9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)同步训练新人教B版必修5

高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)同步训练新人教B版必修5

内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯

2.1.2

数列的递推公式(选学)

5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.判断下列说法哪个是错误的( ) A.递推公式也是数列的一种表示方法 B.an=an-1(n≥2)是递推公式 C.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式 D.an=2an-1(n≥2)是递推公式 解析:通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式,并且知道数 列的第一项,我们也可以确定数列,它也是给出数列的一种方法.an=an-1 与 an=2an-1,这两个 关系式虽然比较特殊, 但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系, 所以都是递推 公式. 答案: C 2.已知数列{an}的第 1 项是 1,第 2 项是 2,以后各项由 an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的 第 5 项等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2, ∴a3=a2+a1=1+2=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 答案:C 3.一个数列{an}的首项 a1=1,从第二项起每一项等于它的前一项的 2 倍再加上后一项,请写 出构成这个数列的递推公式 an=__________________. 解析:这个数列给出的方法是不同的,它是由前后项之间的关系确定的,只需要根据已知条 件就可以直接列出关系式,要注意 n 的取值范围. 答案:2an-1+an+1(n≥2) 4.在数列{an}中,an+1=an+2+an,a1=2,a2=5,则 a6 的值为_______________. 解析:∵an+1=an+2+an, ∴an+2=an+1-an, 则有 a6=a5-a4=(a4-a3)-a4=-a3=-(a2-a1)=a1-a2=2-5=-3. 答案:-3 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1. 已 知 a1=1 , an+1= an=_________. 解析:题中已给出{an}的第 1 项即 a1=1,根据递推公式:an+1= 得这个数列的前 5 项.

2a n * (n∈N ) , 依 次 写 出 {an} 的 前 5 项 为 __________ , 归 纳 出 an ? 2 2a n ,将 n=2,3,4,5 代入可 an ? 2

2 1 2 2 1 2 2 ,a3= (? ) ,a4= ,a5= (? ) .∴an= 2 4 3 6 n ?1 3 5 2 1 2 1 2 答案:1, , , , an= 3 2 5 3 n ?1
∴a2=
1

2.数列{an}满足 a1=1,an=an-1+n(n≥2),则 a5=_____________. 解析:由 an=an-1+n(n≥2),得 an-an-1=n,则 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,把各式相加得 a5-a1=2+3+4+5=14, ∴a5=14+a1=14+1=15. 答案:15 3.已知 a1=2,an+1=2an,写出前 5 项,并猜想 an. 2 3 解:将 n=2,3,4,5 代入 an+1=2an,可得:a1=2,a2=2 ,a3=2 , n 这样我们就很容易猜出通项公式 an=2 . 4.已知数列{an}:1,5,8,9,4,通过公式 bn=an·an+1 构造一个新的数列{bn},试写出数列{bn} 的前 4 项. 解:将序号 1,2,3,4 代入公式 bn=an·an+1,可得:b1=a1·a2=1×5=5,b2=a2·a3=5×8=40, b3=a3·a4=8×9=72,b4=a4·a5=9×4=36.所以数列{bn}的前 4 项为:5,40,72,36. 5.下面是由数字排列的一个数列:7,9,16,25,41,66,107,173,写出其递推公式. 解:通过观察我们可以发现这个数列的一个规律:每一项都等于其前两项的和, 7+9=16,9+16=25,16+25=41,25+41=66,…所以递推公式为:a1=7,a2=9,an=an-1+an-2(3≤n≤8). 6.在数列{an}中,a1=1,4an+1-anan+1+2an=9(n∈N),写出它的前 4 项并归纳出用 n 表示 an 的式 子. 解:∵4an+1-anan+1+2an=9(n∈N), ∴an+1(4-an)+2an=9. ∴an+1(4-an)=9-2an. ∴an+1=

9 ? 2a n . 4 ? an

∴a2=

9 ? 2a1 4 ? a1

=

9 ? 2 ?1 7 ? , 4 ?1 3

7 9 ? 2?( ) 3 ? 13 , 7 5 a? 3 13 9 ? 2?( ) 9 ? 2a 3 5 ? 19 . a4= ? 2 13 7 4?a 4? 5 9 ? 2a 2 a3= ? 4 ? a2
则求出的这个数列的前 4 项为:1,

7 13 19 6n ? 5 , , ,可归纳出通项公式为:an= . 3 5 7 2n ? 1
) D.2

30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 2 1.在数列{an}中,an=1,an+1=an -1(n≥1),则 a1+a2+a3+a4+a5 等于( A.-1 B.1 C.0 2 解析:由已知 an+1=an -1=(an+1)(an-1), ∴a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1. 答案:A

2

2.已知数列{an}中,a1=b(b 为任意正数) ,an+1= ? 数值可以是( A.14 ) B.15

1 (n=1,2,3,…) ,能使 an=b 的 n 的 an ? 1
D.17

C.16

解析:∵a1=b,an+1= ? ∴a2= ?

1 , an ? 1

1 b ?1 ,a3= ? ,a4=b. b ?1 b

∴{an}为周期为 3 的数列.由于 a1=a4=b, ∴a16=b. 答案:C 3.若数列{an}满足:an+1= 1 ?

1 且 a1=2,a2006 等于( an
C. 2

)

A.1 解析:由 an+1= 1 ?

B.2

D.

