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新课标人教B版高中数学(必修1)单元测试-第二章函数(一)

新课标人教B版高中数学(必修1)单元测试-第二章函数(一)


必修 1 第二章《函数》试题精选
一、选择题 1 . **** 给 出 如 下 3 个 等 式 : f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,

f ( xy ) ? f ( x) f ( y) ,则函数① f ( x) ? x 2

② f ( x) ? 3 x

③ f ( x) ?

1 x



f ( x) ? 0

都满足上述 3 个等式的是 D B f ( x) ? 3 x C f ( x) ?

A f ( x) ? x 2

1 x

D f ( x) ? 0

2.函数 y ? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m], 值域为[- ( ) A [0,4] B. [ ,3]

25 ,-4] ,则实数 m 的取值范围是 4
C. [ , 4 ]

3 2

3 2

D. [ ,?? )

3 2

3.***若 f(x)= -x2+2ax 在区间[0, 1]上是增函数, 在区间[2, 3]上是减函数, 则实数 a 的取值 范围是C A. [0, 3] B. [-1, 0] C. [1, 2] D. [0, 1]

4.***若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??, 0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得

f ( x) ? 0 的 x 取值范围是 ( D )
A、 (??, 2) B、 (2, ??) C、 (??, ?2) ? (2, ??) D、 (?2, 2)

5.函数 f(x)=|x+2|+|x-1|的单调递增区间是 B A (-2,+∞) B [1,+∞) C (-∞,1] D (-∞,-2] )

6.***定义在 R 上的偶函数 f ( x),满足f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且在区间 [?1,0] 上递增, 则 ( A f (3) ? f ( 2 ) ? f (2) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2 ) 7.函数 y ? ? B. f (2) ? f (3) ? f ( 2 ) D. f ( 2 ) ? f (2) ? f (3)

y

1 的图象是( C ) x ?1 y

y ?1

y

O 1

x

?1 O

x

O 1

x

O

x

(A)

(B) )

(C)

(D)

8.***函数 y ? 2x ?1 ? 3 ? 4x 的定义域为( B A

1 3 (? , ) 2 4

B

1 3 [? , ] 2 4

C

1 3 (??, ] ? [ ,??) 2 4

D

1 (? ,0) ? (0,??) 2


9.***下列对应关系 f 中,不是从集合 A 到集合 B 的映射的是( D A C A= {x x是锐角 ,f:求正弦; },B=(0,1) A= R ,B=R,f:求平方;
?

B A=R,B=R ,f:取绝对值 D A=R,B=R,f:取倒数 ( D )

10.二次函数 y ? 4x2 ? mx ? 5 的对称轴为 x ? ?2 ,则当 x ? 1 时, y 的值为 A ?7 11.***已知 f ( x) ? ? A 2 B B 1 C 17 D 25

( x ? 6) ? x ?5 ,则 f(3)为( A ) ? f ( x ? 2) ( x ? 6)
3 C 4 D 5 C )

12.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中, a ? c ? 0 ,则函数的零点个数是(

A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定 13.向高为 H 的水瓶中注水,注满 为止。如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那 么水瓶的形状是( A ) V

O

H

h (A) (B) (C) (D)

14.***若函数y=f(x)的定义域是{ x | 0 ? x ? 1 }, 则函数F(x)=f(x+ a )+f(2x + a )(0< a <1) 的定义域是( A)

a 1? a ?x? } 2 2 1? a D.{ x | ? a ? x ? } 2
A.{ x | ?

B.{ x | ?

a ? x ? 1? a } 2

C . { x | ?a ? x ? 1 ? a }

15.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且在区间

[0,1] 上是增函数,则 f (?5.5) 、 f (?1) 、 f (2) 的大小关系是(
A. f (?5.5) ? f (2) ? f (?1) C. f (2) ? f (?5.5) ? f (?1)

C )

B. f (?1) ? f (?5.5) ? f (2) D. f (?1) ? f (2) ? f (?5.5)

16.设 f ( x) ? ?

? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为( B ) ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 17.***函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 1 , 则当 x ? 0 时, f ( x ) 的表达式为( B ) A. ? x ? 1 B. ? x ? 1 C. x ? 1 D. x ? 1 18.***设函数 y ? x2 ? 4x ? 3, x ?[1, 4] ,则 f ( x ) 的最小值和最大值为( A )

A.-1 ,3 B.0 ,3 C.-1,4 D.-2,0 x ) ?0 的解集是( D 19.设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( A. x | ?3 ? x ? 0或x ? 3 C. x | x ? ?3或x ? 3



?

?

B. x | x ? ?3或0 ? x ? 3

?

? ?

?

?

D. x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3

?

20.***若 f ( x ? 1) 的定义域为[1,2],则 f ( x ? 2) 的定义域为( )

(A)[0,1] 21.设函数 f ( x) ?

(B)[2,3]

C)[-2,-1]

(D)无法确定

?

x 2 ? bx ? c, x ? 0, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f ( x) ? x 2, x ? 0.

的解的个数为( ). A 1 (B)2 (C)3 (D)4 22.***下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( C ) A . y ? ? x +5( x ? R)
2

B . y ? - x ? x( x ? R)
3

C. y ? x ( x ? R)
3

D.

1 y ? ? ( x ? R , x ? 0) x
23.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x+2) =- f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x)=x ,则 f (7.5) 等 于( A ) A - 0.5 B 0.5 C 1.5 D - 1.5 24.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过 200 元,则不给予优惠; (2)如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; (3)如果超过 500 元, 其 500 元内的按第(2)条给予优惠, 超过 500 元的部分给予 7 折优 惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次性购买上述两次同样的商品, 则应付款是 C A.413.7 元 B.513.7 元 C.546.6 元 D.548.7 元
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25.**** 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f

? x? ? f?

x ?2? ?1 3, 若 f ?1? ? 2 , 则

f ? 99? ? (
(A) 13

) (B) 2 (C)

13 2

(D)

2 13

26.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的 元素 2n+n,则在映射 f 下,B 中的元素 20 对应 A 中的元素是( C ) A.2 B.3 C.4 D.5

27.已知奇函数 f ( x) 的图象是两条直线的一部分(如图所示) ,其定义域为 [?1,0) ? (0,1] , 则不等式 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集是 B A. ?x | ?1 ? x ? 1且x ? 0? B. ? x | ?1 ? x ? ? 或0 ? x ? 1?

? ?

1 2

? ?
?1

y
1

C. ?x | ?1 ? x ? 0?

D. ? x | ?1 ? x ? 0或

? ?

1 ? ? x ? 1? 2 ?

o
?1

1 x

28.***若对于任意实数 x 总有 f (? x) ? f ( x) ,且 f ( x ) 在区间 (??, ?1] 上是增函 数,则 ( D )
3 B. f ( ? 1) ? f ? ( 2 ) ? f (2)

3 A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f (2) 2 3 C. f (2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) 2

3 D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2

29.***设 f : x ? x 2 是集合 A 到集合 B 的映射,如果 B={1,2},则 A∩B 一定是(B) A. ? B. ? 或{1}
y ? f ( x ? 1)

C.{1}

D. ?
f (0)

30.*** 定义在 R 上的函数

的图象如右图所示.给出如下命题:①

=1 ;②
y

f (?1) ? 1 ;③若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ;④若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ,其中正确的是

B D、①③
?1

1
O

A、②③

B、①④

C、②④

x

31.定义在 R 上的函数 y=f(x)不恒为零,同时满足 f (x+y)=f (x)f (y),且当 x>0 时,f(x)>1, 则当 x<0 时,一定有(A ) A.0<f(x)<1 B.-1<f(x)<0 C.f(x)>1 D.f(x)<-1 32.若 f ( x) ? x ,则对任意实数 x1,x2,下列不等式总成立的是 A
2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )≤ 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )≥ (C) f ( 2 2
(A) f (

(B) f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )< 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )> (D) f ( 2 2

33.***下列对应中是集合 A 到集合 B 的映射的个数为 C

①A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},对应法则 f:x→y = x+1,x∈A,y∈B; ②A={x|-1<x<1 } ,B={y|0<y<1 } ,对应法则 f:x→y =|x|,x∈A,y∈B; ③A={x|x∈R},B={y|y≥0},对应法则 f:x→y = x2,x∈A,y∈B. A 0 B 1 C 2

D

3 )

34***若对于任意实数 x 总有 f (? x) ? f ( x) , 且 f ( x) 在区间 (??,?1] 上是增函数, 则( D A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) 35.函数 y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为 A、 ? 0, 2? B、 ? 0, 4?

3 2

B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2)

3 2

3 2 3 D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2
) D、 ?0, ???

( A

C、 ? ??,4?

36.若函数 y ? x 2 ? 4 x ? 2 的定义域为 ?0, m? ,值域为 ?? 6,?2? ,则 m 的取值范围是(B ) A、 ?0,4? B、 ?2,4? C、 ?0,2? D、 ?2,4? 37.函数 y ? ax2 ? bx ? 3 在 ?? ?,?1?上是增函数,在 ?? 1,??? 上是减函数,则( B ) A、 b ? 0且a ? 0 B、 b ? 2 a ? 0 C、 b ? 2a ? 0 D 、

a, b的符号不确定
38.若函数 f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调递减,则 A . f(3)+f(4)>0 D. f(4)-f(-1)>0 39.定义在 (??,??) 的奇函数 f ( x) 为增函数; 偶函数 g ( x) 在区间 [0,??) 的图象与 f ( x) 的 图象重合,设 a ? b ? 0 ,给出下列不等式 ① f (b) - f (?a) ? g (a ) - g (?b) ③ f ( a ) - f (?b) ? g (b) - g (?a) 其中成立的是 A A.①与③ ② f (b) - f (?a) ? g (a ) - g (?b) ④ f ( a ) - f (?b) ? g (b) - g (?a) B . f(-3)-f(-2)<0 D

C . f(-2)+f(-5)<0

B.②与③ )
2

C.①与④

D.②与④

40.在区间 (??,0) 上为增函数的是 ( D A. y ? ?( x ? 1)
2

B. y ? 1 ? x
2

C. y ?

?x

D. y ?

x 1? x

41.已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? n ,且 f ? x ? 2? 是偶函数,则 f ?1? , f ? 关系是(A )

?5? ?7? ? , f ? ? 的大小 ?2? ?2?

