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2018-2019学年高中数学北师大版选修4-4同步配套课件:第一章 章末复习课_图文

2018-2019学年高中数学北师大版选修4-4同步配套课件:第一章 章末复习课_图文

章 第末 一复 章习


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热点命 题例析
阶段质 量检测

热点一 热点二 热点三

章末复习课

在平面直角坐标系内求曲线(轨迹)方程
由于在平面直角坐标系求曲线(轨迹)方程是解析几何非常 重要的一类问题,在高考中常以解答题中关键的一问的形式出 现,一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题.
常用的方法有: (1)直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以 推出某个等量关系,即可用求曲线方程的五个步骤直接求解.

(2)定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则 可依定义写出轨迹方程.
(3)代入法:如果动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1), 而 Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先列出关于 x,y,y1,x1 的方程组,利用 x,y 表示 x1,y1,把 x1,y1 代入已知曲线方程 即为所求.
(4)参数法:动点 P(x,y)的横纵坐标用一个或几个参数来 表示,消去参数即得其轨迹方程.

[例 1] 如图,圆 O1 和圆 O2 的半径都 是 1,|O1O2|=4,过动点 P 分别作圆 O1 和 圆 O2 的切线 PM,PN(M,N 分别为切点) 使得|PM|= 2|PN|,试建立适当的坐标系, 并求动点 P 的轨迹方程.
[解]如图,以直线 O1O2 为 x 轴,线段 O1O2 的垂直平分 线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则两圆心的坐标分别为 O1(-2,0),O2(2,0). 设 P(x,y), 则|PM|2=|PO1|2-|MO1|2=(x+2)2+y2-1.

同理,|PN|2=(x-2)2+y2-1. ∵|PM|= 2|PN|,即|PM|2=2|PN|2. 即(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]. 即 x2-12x+y2+3=0. 即动点 P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

求曲线的极坐标方程
在极坐标系中求曲线的极坐标方程是高考考查极坐标系 的一个重要考向,重点考查轨迹极坐标方程的探求及直线和 圆的极坐标方程的确定与应用问题.求曲线的极坐标的方法 和步骤,和求直角坐标方程类似,就是把曲线看作适合某种 条件的点的集合或轨迹,将已知条件用曲线上的极坐标 ρ,θ 的关系式 f(ρ,θ)表示出来,就得到曲线的极坐标方程.

[例 2] 已知 Rt△ABO 的直角顶点 A 在直线 ρcos θ=9 上移动 (O 为原点),又∠AOB=30°,求顶点 B 的轨迹的极坐标方程.
[解] 如图①,设 B(ρ,θ),A(ρ1,θ1). 则 ρcos 30°=ρ1,即 ρ1= 23ρ. 又∵ρ1cos θ1=9,而 θ1=θ-30°, ∴ρcos 30°cos???θ-π6???=9,即 ρcos???θ-π6???=6 3.





若点 B 的位置如图②所示,同理得点 B 的轨迹方程为 ρcos???θ+π6???=6 3. 综上所述,点 B 的轨迹方程为 ρcos???θ±π6???=6 3.

[例 3] 已知定点 A(a,0),动点 P 对极点 O 和点 A 的张角∠OPA =π3.在 OP 的延长线上取点 Q,使|PQ|=|PA|.当 P 在极轴上方运动 时,求点 Q 的轨迹的极坐标方程.
[解] 设 Q,P 的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则 θ=θ1. 在△POA 中,ρ1=sianπ3·sin???23π-θ???, |PA|=asinπθ,又|OQ|=|OP|+|PA|,
sin3 ∴ρ=2acos???π3-θ???.

极坐标与直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化主要考查点的极坐标与直角 坐标的互化以及曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化, 将不熟悉的极坐标(方程)问题转化为熟知的问题求解.解决 此类问题,要熟知:互化的前提依旧是把直角坐标系的原点 作为极点,x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同 的单位长度.

互化公式为 x=ρcos θ,y=ρsin θ
ρ2=x2+y2,tan θ=xy?x≠0? 直角坐标方程化极坐标方程可直接将 x=ρcos θ,y= ρsin θ 代入即可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极 坐标方程化为 ρcos θ,ρsin θ 的整体形式,然后用 x,y 代替 较为方便,常常两端同乘以 ρ 即可达到目的,但要注意变形 的等价性.

