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湖南省长沙市一中2012届高三数学第一次月考 理【会员独享】

湖南省长沙市一中2012届高三数学第一次月考 理【会员独享】


届高三上学期第一次月考试卷(数学理) 湖南省长沙一中 2012 届高三上学期第一次月考试卷(数学理)
时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:集合,常用逻辑用语,算法初步与框图,函数,导数及其应用) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.命题: ? x0 ∈ R, 2 A. ? x0 ∈ R, 2
x0 x0

≥ 1 的否定是
B. ? x0 ? R, 2
x0

<1

≥1

C. ? x ∈ R, 2 x ≥ 1

D. ? x ∈ R, 2 x < 1

答案:D 答案 2.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是
1

A.y=-x+1

B. y = x 2

C.y=x -4x+5

2

D. y =

1 x

答案:B 答案 3.设全集 U=R,集合 A={x | x(x+3)<0},B={x | x<-1},则右图中阴影部分表示的 R 集合为

A.{x |-3<x<-1} B.{x |-1≤x<0} C.{x |-3<x<0} D.{x |-1<x<0} 答案: B 答案 4.方程 log3x+x-3=0 的实数解所在的区间是 A.(0,1) B.A.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案:C 答案 5.设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1 且 f (2) = A. a <

2 3

B. a <

2 且 a ≠ ?1 3

C. a >

2 或 a < ?1 3

2a ? 3 ,则 a +1 2 D. ?1 < a < 3

答案:D 6.在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据:

则 y 关于 x 的函数关系与下列最接近的函数(其中 a、b、c 为待定系数)是 A.y=a+bx B.y=a+b
x

C.y=ax +b

2

D. y = a +

b x
-1-

答案:B 答案 x 7.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b),若 f(x)的图象如右图所示,则函数 g(x)=a +b 的图象大致为

A 答案:A 答案 8.已知函数 f ( x ) = ln x ?

B

C

D

1 3 x+ ? 1 ,g(x)=x2-2bx+4,若对任意 x1∈(0,2),存在 x2 4 4x
C. [

∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),则实数 b 的取值范围是 A. (2,

17 ] 8

B.[1,+∞]

17 , +∞ ) 8

D.[2,+∞]

答案:C 答案 解析: 解析 f ′( x) =

?( x ? 1)( x ? 3) ,令 f ′(x)=0 得 x1=1,x2=3?(0,2). 4x2 1 . 2

当 x∈(0,1)时,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减;当 x∈(1,2)时,f ′(x)>0,函数 f(x) 单调递增,所以 f(x)在(0,2)上的最小值为 f (1) = ?

由于“对任意 x1∈(0, 2),存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的 最小值不大于 f(x)在(0,2)上的最小值 ?
2 2

1 ” (*) . 2

又 g(x)=(x-b) +4-b ,x∈[1,2],所以 ①当 b<1 时,因为[g(x)]min=g(1)=5-2b>0,此时与(*)矛盾; 2 ②当 b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4-b ≥0,此时与(*)矛盾; ③当 b∈(2,+∞)时,因为[g(x)]min=g(2)=8-4b. 解不等式 8 ? 4b ≤ ?

1 17 ,可得 b ≥ . 2 8 17 综上,b 的取值范围是 [ , +∞ ) . 8
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 9.幂函数 f(x)=x (α 为常数)的图象经过 (3, 3) ,则 f(x)的解析式是
α


-2-

答案: 答案 f ( x) = x

1 2

10.已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是 增函数,若 f(lgx)<f(1),则 x 的取值范围 是 . 答案: 答案 (

1 ,10) 10


11.如图所示的程序框图运行后,输出的 S 的值是

答案:31 答案

?a x ? 12.若函数 f ( x ) = ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围 a (4 ? ) x + 2( x ≤ 1) ? ? 2
是 . 答案:[4,8) 答案 13.先作与函数 y = ln

1 的图象关于原点对称的图象,再将所得图象向右平移 3 个单位得 3? x


到图象 C1.又 y=f(x)的图象 C2 与 C1 关于 y=x 对称,则 y=f(x)的解析式是 x 答案:y=e 答案 14.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:

f(x)的导函数 y=f ′(x)的图象如图所示:

则 f(x)的单调递增区间是 答案:[-1,0]和[2,4] 答案

;f(x)的最大值是 2



-3-

15.定义 min{p,q}表示 p、q 中的较小者,若函数 f ( x ) = min{log 2 x,3 + log 1 x} ,则满足
4

f(x)<2 的 x 的取值范围是 . 答案:(0,4)∪(4,+∞) 答案 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) x+1 2 已知 a>0 且 a≠1,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递减,命题 q:曲线 y=x +(2a-3)x +1 与 x 轴交于不同的两点,如果“p∨q”为真,且“p∧q”为假,求 a 的取值范围. 解析:若命题 p 为真,则 0<a<1. …………2 分 解析 若命题 q 为真,则(2a-3) -4>0,即 a <
2

1 5 或a > . …………5 分 2 2

∵“p∨q”为真, “p∧q”为假,∴p 与 q 有且只有一个为真. …………7 分

?0 < a < 1 1 ? (1)若 p 真 q 假,则 ? 1 5 ,∴ ≤ a < 1 .…………9 分 2 ? 2 ≤ a < 1或1 < a ≤ 2 ? ?a ≥ 1 5 ? (2)若 p 假 q 真,则 ? 1 5 ,∴ a > .…………11 分 2 ? a < 2 或a > 2 ?
综上所述,a 的取值范围是 [ ,1) U ( , +∞ ) .…………12 分 17.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) =

1 2

5 2

x2 ? x ? 1 2 2 2 的值域是集合 A,函数 g(x)=lg[x -(a+1) x+a(a +a+1)]的定 x

义域是集合 B,其中 a 是实数. (1)分别求出集合 A、B; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 解析: 解析 (1)由 f ( x ) = x +
2 2 2

1 ? 1 知,A=(-∞,-3]∪[1,+∞).…………4 分 x
2 2

由 x -(a+1) x+a(a +a+1)=(x-a)[x-(a +a+1)]>0 得 x<a 或 x>a +a+1, 2 即 B=(-∞,a)∪(a +a+1,+∞).…………8 分 (2)∵A∪B=B,∴ A ? B, 有 ?

?a > ?3
2 ?a + a + 1 < 1



记得 a 的取值范围是(-1,0).…………12 分 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = x 2 +

a ( x ≠ 0, a ∈ R ) . x

(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 2 解析: 解析 (1)当 a=0 时,f(x)=x 为偶函数;…………2 分 当 a≠0 时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.…………5 分

-4-

(2)设 x2>x1≥2,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x12 +

a a x1 ? x2 2 ? x2 ? = ? [ x1 x2 ( x1 + x2 ) ? a] .…………8 分 x1 x2 x1 x2

由 x2>x1≥2 得 x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0, 要使 f(x)在 [2,+∞)上是增函数,只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16.…………12 分 另解: 另解 f ′( x ) = 2 x ?

a ,要使 f(x)在 [2,+∞)上是增函数, x2
………8 分

只需当 x≥2 时,f ′(x)≥0 恒成立,

a 即 2 x ? 2 ≥ 0 恒成立.…………10 分 x
∴a≤2x . 又 x≥2,∴a≤16,故当 a≤16 时,f(x)在 [2,+∞)上是增函数. …………12 分 19.(本小题满分 13 分) 市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律:该商 品的价格上涨 x%(x>0),销售数量就减少 kx%(其中 k 为正数),预测规律将持续下去.目前 该商品定价为每件 10 元,统计其销售数量为 1000 件. (1)写出该商品销售总金额 y 与 x 的函数关系,并求出当 k =
2

1 时,该商品的价格上涨多少, 2

就能使销售总额达到最大? (2)如果在涨价过程中只要 x 不超过 100,其销售总金额就不断增加,求此时 k 的取值范围. 2 解析: 解析 (1)y=10(1+x%)×1000(1-kx%)=-kx +100(1-k)x+10000(k>0).……4 分 取k =