A. f ? C. f ?

?5? ?7? ? ? f ?1? ? f ? ? ?2? ?2?

B. f ?1? ? f ? D. f ?

?7? ?5? ?? f ? ? ?2? ?2?

?7? ?5? ? ? f ?1? ? f ? ? ?2? ?2?

?7? ?5? ? ? f ? ? ? f ?1? ?2? ?2?

42.若函数 h( x) ? 2 x ? ( A ) A. [?2 , ? ?)

k k ? 在 (1 , ? ? ) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是 x 3
B. [2 , ? ?) C. ( ?? , ? 2] D. ( ?? , 2] B )

43.设 a 为常数,函数 f ( x) = x2 - 4x + 3 . 若 f ( x + a ) 为偶函数,则 a 等于( A. -2 B. 2 C. -1 D. 1

44.函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( D ) (A) f ( x ) 是偶函数 (B) f ( x ) 是奇函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2) (D)

f ( x ? 3) 是奇函数
45. 已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 A 2 1 A. 0 B. C. 1 2
46.函数 f ( x) ? ax ? bx ? c( a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

D.

5 2

b 对称。据此可推测,对任意的 2a

非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 D A. ?1, 2? B ?1, 4? C ?1,2,3,4? D ?1,4,16,64?

47. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) , 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 A x2 ? x1
(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3) (B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

? x 2 ? 4 x, 48.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,

x?0 x?0

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是
2

A (??, ?1) ? (2, ??)

B (?1, 2)

C (?2,1)

D (??, ?2) ? (1, ??)

49.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( D ). B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

? f ( x) ,且当 50. 已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) x ? [0, 2)时, f ( x) ? log2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 C )
A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 2 51.在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数, 则函数 f ?x ? ( B ) A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 52.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则( D ) A. f ?6? ? f ?7? 53.设函数 f ? x ? ? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10?

2x ? x ? R ? ,区间 M ? ?a, b? ?其中a ? b ? ,集合 N ? ? y y ? f ? x ? , x ? M ? ,则使 x ?1

M ? N 成立的实数对 ? a, b ?

有( B ) A.1 个

B.3 个

C.2 个

D.0 个

2 54.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 成立,则函

数值 f (?1), f (1), f (2), f (5) 中,最小的一个不可能是( B ) A. f (?1) B. f (1) C . f ( 2) D. f (5) )

55. f ( x ) 是定义在 [?6, 6] 上的偶函数,且 f (3) ? f (1) ,则下列各式一定成立的是( C

A、

f (0) ? f (6)

B、

f (3) ? f (2)

C、

f (?1) ? f (3)

D、

f (2) ? f (0)

56. 已 知 函 数 f ?x? ? ax2 ? 2ax ? 1 ?a ? 0? , 那 么 下 列 各 式 中 不 可 能 成 立 的 是 为 ( B ) A. f ?? 1? ? f ?? 2? ? f ?2? C. f ?0? ? f ?1? ? f ?2? B. f ?? 2? ? f ?? 1? ? f ?0? D. f ?? 1? ? f ?0? ? f ?? 3?

57.建立 A ? ?a, b, c?到 B ? ?? 1,0,1,2?的映射 f : A ? B , 满足 f ?a ? ? f ?b? ? f ?c ? ? 0 的不 同映射有 A.6 个 ( C ) B.8 个

C.10 个

D.12 个

58. 函 数 f ?x? ? ax2 ? ?a ? 2b?x ? a ? 1 是 定 义 在 ?? a,0? ? ?0,2a ? 2? 上 的 偶 函 数 , 则

? a2 ? b2 f? ? 5 ?
A. 1

? ? ? ?( B ) ?
B. 3 C.

5 D.不存在 2 59.已知 y ? ax 2 ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是减函数,则 a 的范围是( A
A. a ?



2 5

B. a ?

2 5

C. a ?

2 或a ? 0 5

D. a ? 0

函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如所示: 则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能为( A )

二、填空题

x?m ,则常数 m ? __0__, n ? ___0__ x ? nx ? 1 7 2.***已知函数 f (2 x ? 1) ? 3x ? 2 ,且 f (a) ? 4 ,则 a ? ______ _______ 3 2 3. 函 数 y ? x ? ax ? 3(0 ? a ? 2)在[?1,1] 上 的 最 大 值 是 4-a ,最小 值是
1.***定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?
2

a2 34

.

4.若函数 f ( x ) 对任意实数 x, y 均有 f ( x ? y) ? 2 f ( y) ? x2 ? 2xy ? y 2 ? 3x ? 3 y ,则 f ( x ) 的解析式为____________

f ( x) ? x2 ? 3x
? 2 x ? x 2 (0 ? x ? 3) 5.函数 f ( x ) ? ? 2 的值域为___________[-8,1]____________ ? x ? 6 x( ?2 ? x ? 0)
b 为常数, 6.已知 a , 若 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,f (ax ? b) ? x 2 ? 10 x ? 24 , 则 5a ? b ? _____2______.

7. 函 数 f ( x) ? x 2 ? bx ? 3 满 足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 若 f (m) ? 0 , 则 f (m ? 2) 与

f (log2 ? ) 的大小关系是 f (m ? 2)

>

f ( l o 2g? ) .
f (a) ? f (b) ? 0(a ? b) ,若 a ?b

8.已知函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x), 当 a, b ? (??,0) 时总有

1 f (m ? 1) ? f (2m) ,则实数 m 的取值范围是 (?1,? ) 3
9.已知函数 f ( x) 满足对所有的实数 x, y 都有 f ( x) ? f (2 x ? y) ? 5xy ? f (3x ? y) ? 2 x2 ? 1,则

f (10) 的值为

-49 . . .

10.函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x 在 ? m, n? (n ? m) 的值域是 ? ?5, 4? ,则 n ? m 的最大值为 7 11.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记 2 2

作 ? x? ,即 ?x? ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ?x? 的四个命题: ①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R , 值域是 ( ?

1 1 , ]; ②函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称; 2 2 1 1 ③函数 y ? f ( x) 的图像关于坐标原点对称; ④ 函数 y ? f ( x) 在 ( ? , ] 上是增函数; 2 2
①④ (填上真命题的序号) .

则其中真命题是__ 12.***8 函数 y ? 13.下列几个命题

1 1 的值域为________ (0, ] ______________. 2 x ?2
2

①方程 x2 ? (a ? 3) x ? a ? 0 的有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 . ②函数 y ?

x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 是偶函数,但不是奇函数.

③函数 f ( x ) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [?3,1] . ④ 设函数 y ? f ( x) 定义域为 R 且满足 f ( x ?1) ? f (1 ? x) , 则函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称. ⑤曲线 y ?| 3 ? x2 | 和直线 y ? a (a ? R) 的公共点个数是 m ,则 m 的值不可能是 1. 其中正确的有__________①④⑤_________. 14.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不等式: ① f (a) ? f (?a) ? 0 ; ③ f (b) ? f (?b) ? 0 ; 其中正确的是 ①④ ② f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ; ④ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) . (把你认为正确的不等式的序号全写上) .

15.若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? a) (常数 a,b ? R )是偶函数,且它的值域为 ? ??, 4? ,则该函数 的解析式为 f ( x) ? 16.函数 f ( x) ? . f ?x ? ? ? x 2 ? 4

x 4 ? x3 的奇偶性是 1? x

非奇非偶

.

17.设函数 f ( x) ? 18.函数 f ( x) ? ?

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a ? x

-1

.

2 ? ?2 x ? x (0 ? x ? 3) 的值域是 2 x ? 6 x ( ? 2 ? x ? 0) ? ?

[?8,1]

.

19.已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 上有最大值 5 和最小值 2,则 a 、b 的
2

值是

3 1 , 4 4

20.函数 y ?

x ? 1 ? x 的减区间是

[0,??)

21.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方 程

f ( x) ? m(m ? 0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. -8

22.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ?

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 4

1 f ? 2010? =_____ _____. 2 1 23.设函数 f(x)=x- ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取值范围 x
是________m<-1 24.设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? , f ? 成立,则实数 m 的取值范围是
2

?2 ?3

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒 ?m?

.

使 g ( x1 ) ? f ( x0 ) , 则m 25. f ( x) ? x ? 2 x, g ( x) ? mx ? 2, 对 ?x1 ?[?1, 2] ,?x0 ?[?1, 2] , 的取值范围是_______ ? ?1, ? _________ 2

? ?

1? ?

26.已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:给出下列四个命题:

①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 ①②④

②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

27. 如果 f ( x) ? x 2 ? x ? a 在 [?1,1] 上的最大值是 2 ,那么 f ( x ) 在 [?1,1] 上的最小值是

?

28. 已知函数 f ( x) 是 R 的上偶函数, g ( x) 是 R 的上奇函数,且 g ( x) = f ( x ? 1) ,已知

1 4

g (?1) ? 2 ,则 f (2008 ) ? _-2__
2 29. 已 知 函 数 f ( x) ? 2 x ? kx ? 8 在 ?2,5? 上 具 有 单 调 性 , 实 数 k 的 取 值 范 围

______________________ 30.奇函数 f ( x ) 满足: ① f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增; ② f (1) ? 0 ; 则不等式 ( x ? 1) f ( x) ? 0 的解集为
2 已知函数 f ( x) ? x ? 6x ? 8 ? 0, x ?[1, a] ,并且函数 f ( x ) 的最小值为 f ( a ) ,则 a 的取值

范围是____ (1,3] ___.

三、解答题 1.二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)在区间 ?? 1,1?上, y ? f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2 x ? m 上方,试确定实数 m 的取 值范围. 解: (1)由 f (0) ? 1 ,可设 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a ? 0) 故 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax2 ? bx ? 1) ? 2ax ? a ? b 由题意得, ?

?2a ? 2 ?a ? 1 ,解得 ? ;故 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
2

(2)由题意得, x ? x ? 1 ? 2 x ? m
2

即 x ? 3x ? 1 ? m 对 x ? ?? 1,1? 恒成立
2

设 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ,则问题可转化为 g ( x) mim ? m 又 g ( x) 在 ?? 1,1?上递减,故 g ( x) mim ? g (1) ? ?1, 故 m ? ?1

?2 x, ( x ? ?1), ? 2.***已知函数 f ( x ) ? ? ?2, ( ?1 ? x ? 1), ??2 x, ( x ? 1). ?

