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【全国市级联考word版】福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试(期末考)数学(文)试题

【全国市级联考word版】福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试(期末考)数学(文)试题

三明市 A 片区高中联盟校 2018 届高三上学期期末考试 文科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 0 , B ? x | y ?

?

?

?

x ? 1 ,则 A I B ? (

?



A. ?0,3?

B. [0,1)

C. ?1,3?

D. (1,3] )

2.设 (1 ? 2i)(a ? i) 的实部与虚部互为相反数,其中 a 为实数,则 a ? ( A. ?3 B. ?2 C. 2 D. 3 )

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( A. 4? B. 8? C. 10?

D. 12?

4.若 ? 为第一象限角,且 cos(? ? A.

?
6

)?

12 25

B.

24 25

3 ? ,则 sin(2? ? ) 的值为( ) 5 3 24 12 C. ? D. ? 25 25

5.数学的美无处不在,如图所示,这是某种品牌轿车的标志.在此标志中左右对称的两条黑色曲线 可以近似地看成双曲线的部分图形.若左边等腰三角形的两腰所在直线是双曲线的渐近线,且等腰 三角形的底约为 4 个单位,高约为 3 个单位,则双曲线的离心率为( A. )

13 3

B.

13 2

C.

6 2

D. 2

6.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 可由函数 y ? sin 2 x 的图象( )

?
2

)的部分图象如图所示,则该函数的图象

? 个单位得到 3 ? C.向左平移 个单位得到 6
A.向左平移 A. ?

? 个单位得到 3 ? D.向右平移 个单位得到 6
B.向右平 移 ) D.?

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 为(

1 3

B. ?

3 2

C. 2

2 3

8.如图,在下列四个正方体中, A , B 为正方体的两个顶点, M , N , Q 为所在棱的中点,则在

这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是( 9.函数 f ( x) ? sin x ? ln | x | 的大致图象是( )



? x ? 3 y ? 3, ? 10.设 x , y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 1, 若目标函数 z ? ? x ? ay ( a ? 0 )取得最大值的最优解 ? y ? 0, ?
有无数个,则 z ? ? x ? ay 的最小值为( A. ?4 B. ?3 ) C. ?2 D. ?1

11.如图,直线 x ? m 与抛物线 x2 ? 4 y 交于点 A ,与圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 的实线部分(即在抛物线 内的圆弧)交于点 B , F 为抛物线 的焦点,则 ?ABF 的周长的取值范围是( A. (4, 6) 12.定义运算 a ? b ? ? B. (4, 6] C. (2, 4) D. (2, 4] )

?b, a ? b, 设函数 f ( x) ? ln x ? log 1 x , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间 (0, 4) ?a, a ? b, e
) C. (0,

上有三个零点,则实数 a 的取值范围是( A. (0, )

1 e

B. (

ln 2 , e) 2

ln 2 ) 2

D. (

ln 2 1 , ) 2 e

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) r r r r r r 13.已知向量 a ? ( x,1) , b ? (?2, 4) ,若 a ? b ,则 | a ? b |? .
14.某校高一年级 10 个班级参加国庆 歌咏比赛的得分(单位:分)如茎叶图所示,若这 10 个班级的 得分的平均数是 90,则

1 9 ? 的最小值为 a b



15.我国传统的房屋建筑中,常会出现一些形状不同的窗棂,窗棂上雕刻有各种花纹,构成种类繁多 的图案.如图所示的窗棂图案,是将半径为 R 的圆六等分,分别以各等分点为圆心,以 R 为半径画 圆弧,在圆的内部构成的平面图形.现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在黑色部 分(忽略图中的白线)的概率是 .

b ,c 是锐角 ?ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边,b ? 3 , 16.已知 a , 且满足
则 a ? c 的取值范围是 .

2c ? a cos B ? cos A , b

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
17.设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,且 d ? 0 ,已知 a1 ? 2 , a3 ? a22 ? 10 ,设数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 ,

an ? 2 ? log2 bn?1 .
(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 18.如图, 在多边形 PABCD 中, AD / / BC , AB ? AD ,PA ? AB ? AD ? 2 BC ,?PAD ? 60? ,

M 是线段 PD 上的一点,且 DM ? 2 MP ,若将 ?PAD 沿 AD 折起,得到几何体 P ? ABCD .
(1)试问:直线 PB 与平面 ACM 是否有公共点?并说明理由; (2)若 BC ? 1 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,求三棱锥 P ? ACM 的体积. 19.某网站调查 2016 年大学毕业生就业状况,其中一项数据显示“2016 年就业率最高学科”为管理 学,高达 93.6% (数据来源于网络,仅供参考) .为了解高三学生对“管理学”的兴趣程度,某校 学生社团在高校高三文科班进行了问卷调查,问卷共 100 道选择题,每题 1 分,总分 100 分,社团 随机抽取了 100 名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,得到频率分布表如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合计 (1)求频率分布表中 x , y , z 的值; (2)若将得分不低于 60 分的称为“ 管理学意向”学生,将低于 60 分的称为“非管理学意向”学生, 根据条件完成下面 2 ? 2 列联表,并据此判断是否有 99.9% 的把握认为是否为“管理学意向”与性别 有关? 非管理学意向 男生 女生 合计 (3)心理咨询师认为得分低于 20 分的学生可能“选择困难” ,要从“选择困难”的 5 名学生中随机 抽取 2 名学生进行心理辅导,求恰好有 1 名男生,1 名女生被选中的概率. 管理学意向 合计 分组 男生 3 17 20 6 4 50 10 18 12 50 30 24 16 100 0.3 0.24 0.16 1 女生 2 频数 5 频率 0.05

