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2014届高考数学二轮专题突破第1部分 专题二 第1讲 三角函数的图像与性质选择、填空题型理

2014届高考数学二轮专题突破第1部分 专题二 第1讲 三角函数的图像与性质选择、填空题型理


《创新方案》2014 届高考数学(理科)二轮专题突破预测演练提能 训练 (浙江专版) 第 1 部分 专题二 第 1 讲 三角函数的图像与性质 : 选择、填空题型(以 2013 年真题和模拟题为例,含答案解析)

一、选择题

? 2?π 1.函数 y=-2cos ? +x?+1 是( ?4 ?
A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的非奇非偶 函数 2

)

?π ? 解析:选 A 因为 y=-cos? +2x? =sin 2x,所以是最小正周期为 π 的奇函数. ?2 ?
π? ? 2.设函数 f(x)=sin?2x+ ?,则下列结论正确的是( 3? ? π A.函数 f(x)的图像关于直线 x= 对称 3 )

?π ? B.函数 f(x)的图像关于点? ,0?对称 ?4 ?
π C.把函数 f(x)的图像向左平移 个单位,得到一个偶函数的图像 12

? π? D.函数 f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为增函数 6? ?
1 π ?π ? 解析:选 C 由对称轴为 x= kπ + (k∈Z),可知选项 A 不正确;将? ,0?代入函数 2 12 ?4 ?

?π ? 表 达 式 , 经 检 验 f ? ? ≠0 , 选 项 B 不 正 确 ; 经 过 选 项 C 中 平 移 后 解 析 式 f(x) = ?4?
π? ? ? π? π? ? sin?2?x+ ?+ ?=sin?2x+ ?=cos 2x,因为 cos 2x 为偶函数,所以该选项正确;当 x 2? ? ? ? 12? 3 ? π ?π 2π ? ? π? ∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?,此时函数 f(x)不单调,故选项 D 不正确. 6? 3 ? 3 ?3 ? 3.(2013· 日 照 模 拟 ) 已 知 函 数

f(x) = Asin(ω x +
)

π? ? φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的部分图像如图所示,则 ω 的值为( 2? ?

1

A.2 C.4

B.3 D.5 2 , 2

解析:选 B 由图像可知函数的最大值为 2,故 A=2,由 f(0)= 2,得 sin φ =

π π ?π ? ?ω π +π ?=1,故ω π +π =π +2kπ (k 而|φ |< ,故 φ = ;再由 f? ?=2 可得 sin? 4? 2 4 12 4 2 ?12? ? 12 ?

T π π ∈Z),即 ω =24k+3(k∈Z).又 > ,即 T> ,故 0<ω <6,故 ω =3. 4 12 3
π ? ?π ? ? 4.已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减,则 ω 的取值范围是 4? ?2 ? ? ( )

?1 5? A.? , ? ?2 4? ? 1? C.?0, ? ? 2?

?1 3? B.? , ? ?2 4?
D.(0,2]

解析:选 A 通过取特殊值 ω =2、ω =1,验证三角函数的角的范围,排除选项,得到 π ?5π 9π ? π ?3π 5π ? , ?, 结果. ω =2? ω x+ ∈? , ?, 令 不合题意, 排除 D; =1? ω x+ ∈? ω 4 ? 4 ? 4 ? 4 4 ? 4 符合题意,排除 B,C. π? π ? 5. 函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的最小正周期是 π , 若其图像向右平移 2? 3 ? 个单位后所得图像对应的函数为奇函数,则函数 f(x)的图像( A.关于点? B.关于点? )

?π ,0?对称 ? ?12 ? ?5π ,0?对称 ? ? 12 ?