3.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, b ? R, c ? R) ,若函数 f ( x ) 的最小值是 f (?1) ? 0 ,

f (0) ? 1 且对称轴是 x ? ?1
? f ( x) ( x ? 0), 求 g (2) ? g (?2) 的值; (1)设 g ( x) ? ? ?? f ( x) ( x ? 0),
(2)在(1)条件下求 f ( x ) 在区间 ?t , t ? 2? ? t ? R ? 的最小值.

? ? f (?1) ? 0 (1)? ? f (0) ? 1 ? ? b ?x ? ? ? ?1 2a ?
( x ? 1) ? g ( x) ? ? ?
(2)当 t

?

? a ? b ? c ? 0 ?a ? 1 ? ?c ? 1 ? ? ?c ? 1 ?b ? 2 ?b ? 2a ? ?

? f ( x) ? ( x ? 1)2

?

2 2

( x ? 0) ( x ? 0)

? ??( x ? 1)

? g (2) ? g (?2) ? 8

? 2 ? ?1时,即 t ? ?3 时

f ( x) ? ( x ? 1)2 在区间 ?t , t ? 2? 上单调递减
f ( x)min ? f (t ? 2) ? (t ? 3)2
当t

? ?1 ? t ? 2 时,即 ?3 ? t ? ?1 时

f ( x) ? ( x ? 1)2 在区间 ?t , ?1? 上单调递减, f ( x) ? ( x ? 1)2 在区间 ? ?1, t ? 2? 上
单调递增 当

f ( x)min ? f (?1) ? 0

t ? ?1

时 ,

f ( x) ? ( x ? 1)2

在 区 间

?t , t ? 2?

上 单 调 递 增 ,

f ( x)min ? f (t ) ? (t ? 1)2
4.已知 a ? 0 ,将函数 f ( x) ? 得到函数 g ( x) 的图象。 (Ⅰ)求函数 g ( x) 的表达式; (Ⅱ)当 a ?

1 2 1 1 ax ? a 的图象向右平移 个单位再向下平移 个单位后 2 a 2a

1 时,求 g ( x) 在区间 ?? 4,3? 上的 最大值与最小值; 2

(Ⅲ)若函数 g ( x)在[ 2 ,2] 上的最小值为 h(a),求h(a) 的最大值。 解: (Ⅰ)由题意得

1 1 1 a( x ? ) 2 ? a ? . 2 a 2a 1 1 3 2 (Ⅱ)当 a ? 时, g ( x ) ? ( x ? 2) ? 2 4 2 3 由 x ? ?? 4,3? 知,当 x ? ?4 时, g ( x ) mim ? ? 2 15 当 x ? 2 时, g ( x) max ? 2 1 (Ⅲ)函数 g ( x) 的对称轴为 x ? ? 0. a
函数 y ? g ( x) 的表达式为 g ( x) ? ①当 0 ?

4分 5分 7分 8分

1 2 ? 2 即a ? 时,函数 g ( x) 在[ 2 ,2 ]上为增函数, a 2
9分

∴ h(a) ? g ( 2 ) ? ? 2 ②当 2 ?

1 1 1 1 2 . ? 2即 ? a ? 时, h(a ) ? g ( ) ? ?a ? a 2a a 2 2

易知当 a ?

2 2 时, h(a) max ? ? ? 2 2

1 2 2? 2

?? 2

10 分

1 1 ? 2即0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在[ 2 ,2 ]上为减函数, a 2 1 3 ∴ h(a) ? g (2) ? a ? 2 ? ? 2 ? ? . 2 2
③当

11 分

? 2 ?? 2 , a ? 2 ? ? 1 1 2 , ?a? . 综上可知, h(a ) ? ?? a ? 2a 2 2 ? 1 ? ?a ? 2,0 ? a ? 2 ?
∴当 a ?

2 2 时,函数 h(a) 的最大值为 h( ) ? ? 2. 2 2

12 分

5.****某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是

?t ? 20, p?? ??t ? 100,

0 ? t ? 25, t ? N , 该 25 ? t ? 30, t ? N .

商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是 Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这 种商品的日销售金额的最 大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天? 解:设日销售金额为 y(元) ,则 y=p ? Q.
2 ? ??t ? 20t ? 800, ?y ?? 2 ? ?t ? 140t ? 4000,

0 ? t ? 25, t ? N , 25 ? t ? 30, t ? N .

2 ?? ? (t ? 10) ? 900, ?? 2 ? ?(t ? 70) ? 900,

0 ? t ? 25, t ? N , 25 ? t ? 30, t ? N .
当 0 ? t ? 25, t ? N ,t=10 时, y max ? 900(元);当 25 ? t ? 30, t ? N ,t=25 时, . y max ? 1125(元) 由 1125>900,知 ymax=1125(元) ,且第 25 天,日销售额最大.

x 在[2,5]上的最大值和最小值. x ?1 x ?1 ?1 1 ? 1? 解: f ( x) ? ,可证 f(x)在[2,5]上是减函数, x ?1 x ?1
6.求函数 f ( x ) ? 故 当 x=2 时,f(x)最大值为 2 当 x=5 时,f(x)最小值 为

5 ; 4

7.动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、C、D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,f(x)表示 PA 的长,g(x)表示△ABP 的面积. (1)求 f(x)的表达式; (2)求 g(x)的表达式并作出 g(x)的简图. 解: (1)如原题图, 当 P 在 AB 上运动时, PA=x;当 P 点在 BC 上运动时, 由 Rt△ ABD? 可得 PA= 1 ? ( x ? 1) 2 ;当 P 点在 CD 上运动时, 由 Rt△ ADP 易得 PA= 1 ? (3 ? x ) 2 ;

当 P 点在 DA 上运动时,PA=4-x,故 f(x)的表达式为:

(0 ? x ? 1) ?x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 (1 ? x ? 2) f(x)= ? ? x 2 ? 6 x ? 10 ( 2 ? x ? 3) ? ( 3 ? x ? 4) ?4 ? x
(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时,△ ABP 的形状各有特征,计算它们的面积也 有不同的方法,因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解. 如原题图,当 P 在线段 AB 上时,△ ABP 的面积 S=0;当 P 在 BC 上时,即 1<x≤2 时, S△ ABP=

1 1 1 1 AB· BP= (x-1) ;当 P 在 CD 上时,即 2<x≤3 时,S△ ABP= · 1· 1= ;当 P 在 DA 2 2 2 2

上时,即 3<x≤4 时,S△ ABP=

1 (4-x). 2

?0 ?1 ? ( x ? 1) 2 ? ? 故 g(x)= ? 1 ?2 ? ? 1 (4 ? x ) ? ?2

(0 ? x ? 1) (1 ? x ? 2) ( 2 ? x ? 3) (3 ? x ? 4)

2 8.已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? b 满足 f (?1) ? ?2 ;

(1)若方程 f ( x)=2x 有唯一的解;求实数 a , b 的值; (2)若函数 f ( x ) 在区间 ?-2, 2? 上不是单调函数,求实数 a 的取值范围。 解(1)由 f (?1) ? ?2 知,b ? a ? 1 ? 0 ①,又 f ( x)=2 x 有唯一的解,故 ? ? a ? 4b=0 将
2

2 ①式代入上式得: , (b ?1) =0 故 b ? 1 ,代入①得, a ? 2 ???7 分

(2)因为函数 f ( x ) 在区间 ?-2, 2? 上不是单调函数,所以对称轴 -2<x ? ? 解得: ?6 ? a ? 2 ????13 分 9.设函数 y ? f ?x ? 定义在 R 上,对于任意实数 m, n ,恒有

a?2 ?2, 2

f ?m ? n? ? f ?m? ? f ?n?,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1
(1)求证: f (0) ? 1 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 (2)求证: f ( x) 在 R 上是减函数;

(3)设集合 A ? {( x, y) | f (? x 2 ? 6x ?1) ? f ( y) ? 1 } , B ? {( x, y) | y ? a} , 且 A ? B ? ? , 求实数 a 的取值范围。 (1)证明:? f ?m ? n? ? f ?m?? f ?n? , m、n 为任意实数, 取 m ? 0, n ? 2  ,则有 f ?0 ? 2? ? f ?0?? f ?2?

? 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,? f (2) ? 0 ,? f (0) ? 1 ??2 分
当 x ? 0 时, ? x ? 0 ? 0 ? f (? x) ? 1,则

1 ?1 f (? x)

取 m ? x , n ? ? x, 则 f ?x ? x? ? f ?0? ? f ?x ? ? f ?? x? ? 1

? f ?x ? ? 则 f ?x ? x? ? f ?0? ? f ?x ? ? f ?? x? ? 1  
(2)证明:由(1)及题设可知,在 R 上 f ( x) ? 0

1 ? 1  ??4 分 f ?? x ?

, 则x1 ? x2 ? 0  f ?x1 ? x2 ? ? 1 设x1 , x2 ? R,且x1 ? x2  

? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? x2 ? x2 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? x2 ?? f ?x2 ? ? f ?x2 ? =? f ?x1 ? x2 ? ? 1?? f ?x2 ? ????7 分 ? f ?x1 ? x2 ? ?1 ? 0   f ?x2 ? ? 0 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0   即f ?x1 ? ? f ?x2 ?
所以 f ( x) 在 R 上是减函数????8 分 (3)解:在集合 A 中 f ? x ? 6 x ? 1   ? f ?y? ? 1
2

?

?

由已知条件,有 f ? x ? 6 x ?1 ? y ? f ?0? 
2

?

?

