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2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--2.13定积分与微积分基本定理(理)

2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--2.13定积分与微积分基本定理(理)

定积分与微积分
题组一 1.已知 f(x)为偶函数且 ? A.0 B.4
0 ?6
6 0

定积分的计算 ( )

f(x)dx=8,则 ? C.8

6 ?6

f(x)dx 等于 D.16

解析:原式= ?

f(x)dx+ ?

6

f(x)dx,
0

∵原函数为偶函数,∴在 y 轴两侧的图象对称,∴对应的面积相等,即 8×2=16.
? 2 2 ?x , x∈[0,1], 2.设 f(x)=? 则 ? f(x)dx 等于 0 ?2-x,x∈[1,2], ?

(

)

3 A. 4

4 B. 5

5 C. 6

D.不存在

解析:数形结合,

?
=

2 0

f(x)dx= ?
3

1 0

x2dx+ ?
1 2

2

(2-x)dx=
1

1 3

x

3

1 0

? (2 x ?

1 2

x ) 1

2

2

1 3

x ? (4 ? 2 ? 2 ?

)?

5 6

.

3.计算以下定积分: (1)

?

2 1

1 (2x2- )dx; x

(2) ?

3

( x+
2

1 2 ) dx; x

?

(3) ?

3 0

(sinx-sin2x)dx;

解:(1)

?

2 1

2 16 1 2 2 14 (2x2- )dx=( x3-lnx) = -ln 2- = -ln 2. x 3 3 3 3 1
3 3 1 2 1 1 9 3 9 ) dx= ? (x+ +2)dx=( x2+lnx+2x) =( +ln 3+6)-(2+ln 2+4)=ln + . x 2 2 2 2 2 x 2

(2) ?

3

( x+
2

?

(3)

?

3 0

? 1 1 1 1 1 (sinx-sin2x)dx=(-cosx+ cos2x) 3 =(- - )-(-1+ )=- . 2 2 4 2 4
0

题组二

求曲多边形的面积

4.如图,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 A.1 4 B. 3 C. 3 D.2
2 0

(

)

解析:函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于 ?

(-x2+2x+1-

1

1)dx= ?

2 0

4 (-x2+2x)dx= . 3

5.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分 4 (如图所示)的面积为 ,则 k=________. 3 解析:直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0,k], 再由 ?
k 0

kx2 x3 k k3 4 (kx-x2)dx=( - ) = = 求得 k=2. 2 3 0 6 3

6.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动,记直线 OP、曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面 积分别记为 S1,S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标为________. 解析:设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x,y), 则?
x 0

(kx-x2)dx= ?

2 x

(x2-kx)dx,

x 2 1 1 1 1 1 1 8 1 1 即( kx2- x3) =( x3- kx2) ,解得 kx2- x3= -2k-( x3- kx2), 2 3 0 3 2 2 3 3 3 2 x

4 4 4 16 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为( , ). 3 3 3 9

题组三

定积分在物理中的应用

7.一质点运动时 速度与时间的关系 为 v(t)= t2 -t+2,质点作直 线运动,则此物体在时间 [1,2]内的位移为 ( 17 )A. 6
2 1

14 B. 3

13 C. 6

11 D. 6

解析:s= ?

1 1 17 (t2-t+2)dt=( t3- t2+2t)|2= . 1 3 2 6 )

8.若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm,现在要使弹簧伸长 10 cm,则需要花费的功为( A.0.05 J B.0.5 J C.0.25 J D.1 J

解析: 设力 F=kx(k 是比例系数), F=1 N 时, 当 x=0.01 m, 可解得 k=100 N/m, F=100x, 则 所以 W= ?
0 .1

0 .1

100xdx
0

=50x2 0

=0.5 J.

9.一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米. 解析:据题意,v 与 t 的函数关系式如下:

?2t,0≤t<20, ? v=v(t)=?50-t,20≤t<40, ? ?10,40≤t≤60.
3

所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为

2

s= ?

60 0

v ( t )d t = ?

20 0

3 2

td t + ?

40 20

( 5 0 ? t )d t + ?

60

1 0d t
40

20 40 32 1 40 = t 0 +(50t- t2) +10t =900 米. 4 2 20 20

题组四 10.(2010· 烟台模拟)若 y= ? A.1 解析:y= ?
x 0 x 0

定积分的综合应用 ( )

(sint+costsint)dt,则 y 的最大值是 7 C.- 2
x 0

B.2

D.0 1 (sint+ sin2t)dt 2

(sint+costsint)dt= ?

x 1 1 5 1 5 1 3 1 =(-cost- cos2t) =-cosx- cos2x+ =-cosx- (2cos2x-1)+ =- cos2x-cosx+ =- (cosx+1)2+2≤2. 4 4 4 4 4 2 2 2 0

11.(2010· 温州模拟)若 f(x)是一次函数,且 ?

1 0

f(x)dx=5, ?

1 0

2 17 f(x) xf(x)dx= ,那么 ? dx 的值是________. 6 x 1

解 ∵f(x) 是 一 次 函 数 , ∴ 设 f(x) = ax + b(a≠0) , 由 ① 由?
1 0 1 17 xf(x)dx= 得 ? 6 0

?

1 0

1 1 1 (ax + b)dx = 5 得 ( ax2 + bx) = a + b = 5 2 2 0

17 (ax2+bx)dx= ,即 6 ②

1 17 1 1 1 1 17 ( ax3+ bx2) = ,∴ a+ b= , 3 2 6 3 2 6 0

解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3, 于是 ?
2 1 2 2 4x+3 f(x) dx= ? dx= ? x x 1 1

3 (4+ )dx x 答案:4+3ln2

=(4x+3lnx)

2 1

=8+3ln2-4=4+3ln2.

12.设 f(x)= ?

1 0

|x2-a2|dx.

(1)当 0≤a≤1 与 a>1 时,分别求 f(a);(2)当 a≥0 时,求 f(a)的最小值. 解:(1)0≤a≤1 时, f(a)= ?
1 0

|x2-a2|dx= ?

a 0

(a2-x2)dx+ ?

1 a

(x2-a2)dx

1 1 a x3 1 1 a3 4 1 =(a2x- x3) +( -a2x) =a3- a3-0+0+ -a2- +a3= a3-a2+ . 3 0 3 3 3 3 3 3 a

当 a>1 时,
3

f(a)= ?

1 0

1 1 1 (a2-x2)dx=(a2x- x3) =a2- . 3 0 3
( 0 ≤ a ≤ 1 ), ( a > 1).

1 ?4 3 2 ?3a ?a ? 3 ? ∴f(a)= ? ?a2 ? 1 ? 3 ?

1 1 2 (2)当 a>1 时,由于 a2- 在[1,+∞)上是增函数,故 f(a)在[1,+∞)上的最小值是 f(1)=1- = . 3 3 3 当 a∈[0,1]时,f′(a)=4a2-2a=2a(2a-1), 1 1 1 1 1 由 f′(a)>0 知:a> 或 a<0,故在[0, ]上递减,在[ ,1]上递增.因此在[0,1]上,f(a)的最小值为 f( )= . 2 2 2 2 4 1 综上可知,f(x)在[0,+∞)上的最小值为 . 4

4


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