参考公式: K 2 ? 参考临界值:

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.050 3.841 20.已知 A 是椭圆

0.010 6.635

0.001 10.828

x2 y 2 OA 的中点, ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的左顶点, 左焦点 F 抛物线 y 2 ? 4 x 1 是线段 2 a b

的准线恰好过点 F 1. (1)求椭圆的方程; (2)如图所 示,过点 A 作斜率为 k 的直线 l1 交椭圆于点 M ,交 y 轴于点 N ,若 P 为线段 AM 的 中点,过 N 作与直线 OP 垂直的直线 l2 ,证明对于任 意 的 k ( k ? 0 ) ,直线 l2 过定点,并求出此定 点坐标. 21.已知函数 f ( x ) ?

ax ? b 1 ( e 是自然对数的底数) , f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? ? 2 . x e e

(1)求实数 a , b 的值; (2)若对任意的 x ? (0, ??) , 2 | ln x ? 1|? f ( x) ? c 恒成立,求实数 c 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, A(0, ?1) , B(? 3,0) ,以 AB 为直径的圆记为圆 C ,圆 C 过原点 O 的切线 记为 l ,若以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若过点 P(0,1) ,且与直线 l 垂直的直线 l ' 与圆 C 交于 M , N 两点,求 | MN | . 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ? | m ? x | ( m ? R ) . (1)当 m ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 6 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

参考答案

一、选择题
1-5: CDDBA 6-10: CBDCB 11、12: AD

二、填空题
13.5 14.2 15. 2 ?

3 3

?

16. (3, 2 3]

三、解答题
17.解: (1)依题意有 ?

? ?a1 ? 1, 解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍去) , 2 ? ?a1 ? 2d ? (a1 ? d ) ? 10,

所以 an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n , ∵ an ? 2 ? log2 bn?1 ,∴ bn?1 ? 2 ∴ bn ? 4n . (2)由(1)知 an ? bn ? 2n ? 4n , 所以 Sn ? 2 ?1 ? 41 ? 2 ? 2 ? 42 ? …? 2 ? n ? 4n
an ?2

? 22n?2 ? 4n?1 ,

? n(n ? 1) ?

4n ?1 ? 4 . 3

18.解: (1)直线 PB 与平面 ACM 没有公共点,理由如下: 连接 BD ,交 AC 于点 O ,连接 MO . ∵ AD / / BC ,∴ ?BCO : ?DAO , ∵ AD ? 2 BC ,∴ DO ? 2 BO , ∵ DM ? 2 MP ,∴ PB / / MO , ∵ PB ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC , ∴ PB / / 平面 MAC ,即直线 PB 与平面 ACM 没有公共点.

BA ? 平面 ABCD , BA ? AD , (2) ∵平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD I 平面 ABCD ? AD ,
∴ BA ? 平面 PAD , ∵ BC / / AD , BC ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD ,∴ BC / / 平面 PAD , ∴三棱锥 C ? PAM 的高等于点 B 到平面 PAD 的距离,即 BA ? 2 , ∵ S?PAM ?

1 1 1 3 S?PAD ? ? ? AP ? AD ? sin 60? ? , 3 3 2 3

∴ VP ? ACM ? VC ? PAM ?

1 2 3 . S?PAM ? BA ? 3 9

19.解: (1)依题意得 x ? 8 , y ? 25 , z ? 0.25 . (2) 2 ? 2 列联表: 非管理学意向 男生 女生 合计
2

管理学意向

合计 50 50

60

40

100

100(40 ? 30 ? 20 ?10)2 K ? ? 16.667 ? 10.828 , 60 ? 40 ? 50 ? 50
故有 99.9% 的把握认为是否为“管理学意向”与性别有关. (3)将得分在 [0, 20) 中 3 名男生分别记为 a , b , c ,得分在 [0, 20) 中 2 名女生记为 M , N ,则

( a, b) , ( a, c ) , ( a, M ) , ( a, N ) , (b, c) , 从得分在 [0, 20) 的学生中随机选取两人所有可能的结果有: (b, M ) , (b, N ) , (c, M ) , (c, N ) , ( M , N ) 共 10 种.
设“恰好有 1 名男生,1 名女生被选中”为事件 A , 则事件 A 所有可能的结果有: (a, M ) , (a, N ) , (b, M ) , (b, N ) , (c, M ) , (c, N ) 共 6 种, 所以恰好有 1 名男生,1 名女生被选中的概率为

6 3 ? . 10 5

20.解: (1)依题意得抛物线 y 2 ? 4 x 的准线为 x ? ?1 ,所以恰好过点 F1 (?1,0) , c ? 1 ,
2 2 2 ∴左顶点为 A(?2, 0) , a ? 2 , b ? a ? c ? 3 ,

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆的方程为 4 3
(2)直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,与椭圆的方程

x2 y 2 + ? 1 联立,消去 y 得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 ,
设 M ( x1 , y1 ) ,则 ?2 ? x1 ? ? ∵ P 为线段 AM 的中点,

16k 2 , 3 ? 4k 2

∴ xP ?