? ? x 2 ? 6 x ?1 ? y ? 0 ,即 y ? x 2 ? 6 x ? 1????11 分
在集合 B 中,有 y ? a   无交点 ? A ? B ? ? ,则抛物线 y ? x 2 ? 6x ? 1 与直线 y ? a 

? a ? ?8 ? y ? x 2 ? 6x ? 1 ? ( x ? 3)2 ? 8 ,? ymim ? ?8 ,  
即 a 的取值范围是 ?? ?,?8? ????14 分

10.二次函数 f (x) = ax2 + bx + c (a,b∈R,a≠0)满足条件:①当 x∈R 时, f ( x) 的图象关于 直线 x ? ?1 对称;;② f (1) ? 1 ; ③f (x)在 R 上的最小值为 0; (1)求函数 f (x)的解析式; (2)求最大的 m (m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f (x + t)≤x. 【解析】 (1)∵f (x)的对称轴为 x = –1,∴ ? 又 f (1) = 1,即 a + b + c = 1. 由条件③知:a>0,且
4ac ? b2 = 0,即 b2 = 4ac. 4a
b = –1 即 b = 2a. 2a

1 1 1 由上可求得 a ? , b ? , c ? 4 2 4

∴ f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? . 4 2 4

1 (2)由(1)知:f (x) = (x + 1)2,图象开口向上. 4

而 y = f (x + t )的图象是由 y = f (x)平移 t 个单位得到,要 x∈[1,m]时,f (x + t)≤x, 即 y = f (x + t)的图象在 y = x 的图象的下方,且 m 最大. ∴1,m 应该是 y = f (x + t)与 y = x 的交点横坐标,
1 即 1,m 是 (x + t + 1)2 = x 的两根, 4 1 由 1 是 (x + t + 1)2 = x 的一个根,得(t + 2)2 = 4,解得 t = 0,或 t = -4, 4

把 t = 0 代入原方程得 x1 = x2 = 1(这与 m>1 矛盾) 把 t = –4 代入原方程得 x2 – 10x + 9 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 9.∴m = 9. 综上知:m 的最大值为 9. 11.****已知函数 y ? ax ? 1 (a ? 0) 在区间 (??,1] 上有意义,求实数 a 的取值范围.

12.***已知函数 f ( x) =

1 2 ax + b 是定义在 (- 1,1) 上的奇函数,且 f ( ) = , 2 2 5 1+ x

( 1 )确定函数 f ( x ) 的解析式; ( 2 )用定义证明 f ( x ) 在 (- 1,1) 上是增函数; ( 3 )解不等式

f (t - 1) + f (t ) < 0

ì ? ? 解: (1)依题意得 ? í ? ? ? ?

ì b ? ? = 0 ? 2 ? 1 + 0 ? f (0) = 0 ? ?a 1 2 即í +b ? 2 f ( )= 2 ? = ? 2 5 ? 1 5 ? 1+ ? ? 4 ? ?

得? í

ì ?a= 1 ? ? ?b= 0

\ f ( x) =

x 1+ x2

(2)证明:任取 - 1 < x1 < x2 < 1 ,则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =

x1 x2 ( x - x2 )(1- x1 x2 ) = 1 2 2 2 1 + x1 1 + x2 (1 + x12 )(1 + x2 )

2 ?- 1 < x1 < x2 < 1, \ x1 - x2 < 0 , 1+ x12 > 0,1+ x2 >0

又?- 1 < x1 x2 < 1, \ 1- x1 x2 > 0 \ f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 (3) f (t - 1) < - f (t ) = f (- t ) 得0< t <



f ( x) 在 (- 1,1) 上是增函数

? f ( x) 在 (- 1,1) 上是增函数,∴ - 1 < t - 1 < - t < 1 ,解

1 2

9 (a ? 1) x 2 ? 1 13.***若函数 f ( x) ? ,且 f (1) ? 3 , f ( 2) ? 2 bx
⑴求 a , b 的值,写出 f ( x) 的表达式 ; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (3)判断 f ( x) 在

[1,??) 上的增减性,并加以证明。
解 (1)∵ f (1) ? 3 ∴

4(a ? 1) ? 1 9 ? 2b 2

a?2 ?3 b



又 ∵ f ( 2) ?

9 2





由①、②解得 a=1,b=1

2 x2 ? 1 ∴ f ( x) ? x

(2)容易判断函数 f ( x) 为奇函数

(3)函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数, 设

x2 ? x1 ? 1



,



2 x2 2 ? 1 2 x12 ? 1 (2 x2 2 ? 1) x1 ? (2 x12 ? 1) x2 ( x2 ? x1 )(2 x1 x2 ? 1) = = f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? x2 ? x1 x2 x1 x2 ? x1
∵x1≥1,x2>1,∴2x1x2-1>0., x1x2>0., 又∵x1<x2,∴x2-x1>0. ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) >0 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 故函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数 14.*** A 、 B 两城相距 100 km ,在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A 、 B 两城供 电,为保证城市安全,核电站与城距离不得少于 10 km .若 A 城供电量为 20 亿度/月, B 城 为 10 亿度/月. 已知月供电费用与供电距离的平方和月供电量的积成正比, 比例系数为 0.25. ⑴ 求 x 的范围; ⑵ 若 A 、 B 两城月供电总费用为 y ,把 y 表示 x 的函数; ⑶ 问核电站建在距 A 城多远,才能使 A 、 B 两城月供电总费用最小.

x 16.***已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1) 的定义域为 A,函数 g ( x) ? ( ) ( ?1 ≤ x ≤ 0) 的值域

1 2

为 B, (1)求集合 A、B,并求 A ? B ; (2)若 C= { y | y ≤ a ? 1} ,且 B ? C ,求实数 a 的取值范围. 解: ( 1)∵A= {x | log 2 ( x ? 1) ≥ 0} = {x | x ? 1 ≥ 1}
x ∵ g ( x) ? ( ) ( ?1 ≤ x ≤ 0)

∴A= {x | x ≥ 2} ∴ B = { y |1 ≤ y ≤ 2} ∴

A ? B = {2}

1 2

∴ 1 ≤ g ( x) ≤ 2

(2)∵C= { y | y ≤ a ? 1} ,且 B ? C

∴ a ? 1≥ 2 , a ≥ 3

?? x 2 ? 2 x,x ? 0, ? x ? 0, 17.已知奇函数 f ( x) ? ?0, ? x 2 ? mx, x ? 0, ?
(1)求实数 m 的值;

,a ? 2] 上单调递增,求实数 a 的取值范围. (2)若函数 f ( x ) 在区间 [?1
解: (1) x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f (? x) ? ?(? x)2 ? 2(? x) ? ? x2 ? 2 x , 又 f ( x ) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) ,于是 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ? x2 ? mx .

? m ? 2 .-----------------------------------------------------------------------------6 分
(2)要使 f ( x ) 在 [?1 ,a ? 2] 上单调递增,须 ?

?a ? 2 ? ?1, 解得 1 ? a ≤ 3 . ?a ? 2 ≤1.

, 3] .------------------------------------12 分 故实数 a 的取值范围为 (1
18.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产 品 x (百台) ,其总成本为 G ?x ? (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的 生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) 。 销 售 收 入 R? x ? ( 万 元 ) 满 足

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x?0 ? x ? 5? ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) ,根 R? x ? ? ? ? ? 11 x ? 5 ?
据上述统计规律,请完成下列问题: (1) 写出利润函数 y ? f ?x ? 的解析式(利润=销售收入—总成本) ; (2) 要使工厂有盈利,求产量 x 的范围; (3) 工厂生产多少台产品时,可使盈利最多? 解: (1)由题意得 G(x)=2.8+x.??????????????????????2 分 ∴ f ( x ) =R(x)?G(x)= ?

??0.4 x 2 ? 3.2 x ? 2.8(0 ? x ? 5) ? 8.2 ? x( x ? 5)

. ????????????5 分

(2)①当 0≤x≤5 时,由?0.4x2+3.2x?2.8>0 得:x2?8x+7<0 ,解得 1<x<7. 所以:1< x≤5. ???????????????????????????? 7 分 ②当 x >5 时,由 8.2 ?x >0 解得 x<8.2. 所以:5<x<8.2.?????????? 9 分 综上得当 1<x<8.2 时有 y>0. 答:当产量大于 100 台,小于 820 台时,能使工厂有盈利.??????????10 分 (3)当 x>5 时,∵函数 f ( x ) 递减,∴ f ( x ) < f (5) =3.2(万元) .???????12 分 当 0≤x≤5 时,函数 f ( x ) = -0.4(x?4)2+3.6, 当 x=4 时, f ( x ) 有最大值为 3.6(万元) . ?????????????????14 分 所以当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6 万元.????????????15

分 19.***已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ≤0 时, f ( x ) ? x ? 2 x .
2

(1)现已画出函数 f ( x ) 在 y 轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数 f ( x ) 的图像,并 根据图像写出函数 f ( x ) 的增区间; (2)写出函数 f ( x ) 的解析式和值域. (1)补出完整函数图像得 3 分.

f ( x) 的递增区间是 (?1, 0) , (1, ??) .????????6 分
(2)解析式为 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0
2 ? x ? 2 x, x ? 0

????10 分

值域为 ? y | y ? ?1 ? ??????????12 分 (注意:将两个区间“并”起来,扣 2 分; )

( x ? 0) ? f ( x) 2 20.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 ( a , b 为实数 ) , x ? R , F ( x) ? ? ? ? f ( x) ( x ? 0) (1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f ( x) 的值域为 [0, ? ?) ,求 F ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下, 当 x ? [?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取值

范围; (3)设 n ? 0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f ( x ) 为偶函数, 判断 F (m) + F ( n) 能否大于零? 请说明理由。 解: (1) ∵ f (?1) ? 0 , ∴ a ? b ?1? 0 ① ??1 分 又? 函数 f ( x) 的值域为 [0, ? ?)

? △ ? b2 ? 4a ? 0
由①②得 a ? 1, b ? 2 ∴ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 .
?( x ? 1) ∴ F ( x) ? ?
2 ( x ? 0) ? 2 ? ?? ( x ? 1) ( x ? 0)

② ???4 分 ??6 分
2 2

(2) 由(1)有 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x ? 2x ? 1 ? kx ? x ? (2 ? k ) x ? 1

2?k 2 (2 ? k )2 , ) ?1? 2 4 k ?2 k ?2 当 ?2或 ? ?2 时, 2 2 即 k ? 6 或 k ? ?2 时, g ( x) 是具有单调性. ? (x ?