[例 4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程. (1)ρ=2acos θ(a>0); (2)ρ=9(sin θ+cos θ); (3)ρ=4; (4)2ρcos θ-3ρsin θ=5. [解] (1)ρ=2acos θ,两边同时乘以 ρ, 得 ρ2=2aρcos θ, 即 x2+y2=2ax. 整理得 x2+y2-2ax=0,即(x-a)2+y2=a2, 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆.

(2)两边同时乘以 ρ 得 ρ2=9ρ(sin θ+cos θ), 即 x2+y2=9x+9y, 又可化为???x-92???2+???y-92???2=821, 是以???92,92???为圆心,以9 2 2为半径的圆. (3)将 ρ=4 两边平方得 ρ2=16,即 x2+y2=16, 是以原点为圆心,以 4 为半径的圆. (4)2ρcos θ-3ρsin θ=5,即 2x-3y=5,是一条直线.

[例 5] 将下列极坐标方程化为直角坐标方程.

(1)θ=56π;(2)ρ2=ρ;(3)2cos θ=7sin θ.

[解]

(1)∵tan

θ=xy,∴xy=tan56π=-

3 3.

∴y+ 33x=0. (2)∵ρ2=ρ,∴ρ=0 或 ρ=1.

∴x2+y2=0 或 x2+y2=1.

(3)两边同乘以 ρ 得:2ρcos θ=7ρsin θ.

∴2x-7y=0.

[例 6] 若两圆的极坐标方程分别为 ρ=2cos θ 和 ρ=2sin θ, 求两圆的公共弦长.
[解] 法一:将两圆方程化为直角坐标方程为: x2+y2-2x=0 和 x2+y2-2y=0. 由?????xx22+ +yy22- -22xy==00, 得 y=x, 即为公共弦所在直线方程. 由?????xy=2+xy2-2x=0, 得交点坐标为(0,0),(1,1). ∴弦长为 ?0-1?2+?0-1?2= 2.

法二:设除极点外的公共点坐标为 P(ρ,cos θ)(ρ>0). 则 2cos θ=2sin θ, ∴tan θ=1. 由于 0≤θ≤π2,∴θ=π4. ∴ρ=2cosπ4= 2. ∴公共弦长为 2.

一、选择题

1.在极坐标系中,已知两点 A???3,-π3???,B???1,23π???,则 A,B

两点间的距离是

()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:设极点为 O,∵∠AOB=23π-???-π3???=π,

∴A,O,B 三点共线.

∴A,B 两点间的距离|AB|=|OA|+|OB|=3+1=4. 答案:D

2.在极坐标系中,与点???-8,π6???关于极点对称的点的一个坐标是

()

A.???8,π6 ???

B.???8,-56π ???

C.???-8,56π ???

D.???-8,-π6 ???

解析:点(ρ,θ)关于极点对称的点为(ρ,π+θ),

故???-8,π6???关于极点对称的点的一个坐标为???-8,76π???,即???8,π6???.

答案:A

3.在极坐标系中,已知一个圆的方程为 ρ=12sin???θ-π6???,则过圆

心与极轴垂直的直线的极坐标方程是

()

A.ρsin θ=3 3

B.ρsin θ=-3 3

C.ρcos θ=-3

D.ρcos θ=3

解析:圆 ρ=12sin(θ-π6)化为 x2+y2+6x-6 3y=0,其圆心

为(-3,3 3),∴所求直线方程为 x=-3 化为极坐标方程:ρcos

θ=-3.

答案:C

4.直线 θ=α 和直线 ρsin(θ-α)=1 的位置关系是 ( )

A.垂直 C.相交但不垂直

B.平行 D.重合

解析:直线 θ=α 化为直角坐标方程为 y=xtanα,ρsin(θ

-α)=1 化为 ρsin θcos α-ρcos θsin α=1,即 y=xtanα

+co1s α.

所以两直线平行.

答案:B

二、填空题

5.已知一条直线的极坐标方程为 ρsin???θ+π4???= 22,则极点到该 直线的距离是________.

解析:∵ρsin???θ+π4???=ρsin θcos

π4+ρcos θsin

π4=

2 2 ρsin

θ+

2 2

ρcos θ= 22,

∴ρsin θ+ρcos θ=1,即 x+y=1.

