2 分

设从第 3 行起,每行的公比都是 q ,且 q ? 0 , a9 ? b4 q2 ,4q2 ? 16, q ? 2, ????????4 分 1+2+3+?+9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数, 而 a50 ? b10 q4 ? 10 ? 24 ? 160. ???????????????????????????6 分 [来源:Z。xx。k.Com] (Ⅱ)? Sn ? 1 ? 2 ? ? ?n ?
? Tn ? ? 1 1 1 ? ??? Sn ?1 Sn ? 2 S2n

n(n ? 1) , [来源:学+科+网] 2

2 2 2 ? ??? ( n ? 1)( n ? 2) ( n ? 2)( n ? 3) 2n (2n ? 1)

? 2(

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2n 2n ? 1 1 1 2n ? 2( ? )? . ??????????? ????????????8 分 n ? 1 2n ? 1 ( n ? 1)(2n ? 1)

令 f ( x) =

2x (x ( x + 1)(2 x + 1)

1) , f ? x ) = (

2 - 4 x2 , ( x + 1)2 (2 x + 1)2

当 x ? 1 时 f ? x) < 0, f ( x)在[ + ( 1,

) 上为减函数,
1 . ????????????????????10 分 3

\ Tn 为递减数列,Tn 的最大值为 T1 =

\ 不等式变为 t 2 - 2mt - 3 > 0 恒成立,设 g(m) = - 2tm + t 2 - 3, m ? [ 1,1],
则镲 眄

ì g (- 1) > 0 ì 2t + t 2 - 3 > 0 ? ? ,即 ,解得 t > 3或t < - 3 . ???????????12 分 2 镲 (1) > 0 ?g ? ? - 2t + t - 3 > 0 ?

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ,由题意,圆心为 ( r , 2) ,

骣 3 25 因为 | MN |= 3, 所以r = ? ÷ + 22 = , ? ÷ ?2 ÷ 桫 4
2

2

故圆 C 的方程为 ( x -

5 2 25 ) + ( y - 2) 2 = .① ????????????????2 分 2 4

在①中,令 y = 0得x = 1或x = 4, 所以N ( 0)M ( 0) 1, , 4, , 即 2c = 1, c = 1 . ?????????????????????????????3 分

2 3 + = 1, 消去a得2b4 - 5b2 - 3 = 0, 2 a 2b 2 1 2 2 2 解得 b = 3或b = - (舍去) ,则 a = 4, 2


x2 y2 + = 1 .??????????? ???????????5 分 故椭圆 D 的方程为 4 3
(Ⅱ)恒有 ? ANM

BNP 成立,

Q 点 M 在椭圆的外部, \ 直线 l 可设为 y = k ( x - 4) .
ì x2 y2 ? ? + =1 * 由? 4 得(3 + 4k 2 ) x 2 - 32k 2 x + 64k 2 - 12 = 0, ○ í 3 ? ? y = k ( x - 4) ? ?
32k 2 64k 2 - 12 , x1 x2 = 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = . ????????7 分 3 + 4k 2 3 + 4k 2
因为 k AN + k BN =

y1 y2 k ( x1 - 4) k ( x2 - 4) + = + x1 - 1 x2 - 1 x1 - 1 x2 - 1

= k

( x1 - 4)( x2 - 1) + ( x2 - 4)( x1 - 1) ( x1 - 1)( x2 - 1) 5( x1 + x2 ) + 8]
160k 2 + 8 = 0 . ??????????????10 分 3 + 4k 2

=

k ?[2 x1 x2 ( x1 - 1)( x2 - 1)

=

轾 k 2 - 12) k 2(64 ?犏 ( x1 - 1)( x2 - 1) 犏 3 + 4k 2 臌

所以 k AM = - kBN , 即? ANM

BNP .?????????????????????11 分

1 * , 此时,对方程○, D = 0 ,不合题意. 2 BNP 恒成立. ????12 分 综上,过点 M 的动直线 l 与椭圆 D 交于 A, B 两点, ? ANM
当 x1 = 1或x2 = 1 时, k = 22. (本小题满 14 分) (Ⅰ)令 ln( x - 1) = 0 ,则 x = 2 ,?????????????????????1 分

3 的对称点为(1,0) ,????????? ???????????2 分 2 1 m + (4 + m) = 0, \ m = - 3 . ????????????????3 分 由题知 f (1) = 0, \ 3

\ P(2,0) 关于 x =

(Ⅱ) F ( x) = mx 2 + 2(4 + m) x + 8ln x ,定义域为 (0, +

) ,??????????4 分

F ? x ) = 2mx + (8 + 2m) + (

8 x

=
=

2mx 2 + (8 + 2m) x + 8 x

(2mx + 8)( x + 1) . ????????????????????????????5 分 x Q x > 0, 则 x + 1 > 0 ,

( \ 当 m ? 0 时, 2mx + 8 > 0, F ? x) > 0, [来源:Z。xx。k.Com]
此时 F ( x)在( + ? )上单调递增,???????????????????????6 分 0,

( 当 m < 0 时,由 F ? x ) > 0得0 < x < ( 由 F ? x ) < 0 得x > 此时 F ( x ) 在?0, ?

4 , m

4 , m

骣 ? 桫

4÷ ÷上为增函数, m÷

在 ??

骣4 ? m ,+ 桫

÷为减函数,??????????????????????????8 分 ÷ ÷

综上当 m ? 0 时, F ( x)在( + ? )上为增函数, 0,

骣 4 骣4 m < 0 时,在 ?0, - ÷上为增函数,在 ?÷ ? ? ÷ ? ? m ,+ 桫 m 桫

÷为减函数. ??????????9 分 ÷ ÷

ì- x + x ,x ? (Ⅲ)由条件(Ⅰ)知 G ( x ) = ? í
3 2

2,

? a ln( x - 1), x > 2, ? ?

.

假设曲线 y = G( x ) 上存在两点 P 、 Q 满足题意,则 P 、 Q 两点 只能在 y 轴两侧,
3 2 设 P(t, G(t ))(t > 0), 则 Q(- t, t + t ),

Q D POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,

uur uuu r \ OP ?OQ
(1)当 0 < t

0, \ - t 2 + G(t )(t 3 + t 2 ) = 0 .① ????????????????11 分
2 时,

\ G(t ) = - t 3 + t 2 ,
此时方程①为 - t 2 + (- t 3 + t 2 )(t 3 + t 2 ) = 0, 化简得 t - t + 1 = 0 . 此方程无解,满足条件的 P 、 Q 两点不存在. ????????????????12 分 (2)当 t > 2 时, G(t ) = a ln(t - 1) ,方程①为 - t 2 + a ln(t - 1)(t 3 + t 2 ) = 0, 即
4 2

1 = (t + 1) ln(t - 1), a t+ 1 , t- 1

( 设 h(t ) = (t + 1)ln(t - 1)(t > 1), 则 h? t ) = ln(t - 1) +
显然当 t > 2 时 h(t ) > 0即h(t )在( + 2,

)为增函数, ) ,

\ h(t ) 的值域为 (h(2), + ゥ), 即( + 0,

\ 当 a > 0 时方程①总有解.
0, 综上若存在 P 、 Q 两点满足题意,则 a 的取值范围是 ( + ? ).
??????14 分


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