???8 分

??10 分 ??12 分

(3) ∵ f ( x) 是偶函数
? ??ax ? 1 ( x ? 0) ? n ? 0, m ? n ? 0 , m ? ?n ? 0 , ∴ m ? n ? 0
2

∴ f ( x) ? ax2 ? 1,

2 ?ax ? 1 ∴ F ( x) ? ? ?

( x ? 0) ,

∴ F (m) + F ( n) ? f (m) ? f (n) ? (am2 ? 1) ? an2 ? 1 ? a(m2 ? n2 ) ? a(m ? n)(m ? n) ? 0 ??? 14 分 21.已知函数 f ( x) ?

2 ?x, x

(1)判断 f ( x) 的奇偶性, (2)用定义证明 f ( x) 在 (0, ??) 上为减函数.
2 22.已知 g ( x) ? ? x ? 3 , f ( x ) 是二次函数, f ( x) ? g ( x) 是奇函数,且当 x ? [?1, 2] 时,

f ( x) 的最小值为 1,求 f ( x) 的表达式.
解:设 f ( x) ? ax ? bx? c ( a? 0),则 g ( x) ? f ( x) ? (a ? 1)x ? bx? c? 3为奇函数,∴
2 2

a ? 1, c ? 3
∴ f ( x) ? x ? bx ? 3 ? ( x ? ) ? 3 ?
2 2

b 2

b2 4

――――――――――――4 分

∵当 x ? [?1, 2] 时, f ( x ) 的最小值为 1

b ? ?1 ? ? ? 2 ? b ? b ? ? ?? ? ?1 ?? ? 2 2 ∴? 2 或? 或? 2 2 b ? ? 3? ?1 ? f (?1) ? 1 ? b ? 3 ? 1 ? ? f (2) ? 4 ? 2b ? 3 ? 1 ? ? 4
解 得

―――10 分

b?3



b ? ?2 2





f ( x) ? x2 ? 3x ? 3



f ( x) ? x2 ? 2 2x ? 3

――――――14 分

23.求函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 15 的最小值. 解: f ( x) ? [( x ? 5x) ? 4][( x ? 5x) ? 6] ? 15
2 2

2 令 t = x + 5 x ,则 g (t ) = (t + 5) + 14 ,

2

t?

25 4

所以 f ( x) 最小值是 14 24.某工厂 2000 年开发一种新型农用机械,每台成本为 5000 元,并以纯利润 20℅标价出厂.自 2001 年开始.,加强内部管理,进行技术革新,使成本降低,2004 年平均出厂价尽管只有 2000 年 的 80℅,但却实现了纯利润为 50℅的高效益.以 2000 年生产成本为基础,设 2000 年到 2004 年 生产成本平均每年每台降低的百分数为 x,试建立 2004 年生产成本 y 与 x 的函数关系式.并求 x 的值(可能用到的近似值: 2 ? 1.414 , 3 ? 1.73, 5 ? 2.24 ). 解:根据题意,由 2000 年到 2004 年生产成本经历了 4 年的降低.所以, y ? 5000 (1 ? x) 4 . 由 2000 年出厂价为 5000(1+20℅)=6000 元,得 2004 年出厂价为 6000×80℅=4800 元 由 4800=y(1+50℅),得 y=3200 元。再由 5000 (1 ? x) 4 =3200,得 x=1- 所以,由 2000 年到 2004 年生产成本平均每年降低 11℅. 25.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c 均为常数, 且 a≠0) 满足条件 f (0) ? f (2) ? 0 且方程 f ( x) ? 2 x 有两个等根. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)试确定一个区间 P,使得 f ( x ) 在 P 内单调递减且不等式 f ( x) ? 0 在 P 内恒成立; (3)是否存在这样的实数 m 、 n ( m ? n ) ,使得 f ( x ) 在区间 ?m, n? 内的取值范围恰好是

2 5 =11℅ 5

?4m, 4n? ?如果存在,试求出 m 、 n 的值;如果不存在,请说明理由.
解:(1) 由 f (0) ? f (2) ? 0 知此函数图像的对称轴方程为 x ? ?
2

b ? 1 ,且 c ? 0 . 2a

2 又由方程 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x 有等根,∴△ ? ? b ? 2 ? ? 0 ,得 b ? 2 .

再由 x ? ?

b ? 1 ,可得 a ? ?1 .故 f ? x ? ? ?x2 ? 2x . 2a
2

(2)? f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 , 函数图像的对称轴方程为 x ? ? 且图像开口向下,所以若要在 P 内单调递减, x ??1, ?? ? 又? f ( x) ? 0 在 P 内恒成立, f ? x ? ? ?x ? 2x ? 0
2

b ?1 2a

? x ??0,2? ,综上所述:P= ?1, 2? .

(注:开放题,答案可以是在区间 ?1, 2? 内的非空区间) (3) ? f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ? 1 ,? 4n ? 1 ,即 n ?
2

1 2 .而抛物线 f ? x ? ? ?x ? 2x 的对称轴 4

为 x ? 1 ,∴当 n ?

1 时, f ? x ? 在 ?m, n? 上为增函数 . 若满足题设条件的 m, n 存在,则 4

?? m 2 ? 2 m ? 4 m ?m ? 0或m ? ?2 ? f ( m) ? 4 m ? ,即 ? , ?? ? 2 ? ? f ( n) ? 4n ?n ? 0或n ? ?2 ?? n ? 2 n ? 4 n
又? m ? n ?

1 ,? m ? ?2, n ? 0 ,这时,定义域为 ? ?2,0? ,值域为 ? ?8,0? 。 4

所以,满足条件的 m, n 存在, m ? ?2, n ? 0 . 26.某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图 1 所示)是边长为 0 .4 米的正方形 ABCD ,点 E、 F 分别在边 BC 和 CD 上, 且 CE=CF, △ CFE 、 △ ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成, 制成△ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为 3:2:1. 若将 此种地砖按图 2 所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGH . 问 E、F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省? 解设 CE ? x ,则 BE ? 0.4 ? x , (1 分)每块地砖的费用为 W ,制成△ CFE 、△ ABE 和 四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依次为 3a、2a、a (元),
图1

W?

1 2 1 1 1 ? ? x ? 3a ? ? 0.4 ? (0.4 ? x) ? 2a ? ?0.16 ? x 2 ? ? 0.4 ? (0.4 ? x)? a 2 2 2 2 ? ?

? a x 2 ? 0.2x ? 0.24

?

?

? a ( x ? 0.1) 2 ? 0.23 , 0 ? x ? 0.4 .

?

?

由 a ? 0 ,当 x ? 0.1 时, W 有最小值,即总费用最省. 答:当 E、F 在距点 C 为 0.1 米时,总费用最省.

图2

27.某企业生产 A , B 两种产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润与投 资成正比,其关系如图一; B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图二 (注:利润和投资单位:万元), y(利润) 0.45 0.25 0 图一 1 1.8 x(投资) y(利润) 6 4 0 4 9

x(投资)

图二

(1)分别将 A 、 B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到 18 万元资金,并全部投入 A , B 两种产品的生产。 ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这 18 万元投资, 才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元。

解:(1) 设甲乙两种产品分别投资 x 万元(x ? 0),所获利润分别为 f(x) 、g(x)万元 由题意可设 f(x)= k1 x ,g(x)= k2 x ∴根据图像可解得 1 分) (2) ① 由 Ⅰ 得 f(9)=2.25 , g(9)= 2 9 =6,
/

f(x)=0.25x g(x)= 2 x (x ? 0) (x ? 0) ,

??3 (没有定义域扣

/



总 利 润

y=8.25



元 ?????????5 ②设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入 18-x 万元,该企业可获总利润为 y 万元, 则 8
/

y=

1 (18-x)+ 2 x ,其中 0 ? x ? 18 4
则 y=

????????????????

令 x =t,其中 0 ? t ? 3 2 9
/

1 1 2 2 34 (-t +8t+18)= ? (t ? 4) + 4 4 4

????

∴当 t=4 时,ymax=

34 / =8.5,此时 x=16,18-x=2 ????????????????11 4
/

∴ A、B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元,可使该企业获得最大利润 8.5 万元.?12 28.某工厂有一个容量为 300 吨的水塔,每天从早上 6 时起到晚上 10 时止供应该厂的生产 和生活用水,已知该厂生活用水为每小时 10 吨,工业用水量 W(吨)与时间 t(小时,且 规定早上 6 时 t=0)的函数关系为 W=100 t. 水塔的进水量分为 10 级, 第一级每小时 进水 10 吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加 10 吨.若某天水塔原有水 100 吨, 在开始供水的同时打开进水管. (1)若进水量选择为 2 级,试问:水塔中水的剩余量何时开始低于 10 吨? (2)如何选择进水量,既能始终保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出? 解: (1)当 x=2 时,由 y<10 得 t-10 t+9<0, 所以 1< t<9,1<t<81. 所以从 7 时起,水塔中水的剩余量何时开始低于 10 吨.………5 分 (2)根据题意 0<y≤300,所以 0<100+10xt-10t-100 t≤300.………7 分 1 1 1 1 1 ?由左边得 x>1+10( - )=1+10〔-( - )2+ 〕 ,? t 2 4 t t 1 1 1 当 t=4 时,1+10〔-( - )2+ 〕有最大值 3.5.?所以 x>3.5.………10 分 2 4 t 20 10 20 10 由右边得 x≤ + +1,当 t=16 时, + +1 有最小值 4.75, t t t t 所以 x≤4.75.?………13 分 综合上述,进水量应选为第 4 级.?………14 分 29.对于函数 y= f ( x )( x ? D,D 为函数定义域),若同时满足下列条件: ① f( x )在定义域内单调递增或单调递减;② 存在区间[a ,b] ? D ,使 f ( x )在[a ,
3 b]上的值域是[a , b], 那么把 y = f ( x )(x ? D ) 称为闭函数. (1) 求闭函数 y = – x

符合条件②的区间[a,b]; (2)判定函数 f ( x )=

3 4

x?

1 x

( x ? (0, ? ? )) 是否为闭函数?并

说明理由; (3) 若 f ( x) = k ?
3

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

解 (1)由 y = ?x 在[a ,b]上为减函数,

?b ? ? a 3 , ? 得 ? a ? ?b 3 , ? a ? b. ?