5π C.关于直线 x= 对称 12 π D.关于直线 x= 对称 12 解析:选 C f(x)=sin(ω x+φ )的 最小正周期为 π ,则 ω =2,即 f(x)=sin(2x+ 2π ?? π ? ? π? ? ? ? φ ).向右平移 个单位后,所得函数为 g(x)=sin?2?x- ?+φ ?=sin?2x+?φ - ??, 3? 3 ?? 3 ? ? ? ? ? 又因为 g(x)为奇函 数,|φ |< π? π π 5π ? ,所以 φ =- ,故函数 f(x)=sin?2x- ?.当 x= 时, 3? 2 3 12 ?

π? π 5π ? 函数 f(x)=sin =1,故函数 f(x)=sin?2x- ?关于直线 x= 对称. 3? 2 12 ?
2

6.(2013·山东高考)函数 y=xcos x+sin x 的图像大致为

(

)

A

B

C

D

π 解析:选 D 当 x= 时,y=1>0,排除 C;y=xcos x+sin x 为奇函数;图像关于 2 原点对称,排除 B;当 x=π 时,y=-π <0,排除 A. π? ? 7.若函数 y =Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?在一个周期内的 2? ? 图像如图所示, , 分别是这段图像的最高点和最低点, OM · ON = M N 且 0(O 为坐标原点),则 A·ω 等于( A. C. π 6 7π 6 ) B. D. 7π 12 7π 3

???? ?

????

?π π ? 解析:选 C 由图可知,T=? - ?×4=π ,∴ω =2. ? 3 12? ?π ? ?7π ,-A?, 又 M? ,A?,N? ? ?12 ? ? 12 ?
2 ???? ???? ? 7π 7π 2 由 OM · ON =0,可得 =A ,∴A= .

144

12

∴A·ω =2×

7π 7π = . 12 6

8.(2013·湖北高考)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单 位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. C. π 12 π 3 3cos x+sin x=2? B. D. π 6 5π 6 )

解析:选 B y=

1 ? 3 ? ? π? cos x+ sin x?=2sin?x+ 3 ?的图像向左平 ? ? 2 ?2 ?

π? ? 移 m 个单位后, 得到 y=2sin?x+m+ ?的图像, 此图像关于 y 轴 对称, x=0 时, =±2, 则 y 3? ? π π π ? π? 即 2sin ?m+ ?=±2,所以 m+ = +kπ ,k∈Z,由于 m>0,所以 mmin= . 3? 3 2 6 ? 9.(2013·海口模拟)已知函数 f(x)=|sin x|的图像与直线 y=kx(k>0)有且仅有三个 公共点,这三个公共点横坐标的最大值为 α ,则 α 等于( )
3

A.-cos α C.-tan α

B.-sin α D. tan α

解析:选 D 数形结合可知 ,函数 f(x)=|sin x|的图像与直线 y=kx(k>0)有且仅有三 3π ? 3π ? ? ? 个 公共点时,必在?π , ?内相切,且其切点为(α ,-sin α ),α ∈?π , ?.∵当 x 2 ? 2 ? ? ? 3π ? sin α ? ∈?π , ?时,f(x)=-sin x,f′(x)=-cos x,∴k=- =-cos α ,即 α = 2 ? α ? tan α . π? ? 10.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R?A>0,ω >0,0<φ < ?的周期为 π ,且图像 2? ? 上一个最小值点为 M ? ( ) A.1+ 3 C.-1+ 3 解析:选 A 由最小值点为 M? 点 M? B.2 D. 3 2

?2π ,-2? .当 x ∈ ?0,π ? 时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ? ? 12? ? 3 ? ? ?

?2π ,-2?,得 A=2.由 T=π ,得 ω =2π =2π =2.由 ? T π ? 3 ?

?2π ,-2?在函数图 像上,得 2sin?4π +φ ?=-2,即 sin?4π +φ ?=-1,∴4π +φ ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ?

π? π 11π ? π ? ∴φ π ∴ ? =2kπ - , φ =2kπ - 即 ,∈Z.又∵φ ∈?0, ?, = , f(x)=2sin?2x+ ?. k 2? 6? 2 6 6 ? ? π ?π π ? ? π? ∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?,∴1≤f(x)≤ 3,∴f(x)的最大值与最小值的和为 1 12? 6 ?6 3? ? + 3.