6k ?2 ? x1 8k 2 8k 2 ?? y ? k ( x ? 2) ? k ( ? ? 2) ? , , P P 2 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

∴ P 的坐标为 (? 则 kOP ? ?

8k 2 6k , ), 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

3 (k ? 0) , 4k 4 所以直线 l2 的斜率为 k , 3
又直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,令 x ? 0 ,得 N (0, 2k ) ,

4 4 3 kx ,即直线 y ? k ( x ? ) , 3 3 2 3 所以直线 l2 过定点,此定点为 (? , 0) . 2
∴直线 l2 的方程为 y ? 2k ? 21.解: (1) f '( x) ?

ae x ? (ax ? b)e x (a ? b) ? ax , ? (e x )2 ex
b ? 1 ,① e

依题意得 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f '(1) ? ?

f (1) ?

a?b 1 ? ? 1 ,② e e x?e , ex

联立①②解得 a ? 1 , b ? ?e . (2)由(1)得 f ( x ) ?

由任意的 x ? (0, ??) , 2 | ln x ? 1|? f ( x) ? c 恒成立, 可知任意的 x ? (0, ??) , 2 | ln x ? 1| ? 令 g ( x) ? 2 | ln x ? 1| ?

x?e , ex

x?e ? c 恒成立, ex

①当 x ? e 时, g ( x) ? 2(ln x ? 1) ?

x?e , ex

2 e ? 1 ? x ?e x ? x( x ? e ? 1) 2e x ? x 2 ? (e ? 1) x g '( x) ? ? ? ? , x ex xe x xe x
令 h( x) ? 2e ? x ? (e ? 1) x ,
x 2

∵ 2e 和 x ? (e ? 1) x 在 [e, ??) 上都单调递增, h( x) 在 [e, ??) 上单调递增,
x

2

∴ h( x) ? h(e) ? 2e ? e ? 0 ,∴ g '( x) ? 0 ,
e

∴ g ( x) 在 [e, ??) 上单调 递增; ②当 0 ? x ? e 时, g ( x) ? 2(1 ? ln x) ? 则 g '( x) ? ?

x?e , ex

2 e ?1? x 2e x ? x(1 ? e ? x) ? ? ? , x ex xe x
x

当 x ? (0, e) 时, 2e ? 0 , x(1 ? e ? x) ? 0 ,∴ 2ex ? x(1 ? e ? x) ? 0 ,即 g '( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 (0, e) 上单调递减, 综上可知, g ( x) 在 x ? e 处取得最小值 g (e) ? 0 , 故 c ? 0 ,即 c 的取值范围是 ( ??, 0] . 22.解: (1)由题意,知圆 C 的直径 | AB |? 2 ,圆心 C 的坐标为 (?

3 1 ,? ) , 2 2

∴圆 C 的直角坐标为 ( x ?

3 2 1 ) ? ( y ? )2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 3x ? y ? 0 , 2 2

将 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入上式, 得到圆 C 的极坐标方程为 ? ? 3 cos? ? sin ? ? 0 . (2)因为直线 l ' 与圆 C 过原点 O 的切线 l 垂直,所以直线 l ' 的倾斜角为

? 3 ,斜率为 , 6 3

又直线 l ' 过点 P(0,1) ,故直线 l ' 的普通方程为 y ?

3 x ? 1 ,即 3x ? 3 y ? 3 ? 0 , 3

圆心 C (?

3 1 3 3 , , ? ) 到直线 l ' 的距离 d ? ? 2 2 2 2 3

所以 | MN |? 2 1 ?

3 ? 1. 4

23.解: (1)当 m ? 2 时, f ( x) ? 3 ,即 | x ? 3| ? | 2 ? x |? 3 , ①当 x ? ?3 时,得 ?5 ? 3 ,所以 x ?? ; ②当 ?3 ? x ? 2 时,得 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ,即 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 2 ; ③当 x ? 2 时,得 5 ? 3 ,成立,所以 x ? 2 .

故不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | x ? 1? . (2)因为 | x ? 3| ? | m ? x |?| x ? 3 ? m ? x |?| m ? 3| , 由题意得 | m ? 3 |? 6 ,则 ?6 ? m ? 3 ? 6 , 解得 ?9 ? m ? 3 , 故 m 的取值范围是 ? ?9,3? .


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