可得 a = –1 , b = 1 ,∴ 所求区间是[–1,1].

(2)取 x 1 = 1 , x 2 = 10,可得 f ( x )不是减函数;取 x 1 = 在(0 , +∞)不是增函数,所以 f ( x )不是闭函数.

1 10

, x2 ?

1 100

,可得 f ( x )

? ?a ? k ? a ? 2 , (3)设函数符合条件②的区间为[a ,b],则 ? ? ?b ? k ? b ? 2.
故 a , b 是方程 x = k ?

x ? 2 的两个实根,命题等价于

? x 2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0, ? 有两个不等实根. ? x ? ?2, ?x ? k ?

? 2k ? 1 ? 2 ? ?2, ? 9 9 ? 2 2 当 k ? ?2 时, ?(2k ? 1) ? 4(k ? 2) ? 0, 解得: k ? ? ,∴ k ? (? , ?2] ; 4 4 ?22 ? 2(2k ? 1) ? k 2 ? 2 ? 0. ? ? ? ? 2k ? 1 ? 2 ? k, ? ? 2 2 当 k ? ?2 时, ?(2k ? 1) ? 4(k ? 2) ? 0, 这时 k 无解. ?k 2 ? (2k ? 1)k ? k 2 ? 2 ? 0. ? ? ?
所以 k 的取值范围是 ( ?

9 , ?2] . 4

30.设函数 y ? f ( x ) 是定义在 R ? 上的函数,并且满足下面三个条件: (1)对任意正数 x、y , 都有 f ( xy) ? f ( x ) ? f ( y) ; (2)当 x ? 1时, f ( x ) ? 0 ; (3) f (3) ? ?1 , (I)求 f (1) 、 f ( ) 的值; (II)如果不等式 f ( x ) ? f (2 ? x ) ? 2 成立,求 x 的取值范围. (III)如果存在正数 k,使不等式 f (kx) ? f (2 ? x ) ? 2 有解,求正数 k 的取值范围. 解: (I)令 x ? y ? 1 易得 f (1) ? 0 . 而 f (9) ? f (3) ? f (3) ? ?1 ? 1 ? ?2 且 f (9) ? f ( ) ? f (1) ? 0 ,得 f ( ) ? 2 .

1 9

1 9

1 9

(II)设 0 ? x 1 ? x 2 ? ?? ,由条件(1)可得 f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f (

x2 x ) ,因 2 ? 1 ,由(2)知 x1 x1

f(

x2 ) ? 0 ,所以 f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ,即 f ( x ) 在 R ? 上是递减的函数. x1

由条件(1)及(I)的结果得: f [x(2 ? x)] ? f ( ) 其中 0 ? x ? 2 ,由函数 f ( x ) 在 R ? 上的递

1 9

1 ? 2 2 2 2 ?x (2 ? x ) ? ,1 ? ). 减性,可得: ? 9 ,由此解得 x 的范围是 (1 ? 3 3 ? ?0 ? x ? 2
(III)同上理,不等式 f (kx) ? f (2 ? x ) ? 2 可化为 kx(2 ? x) ? 得k ?

1 且0 ? x ? 2, 9

? ? 1 1 ,此不等式有解,等价于 k ? ? ? ,在 0 ? x ? 2 的范围内,易知 9x (2 ? x ) ? 9x (2 ? x ) ? min

x (2 ? x ) max ? 1 ,故 k ?

1 即为所求范围. 9

31.已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 。 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在区间 [2a, a ? 1] 上不单调 ,求实数 a 的取值范围; ... (3) 在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图象上方, 试确定实数 m 的 取值范围。
2 0 ) 3 ? , 解: (1) 由已知, 设 f ( x) ? a( x ?1) ? 1 , 由 f( 得a ? 2, 故 f( x) ? 2 x 2? 4x ? 3



(2)要使函数不单调,则 2a ? 1 ? a ? 1 ,则 0 ? a ?
2

1 。 2

x ? 2 m ? ( 3 ) 由 已 知 , 即 2x ? 4x ? 3 ? 2 ,1 化 简 得 x2 ? 3 x ? 1 ? m ? 0 ,
设 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? m , 则 只 要 g ( x m ) i? n
2

y 4

, 而 0

3 2 1

g( x ) i? n m

g( ? 1 ) ? ,得 ?m 1 m ? ?1

32.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ax ( a ∈R).

(1)试给出 a 的一个值,并画出此时函数的图象;

-4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4

1

2

3

4

x

(2)若函数 f (x) 在 R 上具有单调性,求 a 的取值范围.

(1)解:略 (2)解:化简 f ?x ? ? ? ① a >1 时, 当 x ≥-1 时, f ( x) ? (a ? 1) x ? 1 是增函数,且 f ?x ? ≥ f ?? 1? ? ?a ; 当 x < -1 时, f ( x) ? (a ? 1) x ? 1是增函数,且 f ( x) ? f (?1) ? ?a . 所以,当 a >1 时,函数 f (x) 在 R 上是增函数. 同理可知,当 a <-1 时,函数 f (x) 在 R 上是减函数. ② a =1 或-1 时,易知,不合题意. ③ -1< a <1 时,取 x = 0,得 f (0) =1,取 x = 以 f (0) = f (

??a ? 1?x ? 1 , x ≥ ? 1 , ??a ? 1?x ? 1 , x ? ? 1 .

2 2 2 ,由 < -1,知 f ( ) =1,所 a ?1 a ?1 a ?1

2 ). a ?1

所以函数 f (x) 在 R 上不具有单调性. 综上可知,a 的取值范围是 (?? , ? 1) ? (1, ? ?) . 33.*****定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? ,对任意的 a , b ? R ,满足 f ?a ? b? ? f ?a ? ? f ?b? , 当 x ? 0 时,有 f ? x ? ? 1 ,其中 f ?1? ? 2 . (1) 求 f ?0? 的值; (2) 求 f ?? 1? 的值并判断该函数的奇偶性;

(3)求不等式 f ? x ? 1? ? 4 的解集. ( 1 ) 因 为 对 任 意 的 a , b ? R , 满 足 f ?a ? b? ? f ?a ? ? f ?b? , 所 以 令 b ? 0 , 则

f ?a ? ? f ?a ? ? f ?0? ,
当 a ? 0 时,有 f ?a ? ? 1 ,所以 f ?0? ? 1 . 1 (2)f(-1)= ,f(1)=2,所以原函数既不是奇函数,也不是偶函数. 2 ( 3 ) 证 明 原 函 数

y ? f ?x? 在

R

上 是 单 调 递 增 函 数 .

f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )
利用 y ? f ? x ? 为单调递增函数,解得原不等式的解集为(-∞,1). 34. 已知:函数 f ( x ) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? x( x ? 2 y ? 1) 成立,且

f (1) ? 0 .
(1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式;

1 时, 不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立; Q: 当 x ? [?2, 2] 2 时, g ( x) ? f ( x) ? ax 是单调函数。如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A ,满足 Q 成立的 a 的 集合记为 B ,求 A ∩ CR B ( R 为全集) 。
(3) 已知 a ? R , 设 P: 当0 ? x ? 解: (1)令 x ? ?1, y ? 1 ,则由已知 f (0) ? f (1) ? ?1(?1 ? 2 ? 1) (2)令 y?0 , 则 f ( x) ? f (0) ? x( x ? 1) ∴ f (0) ? ?2 ∴

又∵ f(0) ?? 2

f ( x) ? x2 ? x ? 2
(3)不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 当 0? x?
2 即 x ? x ? 2 ? 3 ? 2x ? a 2 即 x ? x ?1 ? a

1 3 2 时 , ? x ? x ?1 ? 1 , 2 4

2 又 (x ? ) ?

1 2

3 ?a 恒成立 4



A ? {a | a ? 1}

g ( x) ? x2 ? x ? 2 ? ax ? x2 ? (1 ? a) x ? 2
又 g ( x) 在 [?2, 2] 上 是 单 调 函 数 , 故 有

a ?1 a ?1 ? ?2, 或 ?2 2 2



B ? { a | a? ?3或 , a ? 5}

∴ A ∩ CR B = {a |1 ? a ? 5} 35.已知函数 f ? x ? ? x ?
2

a ( x ? 0, a ? R) x

(1)判断函数 f ?x ? 的奇偶性; (2)若 f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围。 解: (1)当 a ? 0 时, f ?x ? ? x 2 为偶函数;当 a ? 0 时, f ?x ? 既不是奇函数也不是偶函数. (2)设 x2 ? x1 ? 2 , f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ?
2

x ? x2 a a 2 ? x2 ? ?x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a? , ? 1 x1 x2 x1 x2

由 x2 ? x1 ? 2 得 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? 16 , x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 要使 f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数只需 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 , 即 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a ? 0 恒成立, 则 a ? 16 。 36.对于函数 y ? f ( x) ( x ? D , D 为函数的定义域) ,若同时满足下列条件:① f ( x ) 在定 义域上具有单调性;②存在区间 [a, b] ? D ,使 f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域是 [ a, b] .那么把

y ? f ( x) ( x ? D) 称为闭函数.
(1)求闭函数 y ? ? x3 符合条件②的区间 [ a, b] ; (2)判断函数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? (0, ??)) 是否为闭函数?并说明理由. x

(3)若 f ( x) ? k ? x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

?b ? ? a 3 ? (1)由 y ? ? x3 在 [ a, b] 上为减函数,得 ? a ? ?b 3 , ?a ? b ? 可得 a ? ?1 , b ? 1 ,? 所求区间是 [?1,1] . ??????4 分 (2)取 x1 ? 1 , x2 ? 10 可得 f ( x ) 在 (0, ??) 上不是减函数, 1 1 取 x1 ? , x2 ? 可得 f ( x ) 在 (0, ??) 上不是增函数, 4 2 所 以 , 函 数 f(x) 在 其 定 义 域 上 不 具 有 单 调 性 , 所 以 f ( x ) 不 是 闭 函
数. ???8 分 (3)设函数符合条件②的区间为 [ a, b] ,由于函数 f ( x) ? k ? x ? 2 在 [?2, ??) 上是增函数,

y

? ?a ? k ? a ? 2 ∴? ,故 a,b 是方程 x ?k ? x?2 两个不等的实 b ? k ? b ? 2 ? ?
根, ???10 分 即 k=x ? x ? 2 有两个不等的实数根. 设 x ? 2 ? t ≥0,则 x ? t 2 ? 2 ,

t y=k

1 9 ∴k= t 2 ? t ? 2 ? (t ? )2 ? , (t≥0) .????12 分 2 4 1 9 分别作出 y= (t ? )2 ? (t≥0)和 y=k 的图象, 2 4
由图象可知 k∈ ( ?