二、填空题 11.已知函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )为偶函数,其部分 图像如图所示,A,B 分别为最高点与最低点,并且 A,B 两点间距离为 2 5,则 ω 、φ 的值分别是________. π 解析: 因为 y=sin(ω x+φ )是偶函数, 0<φ <π , 又 所以 φ = .设函数的周期为 T, 2 2π π ?T?2 2 2 由图可知? ? +1 =( 5) ,所以 T= 8,于是 T= =8,得 ω = . ω 4 ?4? π π 答案: , 4 2

4

? π? 12.在?0, ?内有两个不同的实数满足 cos 2x+ 3sin 2x=k+1,则实数 k 的取值范 2? ?
围是________. π? π ? k+1 ? ? 解析:方程 cos 2x+ 3sin 2x=k+1,即 2sin?2x+ ?=k+1,sin?2x+ ?= . 6? 6? 2 ? ? 1 k+1 ? π ? 可得 2x+π ∈?π ,7π ?, 由 x∈?0, ?, 根据方程在上述区间内有两个解, 可得 ≤ <1, ? 2? 6 ? 6 ?6 2 2 ? ? 即得 0≤k<1. 答案:[0,1) 13.设 P 为函数 f(x)=sin π x 的图像上的一个最高点,Q 为函数 g(x)=cos π x 的图 像上的一个最低点,则|PQ|的最小值是________. 解析:据题意结合图像,若使得 PQ 长度最小,则 P,Q 分别为图像上相邻的最高点和最 1 ? ? 低点,设 P(x0,1),Q?x0+ ,-1?,故|PQ|min= 2 ? ? 答案: 17 2

?1?2+22= 17. ?2? 2 ? ?

14. 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0, >0)的图像与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻 ω 交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是________.

解析:如图 x=3,x=6 是 y=Asin(ω x+φ )的对称轴, ∴周期 T=6, ∴单调递增区间为[6k,6k+3],k∈Z. 答案:[6k,6k+3],k∈Z 15.(2013·兰州模拟) 定义一种运算 a?b=?
? ?a,a≤b, ? ?b,a>b.

5 2 令 f(x)=(cos x+sin x)? . 4

? π? ? π? 当 x∈?0, ?时,函数 f?x- ?的最大值是________. 2? 2? ? ?
π? ? π? ? π? 2? 2 解析:依题意得,当 x∈?0, ?时,y=cos ?x- ?+sin?x- ?=sin x-cos x=- 2? 2? 2? ? ? ? 1? 2 5 ? ? π? 2 cos x -cos x +1=- ?cos x+ ? + 的值域是[-1,1],此时函数 f ?x- ? 的值域是[- 2? 4 2? ? ?

? π? 1,1],所以 f?x- ?的最大值是 1. 2? ?
答案:1

5

1 ? π? 16.①存在 α ∈?0, ?使 sin α +cos α = ; 2? 3 ? ②存在区间(a,b)使 y=cos x 为减函数且 sin x<0; ③y=tan x 在其定义域内为增函数;

?π ? ④y=cos 2x+sin? -x?既有最大、最小值,又是偶函数; ?2 ?
⑤y= π? ? sin ?2x+ ? 6

?

?

的最小正周期为 π .

以上命题错误的为________(填序号).

? π? 解析:①当 α ∈?0, ?时,sin α +cos α >1,故①错;②若 y=cos x 为减函数, 2? ?
则 x∈[2kπ ,π +2kπ ],k∈ Z,此时 sin x>0,故②错;③当 x 分别取 π ,2π 时,y 都 是 0,无单调性,故③错;④∵y=cos 2x+sin? 最小值,又是偶函数,故④对;⑤y= 答案:①②③⑤

?π -x?=2cos2x+cos x-1,∴既有最大、 ? ?2 ?
π 的最小正周期为 ,故⑤错. 2

π? ? sin ?2x+ ? 6? ?

6


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