1 1 1 , y = ? x 2 + 50 x + 10000 = ? ( x ? 50) 2 + 11250 , 2 2 2

当 x=50 时,即商品价格上涨 50%时,ymax=11250.…………7 分 2 ( 2 ) y = - kx + 100(1 - k)x + 10000(k > 0) 为 二 次 函 数 , 其 图 象 开 口 向 下 , 对 称 轴 为

x=

50(1 ? k ) , k

在适当的涨价过程中,销售总金额不断增加,即要求此函数当自变量 x∈(0,100]时是增函 数.…………9 分 ∴

50(1 ? k ) ≥ 100 . k 1 1 ,即符合题意的 k 的范围是 (0, ] .……13 3 3

又 k>0,∴50(1-k)≥100k,∴ 0 < k ≤

20.(本小题满分 13 分) 2 x 2 3-x 已知函数 f(x)=(a +8)e ,函数 g(x)=(x +ax-2a-3)e . (1)若 a=0,求 g(x)的单调递增区间; (2)若 a>0,且存在 ξ1,ξ2∈[0,4]使得| f(ξ1)-g(ξ2)|min<3,求实数 a 的取值范围. 3-x 2 3-x 3-x 2 解析: 解析 (1)g′(x)=(2x+a)e -(x +ax-2a-3)e =e [-x +(2-a)x+3a+3]. 2 令-x +(2-a)x+3(a+1)=0,因为 a=0,所以当-1<x<3 时,g′(x)>0, 所以 g(x)的单调递增区间为(-1,3). …………5 分 2 x (2)因为对任意的 a 值,f ′(x)>0 恒成立,所以当 a>0 时函数 f(x)=(a +8)e 在[0,4] 上单调递增,

-5-

所以 f(x)min=f(0)=a +8. …………7 分 令 g′(x)=0,得 x1=3,x2=-(a+1).因为 a>0,所以 x2=-(a+1)<0.

2

所以 g(x)max=g(3)=6+a.…………10 分 2 2 由 a +8>6+a,即 f(x)min>g(x)max,所以| f(ξ1)-g(ξ2)|min<3,即 a -a+2<3, 所以 ?

?a > 0 ?a ? a + 2 < 3
2

,解得 a ∈ (0,

1+ 5 ) .…………13 分 2

21.(本小题满分 13 分) y 定义 F(x,y)=(1+x) ,x,y∈(0,+∞). 3 2 (1)令函数 f(x)=F(1,log2(x +ax +bx+1))的图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C 在 x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围; x (2)令函数 g(x)=F(1,log2[(lnx-1)e +x]),是否存在实数 x0∈[1,e],使曲线 y=g(x) 在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由; (3)当 x,y∈N*,且 x<y 时,求证:F(x,y)>F(y,x). N 3 2 3 2 解析: 解析 (1)f(x)=F(1,log2(x +ax +bx+1))=x +ax +bx+1,设曲线 C 在 x0(-4<x0<- 1)处有斜率为-8 的切线, 3 2 3 2 2 又由题设知 log2(x +ax +bx+1)>0,令 φ(x)=x +ax +bx+1,则 φ′(x)=3x +2ax+b,
2 ?3 x0 + 2ax0 + b = ?8 ? ∴存在实数 b 使得 ??4 < x0 < ?1 ? 3 2 ? x0 + ax0 + bx0 > 0
2 2

① ② 有解.…………3 分 ③

由①得 b=-8-3x0 -2ax0,代入③得-2x0 -ax0-8<0, ∴由 ?
2 ?2 x0 + ax0 + 8 > 0 ? 有解, ??4 < x0 < ?1 ?

当 x0 ∈ [1 , e] 时 ,

-6-

e x0 ≥ e > 0,

1 + ln x0 ? 1 ≥ 0 , x0 1 + ln x0 ? 1)e x0 + 1 ≥ 1 > 0 .…………8 分 x0

∴ g ′( x0 ) = (

曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g′(x0)=0 有实数解. 而 g′(x0)>0,即方程 g′(x0)=0 无实数解. 故不存在实数 x0∈[1,e],使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直.…………9 分

x ? ln(1 + x) ln(1 + x ) . (3)令 h ( x ) = , x ≥ 1 ,由 h ′( x) = 1 + x 2 x x
又令 p ( x ) =

x 1 1 ?x ? ln(1 + x), x > 0 ,∴ p ′( x) = ? = <0, 2 1+ x (1 + x) 1 + x (1 + x) 2

∴p(x)在[0,+∞)上单调递减,∴当 x>0 时,有 p(x)<p(0)=0, ∴当 x≥1 时,有 h′(x)<0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴当 1≤x<y 时,有

ln(1 + x) ln(1 + y ) > , x y
y x

∴yln(1+x)>xln(1+y),∴(1+x) >(1+y) , ∴当 x,y∈N*,且 x<y 时,F(x,y)>F(y,x).…………13 分 N

-7-


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