9 , ?2] . 4

??????14 分

(另解: ) a , b 是方程 x ? k ?

x ? 2 的两个实根, ??10 分

? x 2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0 命题等价于不等式组 ? ?x ? k
有两个不等实根. ???12 分

? 2k ? 1 ? 2 ?k ? ? 即 ?(2k ? 1) 2 ? 4( k 2 ? 2) ? 0 ?k 2 ? (2k ? 1)k ? k 2 ? 2 ? 0 ? ? ?
9 所以 k 的取值范围是 ( ? , ?2] . 4
37.若 A ? ?a,0,?1?, B ? ?c ? b,

解得

k (?

9 ,? 2; ] 4

??????14 分

? ?

1 ? ,1? ,且 A=B, f ( x) ? ax2 ? bx ? c 。 b?a ?

( 1 )求 f ( x) 零点个数; ( 2 )当 x ? ?? 1,2? 时,求 f ( x) 的值域; ( 3 )若 x ? ?1, m? 时,

f ( x) ? ?1, m? ,求 m 的值。
? ?a ? 1 ?a ? 1 ? ? 解:⑴∵A=B,∴ ?0 ? c ? b ,∴ ?b ? ?2 ,∴ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ?c ? 2 ? 1 ? ?? 1 ? b?a ?
2 又 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? ?4 ? 0 ,所以 f ( x) 没有零点。 (或因为 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 ? 0 ,所以

f ( x) 没有零点。 )
⑵ 因 为 f ( x) 的 对 称 轴 x ? 1 , 所 以 当 x ? ?? 1,2? 时

f min ( x) ? f (1) ? 1 ,

f max ( x) ? f (?1) ? 5 ,∴ f ( x) ? ?1,5? 。
⑶ ∵ f ( x) 在 x ? ?1, m? 上 为 增 函 数 , ∴ ?

?1 ? 1 ? f (1) ? 1 ?? 2 ∴ m ?1或 ?m ? 2 m ? 2 ? m ? f (m) ? m

m ? 2 ,又 m ? 1 ,所以 m ? 2 。
38.已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 6,6? 上的奇函数, 且 f ( x) 在 ?0,3? 上是 x 的一次函数, 在 ?3,6? 上是 x 的二次函数,且当 3 ? x ? 6 时, f ( x) ? f (5) ? 3 , f (6) ? 2 ,求 f ( x) 的解析式。 解:∵ f ( x) 在 ?3,6? 上是 x 的二次函数,且当 3 ? x ? 6 时, f ( x) ? f (5) ? 3 ; ∴(5,3)是此二次函数图象的顶点,设这个二次函数为 f ( x) ? a( x ? 5) 2 ? 3 。 ∵ f (6) ? 2 ;∴ a ? ?1 。∴ f ( x) ? ?( x ? 5) 2 ? 3 ( x ? ?3,6? ) ,∴ f (3) ? ?1 。 又函数 f ( x) 是定义在 ?? 6,6? 上的奇函数;∴ f (0) ? 0 。 ∵ f ( x) 在 ?0,3? 上是 x 的一次函数,且 f (0) ? 0 , f (3) ? ?1 ;∴ f ( x ) ? ? 又∵函数 f ( x) 是定义在 ?? 6,6? 上的奇函数, ∴ x ? ?? 3,0? 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?[? (? x)] ? ?

1 x。 3

1 3

1 x; 3

x ? ?? 6,?3? 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x ? 5) 2 ? 3} ? ( x ? 5) 2 ? 3 。
?? ( x ? 5) 2 ? 3 x ? ?3,6? ? ? 1 综上 f ( x) ? ?? x x ? ?? 3,3? ? 3 x ? ?? 6,?3? 2 ? ?( x ? 5) ? 3
39.设函数 g ?x? ?

x ? 1 ,函数 h?x ? ?

1 , x ? ?? 3, a ? ,其中 a 为常数且 a ? 0 ,令函数 x?3

f ?x ? ? g ( x) ? h( x) 。
(1)求函数 f ?x ? 的表达式,并求其定义域; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ?x ? 的值域; 4

(3)是否存在自然数 a ,使得函数 f ?x ? 的值域恰为 ? , ? ?若存在,试写出所有满足条 3 2 件的自然数 a 所构成的集 合;若不存在,试说明理由。

?1 1 ? ? ?

x ?1 ,其定义域为 [0, a ] ; x?3 3 (2)令 t ? x ? 1 ,则 t ? [1, ] 且 x ? (t ? 1) 2 2 t t ? 2 ∴ y ? f ( x) ? 2 (t ? 1) ? 3 t ? 2t ? 4
解: (1) f ( x) ?

???2 分

???5 分

∴y?

1 t ?2? 4 t

4 在 [1,2] 上递减,在 [2,??) 上递增, t t 3 1 6 ∴ 2 在 [1, ] 上递增,即此时 f ( x) 的值域为 [ , ] 2 3 13 t ? 2t ? 4
∵t ? 2 ? (3)令 t ?

???8 分

x ? 1 ,则 t ?[1,1 ? a ] 且 x ? (t ? 1) 2 ∴ y ?

1 t ?2? 4 t

4 在 [1,2] 上递减,在 [2,??) 上递增, t t ∴y= 2 在 [1,2] 上递增, [2,1 ? a] 上递减, ???10 分 t ? 2t ? 4 t 1 t ? 2时 2 的最大值为 , ???11 分 2 t ? 2t ? 4 1 t ∴ a ? 1 ,又 1 ? t ? 2 时 ? 2 3 t ? 2t ? 4 t 1 ?1 1 ? ? ,解得: t ? 1 或 t ? 4 ???12 分 ∴由 f ?x ? 的值域恰为 ? , ? ,由 2 t ? 2t ? 4 3 ?3 2 ? ?1 1 ? 即 f ?x ? 的值域恰为 ? , ? 时, 1 ? a ? 4 ? a ? 9 ???13 分 ?3 2 ? 所求 a 的的集合为 {1,2,?,9} 。 ???14 分 b 5 17 40.已知: 函数 f ( x ) ? ax ? ? c ( a、b、c 是常数) 是奇函数, 且满足 f (1) ? , f (2) ? 。 x 2 4 (Ⅰ)求 a、b、c 的值; 1 (Ⅱ)试判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ) 上的单调性并说明理由; 2
∵t ? 2 ? (Ⅲ)试求函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的最小值. 解: (Ⅰ)∵函数 f ( x ) 是奇函数,则 f (? x) ? f ( x) ? 0

b b ? c ? ax ? ? c ? 0 ∴ c ? 0 ??????2 分 x x 5 17 5 b 17 1 由 f (1) ? , f (2) ? 得 a ? b ? , 2a ? ? 解得 a ? 2, b ? 2 4 2 2 4 2 1 ∴ a ? 2, b ? , c ? 0 . ??????????4 分 2
即 ?ax ? (Ⅱ) (Ⅲ) 41.已知函数 f ( x) ?

3? x ?

1 的定义域为集合 A, B ? { x | x ? a} x?2

(1)求集合 A ; (2) 若 A ? B ,求 a 的值;

(3)若全集 U ? {x | x ? 4 } , a ? ?1 ,求 CU A 及 A ? (CU B)

A ? x ?2 ? x ? 3 [ (1)

?

?

(2)a ? ?3, ???

(3)

CU A ? ? ??, ?2? ? ? 3, 4? CU B ? ? ?1, 4? , A ? CU B ? ? ?1,3?

42.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值、最小值分别是 M、m,集合

A ? ?x | f ( x) ? x? .
(1)若 A ? {1, 2},且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? {1} ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g (a ) 的最小值. (1) M ? 10,m ? 1 , (2)

31 4

43.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,设 g ( x ) ? (1)试判断 g ( x)与h( x) 的奇偶性; (2)试判断 g ( x), h( x)与f ( x) 的关系;

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , h( x ) ? 2 2

(3)若 f ( x) ? x2 ? x ? 1 ,求满足条件的 g ( x), h( x) .

44.如图,已知抛物线 y ? ax2 ? 4x ? c 经过点 A(0, ?6) 和 B(3, ?9) , (1)求出抛物线的解析式; (2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标; (3)点 P(m,m) 与点 Q 均在抛物线上(其中 m>0) ,且这两点关于抛物线的对称轴对称, 求 m 的值及点 Q 的坐标; (4)在满足(3 )的情况下,在抛物线的对称轴上 寻找一 点 M, 使得△QMA 的周长最 小.

45. 函 数 f ( x) 的 定 义 域 D ? x x ? 0

?

?

, 且 满 足 对 于 任 意 x1 , x2 ? D , 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
(1)求 f (1) 与 f (?1) 的值; (2)判断函数的奇偶性并证明; (3)若 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,求证 f ( x) 在区间(0,+∞)上是增函数; (4)在(3)的条件下,若 f (4) ? 1 ,求不等式 f (3x ? 1) ? 2 的解集. 解: (1)令 x1 ? x2 ? 1可得 f (1?1) ? f (1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 ;同理 f (?1) ? 0 (2)令 x1 ? ?1, x2 ? x 得 f (? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) ,所以函数是偶函数 (3)任取 x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 ,则

x2 x ?1, f ( 2 ) ? 0 x1 x1

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ?

x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ,所以函数 f ( x) 在(0,+∞)上是增函数 x1 x1
由(3)可得

( 4 ) f (4 ? 4) ? f (4) ? f (4) ? 2 , 所 以 f (3x ? 1) ? 2 ? f (16)

1 0 ? 3 x ? 1 ? 16 ,解得 ? ? x ? 5 3 17 1 ?x?? 同理可得 ? 3 3 1 ? ? x ? x , x ? [ ?2,?1) ? 1 ? 46.已知函数 f ( x ) ? ? ? 2, x ? [ ?1, ) 2 ? 1 1 ? x ? , x ? [ , 2] ? x 2 ?
(I)求 f ( x) 的值域; (II)设函数 g ( x) ? ax ? 2, x ? [?2,2] ,若对于任意 x1 ? [?2,2], 总存在 x0 ? [?2,2] , 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围. 解: (I)当 x ? [?2,?1) 时, f ( x) ? x ?

