9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-2015学年高二数学(北师大版选修1-1)课件第二章变化率与导数及导数的应用《导数与函数的单调性》2_图文

2014-2015学年高二数学(北师大版选修1-1)课件第二章变化率与导数及导数的应用《导数与函数的单调性》2_图文

定义法
判断函数单调性有哪些方法? 图象法
导数法
y ? x3 ? 3x?
比如:判断函数 y ? x2 的单调性。 y y ? x2
如图:

函数在 (??, 0)上为__减__函数,

在 (0, ??)上为__增__函数。 o

x

函数及图象 单调性
y
f ( x) ? x2 在(??,0)上递减

切线斜率
k 的正负


导数的正负


o x 在(0, ??)上递增





y ? f (x)
y

在区间(a,b)

上递增





oa

bx

y y ? f (x) 在区间(a,b) 上递减





oa b x

在某个区间(a, b)内,
f '( x) ? 0 ? f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) ? 0 ? f ( x)在(a, b)内单调递减
注意: 应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必 是定义域内的某个区间。

1.应用导数求函数的单调区间
基础训练:
(选填:“增” ,“减” ,“既不是,也不是”)
(1) 函数y=x-3在[-3,5]上为____增______函数。 (2) 函数 y = x2-3x 在[2,+∞)上为__增___函数,
在(-∞,1]上为___减___函数,在[1,2]上为__ _____既__不__是__增__函__数__,_也__不__是__减__函__数______函数。

理解训练:

求函数 y ? 3 x的2 单? 调3 x区间。

解: y' ? 6x ? 3

令y ' ? 0得x ? 1 , 令y ' ? 0得x ? 1

2

2

? y ? 3x2 ? 3x 的单调递增区间为

(1 , ??)

解:

y

'

?

9

x

2

?

单调递减区间为
6x ? 3x(3

x

?

2)

2 (??,

1 2

)

变1:求函数令y ' ?y 0?得的3x单x3调??区3间x22。或x ? 0

令y '

?

0得0

3 ?

x

?

2

3

? y ? 3x3 ? 3x2 的单调递增区间为

单调递减区间为

(??,0),( 2 , ??) (0, 2) 3
3

巩固提高:

变2:求函数

y ?的3单e x调?区3间x。

解:

y ' ? 3e x ? 3

令y ' ? 0得e x ? 1 ? e0 ? x ? 0

令y ' ? 0得e x ? 1 ? e0 ? x ? 0 ? y ? 3e x ? 3x的单调递增区间为(0, ??)
单调递减区间为(??, 0)

变3:求函数

y的?单1调区间。

x

解:

?

y' y?

? 1

?

1 x2

? 0,

但x ? 0,

的单调递减区间为(??,

0),(0,

??)

x

1°什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便?
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。

2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤?

①求定义域

②求 f '( x)

③令f '( x) ? 0解不等式 ? f ( x)的递增区间

f '( x) ? 0解不等式 ? f ( x)的递减区间

④求单调区间

函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数( B)

A. (? , 3? ) B. (? , 2? ) C. ( 3? , 5? ) D. (2? , 3? )

22

22

解: y' ? x'cos x ? x(cos x)'? (sin x)'

? cos x ? xsin x ? cos x ? ?xsin x

y

y ? sin x

2?

o?

3? x

如图,当x ? (? , 2? )时,sin x ? 0,? ? x sin x ? 0,

即:y ' ? 0 ?该函数在(? , 2? )上为增函数。

2.应用导数信息确定函数大致图象

已知导函数的下列信息:

分析:

当2 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; ? f ( x)在此区间递减

当x ? 3或x ? 2时,f '( x) ? 0; ? f ( x)在此区间递增

当x ? 3或x ? 2时,f '( x) ? 0. ? f ( x)图象在此两处

附近几乎没有升降

试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
yA
解: f ( x)的大致形状如右图: y ? f (x)

这里,称A,B两点为“临界点”

B

o 2 3x

设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数,y ? f '( x)的图象如

右图所示,则 y ? f (x) 的图象最有可能的是( C )

y
y ? f (x)

y
y ? f (x)

y
y ? f '(x)

o 1 2x o 1 2x

o

2x

(A)

(B)

y y ? f (x)

y y ? f (x)

2

o1

x o 12

x

(C)

(D)

例5已知函数y=x+ 1 ,试讨论出此函数的单调区间.并作出

图像.

x

解:y′=(x+

1 x

)′=1-1·x-2

? x2 ?1 ? (x ?1)(x ?1)

y
1 f?x? = x+ x
2

x2

x2

-1 O 1

x

令 (x ? 1)(x ?1) >0. 解得x>1或x<-1.

-2

x2

∴y=x+ 1 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x
令(x ? 1)(x ? 1) <0,解得-1<x<0或0<x<1. 1 x2
∴y=x+ 的单调减区间是(-1,0)和(0,1)
x

课堂练习

1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )

(A) (-1,1)

(B) (1,2)

(C) (-∞,-1)

(D) (-∞,-1) ,(1, +∞)

2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( ? 3 , 3 ),

则a的取值范围为( )

33

(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1

3、当x∈(-2,1)时,f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B)单调递减函数 (C) 部份单调增,部分单调减 (D) 单调性不能确定

小结 ? 这节课我们学了什么?

课后练习
函数f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c,其中a,b,c为常数,
当a2 ? 3b ? 0时,f ( x)在R上( A )
( A)增函数 (B)减函数 (C)常数 (D)既不是增函数也不是减函数


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com