则极点到该直线的距离

d=|0+02-1|=

2 2.

答案:

2 2

6.(上海高考)在极坐标系中,曲线 ρ=cos θ+1 与 ρcos θ=1 的公共点到极点的距离为________.

解析:联立得 ρ(ρ-1)=1?ρ=1±2 5,又 ρ≥0,故两曲线

的公共点到极点的距离为1+2

5 .

答案:1+2 5

7.极坐标方程 5ρ2cos 2θ+ρ2-24=0 表示的曲线焦点的极坐标为 ____________________. 解析:极坐标方程 5ρ2cos 2θ+ρ2-24=0 化为 5ρ2(cos2θ-sin2θ)+ρ2-24=0, 即 3x2-2y2=12. 得标准方程为x42-y62=1. 所以 a2=4,b2=6,c= 10. 所以两焦点的极坐标为( 10,0),( 10,π). 答案:( 10,0),( 10,π)

8.如图,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α=π6. 若将 l 的极坐标方程写成 ρ=f(θ)的形式,则 f(θ)=________.

解析:在直线 l 上任取点 P(ρ,θ),在△OPM 中,由正弦定

理得 sin

O∠MOPM=sin

∠OPOMP,即sin???π62-θ???=sinρ

5π,化简 6

得 ρ=sin???π61-θ???,故 f(θ)=sin???π61-θ???.

答案:sin???π61-θ ???

三、解答题 9.在极坐标系中 P 是曲线 ρ=12sin θ 上的动点,Q 是曲线 ρ=
12cos???θ-π6???上的动点,试求 PQ 的最大值. 解:以极点 O 为原点,极轴为 x 轴建立直角坐标系 xOy, 将方程 ρ=12sin θ 化为直角坐标方程为 x2+y2=12y,它表 示圆心为(0,6),半径为 6 的圆. 将 ρ=12cos???θ-π6???化为直角坐标方程为

(x-3 3)2+(y-3)2=36,它表示以(3 3,3)为圆心,6 为半 径的圆. 由圆的位置关系可知,当 P,Q 所在直线为连心线所在直线 时,PQ 长度可取最大值,且最大值为
?3 3?2+32+6+6=18.

10.已知 A(-1,0),B(1,4),在平面上动点 P 满足 PA·PB =4, 点 Q 是点 P 关于直线 l:y=2(x-4)的对称点,求动点 Q 的轨迹方程. 解:法一:设 P(x,y), 则 PA=(-1-x,-y), PB=(1-x,4-y), 故由 PA·PB=4? (-x-1)(1-x)+(-y)(4-y)=4, 即 x2+(y-2)2=32. ∴P 的轨迹是以 C(0,2)为圆心,以 3 为半径的圆. ∵点 Q 是点 P 关于直线 y=2(x-4)的对称点,

∴动点 Q 的轨迹是一个以 C0(x0,y0)为圆心,半径为 3 的圆,其中 C0(x0,y0)是点 C(0,2)关于直线 y=2(x-4)的对称点,即直线 y=2(x -4)与 CC0 垂直,且过 CC0 的中点,于是有???????xyy000+--2 220=×22?=x0-+2 10,-4?. 即?????2y0y-0+2xx00- +41=8=0,0 ??????xy00==-8,2. 故动点 Q 的轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9.

法二:设 P(x,y),

则 PA=(-1-x,-y), PB=(1-x,4-y),

故由 PA·PB =4?(-x-1)(1-x)+(-y)(4-y)=4,即

x2+(y-2)2=32(*).

设点 Q 的坐标为 Q(u,v),

∵Q,P 关于直线 l:y=2(x-4)对称,

∴PQ 与直线 l 垂直,于是有uv--xy=-12

①.

∵PQ 的中点在 l 上,∴有y+2 v=2(x+2 u-4)

②.

由①②可解得?????xy==1515??4-u+3u3+v-4v1+6?3.2?, 代入方程(*)得 (-3u+4v+32)2+(4u+3v-26)2=(3×5)2, 化简得 u2+v2-16u+4v+59=0 ?(u-8)2+(v+2)2=9. 故动点 Q 的轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9.

阶段质量检测见阶段质量检测(一)


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