1 5 在 [?2,?1) 上是增函数,此时 f ( x ) ? [ ? ? 1) x 2

当 x ? [ ?1, ) 时, f ( x) ? ?2 , 当 x ? [ ,2] 时, f ( x) ? x ? 此时 f ( x ) ? [ ?

1 2

1 2

1 1 在 [ , 2] 上是增函数, x 2
…………………6 分

3 3 5 3 3 , ] , ? f ( x) 的值域为 [? ,?2] ? [? , ] 2 2 2 2 2

(II) (1)若 a ? 0 , g ( x) ? ?2, 对于任意 x1 ? [?2,2] , f ( x1 ) ? [? 不存在 x0 ? [?2,2] 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立

5 3 3 ,?2] ? [? , ] , 2 2 2

……………………8 分

47.已知函数 f ( x) ? x ?

1 x

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证:函数 f ( x ) 在(0,1)上是单调减函数,在 ?1, ?? ? 上是单调增函数; (3)用描点法画出函数 f ( x ) 的图象;根据图象写出函数 f ( x ) 的单调区间及值域。 (1)解:∵函数 f ( x ) 的定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? ,关于原点对称;??????2 分 又∵ f (? x) ? ? x ?

1 1 ? x ? ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数。??????????? 4 ?x x
y

分 (2)略?????????????????10 分 (3) 函数 f ( x ) 图象如图所示 ??????14 分 函数 f ( x ) 的单调增区间是 ? ?1,0? , ?1, ??? , 单调减区间是 ? ??, ?1? , ? 0,1? ,值域是 ?2, ??? ??16 分
-1 O

1

x

48.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? bx ? c, 且 f ?1? ? 0 . (1)若函数 f ? x ? 是偶函数,求函数 f ? x ? 在区间 ? 1,3 上的最大值和最小值; (2)要使函数 f ? x ? 在区间 ? 1,3 上单调递增,求 b 的取值范围. 解: (1)由 f ?1? ? 0 ,得: 1 ? b ? c ? 0 ∴ 由 f ? x ? 是偶函数,得: b ? 0 此

?

?

?

?

c ? ?1





f ?x? ? x 2 ? 1



x ? 0,

f ? x ?min ? ?1, x ? 3, f ? x ?max ? 8
(2)由题,知: f ? x ? 得对 称轴为: x ? ?

b , 2

又 f ? x ? 在区间 ? 1,3 上是递增

?

?

的,∴ ?

b ? ?1, 即 b ? 2 2

∴ b ? 2 时, f ? x ? 在区上是递增的间 ??1,3? 49.已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ?1 ( a 为实常数). (1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x ) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

解析:(1) a ? 1

1 2 3 ? ( x ? ) ? ,x ? 0 ? ? ? x ? x ? 1, x ? 0 ? 2 4 2 f ( x) ? x ? | x | ?1 ? ? 2 ?? 2分 1 3 ? x ? x ? 1 , x ? 0 2 ?( x ? ) ? , x ? 0 ? ? 2 4 ?
2

∴ f ( x) 的单调增区间为( ,?? ),(-

1 ,0) 2 1 1 f ( x) 的单调减区间为(- ?,? ),( 0, ) 2 2

1 2

??????????????4 分

2 (2)由于 a ? 0 ,当 x ∈[1,2]时, f ( x) ? ax ? x ? 2a ? 1 ? a( x ?

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

1

0

0?

1 ?1 2a

即a ?

1 2

f ( x)在[1,2]为增函数
????????????6 分

g (a) ? f (1) ? 3a ? 2

2 3

0

1?

1 ?2 2a

0

1 ?2 2a

1 1 1 1 ? a ? 时, g ( a ) ? f ( ) ? 2a ? ? 1 ???8 分 4 2 2a 4a 1 即 0 ? a ? 时 f ( x)在[1,2]上是减函数 4
即 ??????????????????? 10 分

g (a) ? f (2) ? 6a ? 3

综上可得

1 ? ?6a ? 3,0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? g ( a ) ? ?2 a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? ?3a ? 2, a ? 2 ?

???????????11 分

(3) h( x) ? ax ?

2a ? 1 ? 1 在区间[1,2]上任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 x

则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? (ax2 ?

2a ? 1 2a ? 1 ? 1) ? (ax1 ? ? 1) 2 x1 x
??13 分

? ( x2 ? x1 )(a ?

2a ? 1 x2 ? x1 )? [ax1 x2 ? (2a ? 1)] (*) x1 x2 x1 x2

∵ h( x)在[1,2]上是增函数 ∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ∴(*)可转化为 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 对任意 x1 、 x2 ? [1,2]且x1 ? x2都成立 即 ax1 x2 ? 2a ? 1 1 2 3
0

当 a ? 0时, 上式显然成立

0

a?0 a?0

0

2a ? 1 a 2a ? 1 x1 x2 ? a x1 x2 ? 1 2

由 1 ? x1 x2 ? 4



2a ? 1 ?1 a

解得 0 ? a ? 1 ??15 分

2a ? 1 ?4 a

得?

1 ?a?0 2

所以实数 a 的取值范围是 [ ? ,1]

????????????16 分

50.已知函数 f ( x )=x 2+ax+b (1)若对任意的实数 x 都有 f (1+x)=f (1-x) 成立,求实数 a 的值; (2)若 f (x)为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f (x)在[ 1,+∞)内递增,求实数 a 的范围.

51.已知函数 f ? x ? ?

x . 1? x2

(1) 证明函数具有奇偶性; (2) 证明函数在 ?0,1? 上是单调函数; (3) 求函数在 ?? 1,1?

上的最值 证明: (1)由题意,对任意设 x ? R 都有 f (? x) ? 故 f(x)在 R 上为奇函数; ( 2 ) 任

?x x ?? ? ? f ( x), 2 1 ? ( ? x) 1 ? x2

??????????????4 分 取

x1,

?

x 且 [? 2

0

则 x1 ,

1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) , ? x1, x2 ?[0,1]且x1 ? x2 , (1 ? x12 )(1 ? x2 2 )

? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1,1 ? x12 ? 0,1 ? x2 2 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )
故 f(x)在[0,1]上为增函数; ?????????????8 分 (3) 由 (1) (2) 可知 ( f x) 在[-1, 1] 上为增函数, 故( f x) 在[-1, 1]上的最大值为 f (1) ? 最小值为 f (?1) ? ? 。

1 , 2

1 2

???????12 分

x2 ? 2 52.已知函数 f ( x) ? x
(1)它是奇函数还是偶函数?并给出证明;(2)它的图象具有怎样的对称性? (3)它在 3, ??? 上是增函数还是减函数?并用定义证明. 解析: (1) 奇函数 证明 (略) (2) 图象关于原点对称。 (3) 在 3, ??? 上是增函数 明(略) 53.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a, b 为常数,且 a ? 0 )满足条件: f (2) ? 0 ,且方程 f ( x) ? x 有 两个相等的实数根. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数在区间 ?? ? 3, 3? 上的最大值和最小值; (3)是否存在实数 m, n(m ? n), 使 f ( x) 的定义域和值域分别为 ?m, n? 和 ?2m,2n? , 如果存在, 求 出 m, n 的值,如不存在,请说明理由.

?

?



1 15 1 (1) f ( x) ? ? x 2 ? x ; (2) 最大值 f (1) ? , 最小值 f (?3) ? ? 2 2 2
满足题设条件。

(3)存在 m ? ?2, n ? 0

54.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a 米

(0 ? a ? 12) 、 4 米,不考虑树的粗细. 现在想用 16 米长的篱笆,借助墙角围成
一个矩形的花圃 ABCD,并要求将这棵树围在花圃内或在花圃的边界上, 设 BC ? x A am B D P 4m

C

第 20 题

米,此矩形花圃的面积为 y 平方米. (Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系,并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)当 BC 为何值时,花圃面积最大? 解答 (Ⅰ) 由已知 AB ? 16 ? x , ? y ? x(16 ? x) ? ? x 2 ? 16x . 又 x ? a,16 ? x ? 4 ,? a ? x ? 12 ,故函数定义域为 [a,12] . ?????? 3 分 ? 6分

(Ⅱ)由 y ? ?( x ? 8) 2 ? 64 ,对称轴为 x ? 8 ,又 0 ? a ? 12 ,? 当 0 ? a ? 8 时, x ? 8 即

BC ? 8 米时, y max ? 64.?????? 9 分
当 8 ? a ? 12 时, y 在 [a,12] 上递减,?x ? a 即 BC ? a 米时, ymax ? ?a 2 ? 16a . 55.某小型自来水厂的蓄水池中存有水 400 吨水, 水厂每小时可向蓄水池中注入自来水 60 吨。 若蓄水 池向居民小区不间断地供水,且 t 小时内供水总量为 120 6t 吨( 0 ? t ? 24 ) 。⑴供 水开始几小时后,蓄水池中的水量最小?最小水量为多少吨?⑵若蓄水池中的水量少于 80 吨,就会出现供水紧张现象,试问在一天的 24 小时内,有多少小时会出现供水紧张现象? 并说明理由。 设蓄水池中水量为 y ,则 y ? 400 ? 60t ?120 6t (0 ? t ? 24) ⑴ y ? 400 ? 60t ?120 6t ? 60( t ? 6)2 ? 400 ? 360 ? 60( t ? 6)2 ? 40 当 t ? 6 ,即 t ? 6 时, y 取最小值 40 故供水开始 6 小时后,蓄水池中的水量最小,最小水量为 40 吨 ⑵令 y ? 400 ? 60t ?120 6t ? 80 ,??9 分

? 3t ? 6 6t ? 16 ? 0,?
?

2 6 4 6 8 32 ? t? ,? ? t ? , 3 3 3 3

32 8 ? ? 8 ,??13 分 ∴在一天的 24 小时内,有 8 小时供水紧张. 3 3


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