1 2

1 1 1 以及 a1=2 得,a2= 1 ? ? ,a3=1-2=-1,a4=2,…,由此可见,数列 2 2 an

{an}的项是以 3 为周期重复出现的,故 a2006=a3×668+2=a2=

1 ,故选 D. 2

答案:D 4.数列{an}的前 9 项是 1,5,7,17,31,65,127,257,511, 请写出这个数列所隐含的递推关系式 an=_____________. 解析:1+5=6,5+7=12,7+17=24,等等.12 与 17 差个 5,24 与 31 差个 7,那么下一项是否差个 17 呢?17+31+17=65 正符合,这样可以猜想出这个数列的递推关系式. 答案:a1=1,a2=5,an=an-1+2an-2(n≥3) 5.某网络公司,2005 年的市场占有率为 A,根据市场分析和预测,该公司自 1996 年起市场 占有率逐年增加,其规律如下图所示:

则该公司 2007 年的市场占有率为____________;写出其中的递推关系式:____________. 解析:2005 年的市场占有率为 A,2006 年的市场占有率为 A+ A+

A ,2007 年的市场占有率为 2

A A ? ,发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系,可以得到前后两年的递推关 2 4

系式.

3

7A 答案: 4

n ?1 ?a1 ? A ? 递推关系式为: ? A an ? an?1 ? n?1 n ? 2 ? 2 ?
2

6.设二次方程 anx -an+1x+1=0(n∈N)有两根 α 和 β ,且满足 6α -2α β +6β =3.试用 an 表示 an+1. 解: 根据韦达定理, 得 α +β =

a a n ?1 1 2 ,α ·β = , 由 6α -2α β +6β =3 得 6· n ?1 ? ? 3, an an an an
1 1 an ? . 2 3

又在二次方程中 an≠0,故 an+1=

7.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=α an+β ,且 a2=3,a4=15,求 α ,β 的值. 解:由 a2=α a1+β =α +β =3,得 β =3-α .故 a3=α a2+β =3α +β =2α +3, 2 2 a4=α a3+β =α (2α +3)+3-α =2α +2α +3=15.化简得 α +α -6=0. 解得 α =-3 或 α =2,代入 β =3-α 得 β =6 或 β =1. 故?

?? ? ?3, ?? ? ?3, 代入检验皆成立. 或? ?? ? 6, ?? ? 6.

8.平面内有 n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,用 an 表示交点的 个数,试写出 an 与 an-1 的关系式. 解:要想弄清 an 与 an-1 的关系,需要先研究 n=1,2,3,…,具体的关系.当 n=2 时,两条直线 相交,交点只有 1 个,当 n=3 时,三条直线相交,交点有 3 个,……当 n-1 条直线相交时, 交点个数为 an-1,现在来考虑 n 条直线的情况.任取其中的 1 条直线,记为 l,除 l 以外的其 他 n-1 条直线的交点个数 an-1.又因为已知任何两条直线不平行, 所以直线 l 必与平面内其他 n-1 条直线都相交,有 n-1 个交点,又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的 n-1 个交点两两不相同,且与平面内其他的 an-1 个交点也两两不相同.从而平面内 n 条直线交点 的个数是 an=an-1+(n-1). 9.某鱼塘养鱼,由于改进了饲养技术,预计第一年产量的增长率为 200%,以后每年的增长 率是前一年增长率的一半,设此鱼塘里原来的鱼储存量为 a.写出改进饲养技术后的第一年、 第二年、第三年、第四年的产量,并写出第 n 年与第(n-1)年(n∈N 且 n≥2)的产量之间的 关系式(不要求证明). 解:不妨设改进技术后第 n 年的产量为 an,则 a1=a(1+200%)=3a,

1 ×200%)=6a, 2 1 a3=a2(1+ 2 ×200%)=9a, 2 1 45 a. a4=a3(1+ 3 ×200%)= 4 2 1 1 n-2 * 依此,得 an=an-1(1+ n ?1 ×200%)=an-1[1+( ) ] (n∈N ,n≥2). 2 2
a2=a1(1+ 10.为了测试某种金属的热膨胀性质,将这种金属的一根细棒加热,从 100 ℃开始第一次量 细棒长度,以后每升高 50 ℃量一次,把依次量得的数据所成的数列{ln}表示成图象,如下 图,根据图象完成下列问题:

4

(1)第 5 次量得金属棒的长度是多少?此时金属棒的温度是多少? (2)求{ln}的通项和金属棒长度 l(m)关于温度 t(单位:℃)的函数关系式; (3)在 30 ℃的温度条件下,如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上,这个平面的 最高温度可达到 500 ℃,问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙? 解 : (1) 从 图 上 不 难 看 到 第 5 次 量 得 金 属 棒 长 度 是 ,这时温度为 (5-1)×50+100=300 ℃. (2) 设 ln=dn+b , 由 待 定 系 数 法 可 得 通 项 公 式 ln=0.001n+2 , 由 题 意 可 得 t=50(n-1)+100=50n+50 , ∴n=

t ? 50 , 代 入 通 项 公 式 得 所 求 函 数 关 系 式 为 ln=0.000 50

02t+1.999. (3)设当 t=30 ℃时,金属板在某个面上长度为 l′ m,当 t=500 ℃时金属板在该个面的长 度为 则 l″-l′=0.000 02×(500-30)=0.000 02×470=0.00 94(m),这就是至少要留的空隙.

5


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com