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线性代数与空间解析几何总复习

线性代数与空间解析几何总复习

第一章 矩阵 一、矩阵的定义 由 m×n 个数排成 m 行 n 列的矩形数表

? a11 ? ?a A = ? 21 M ? ?a ? m1

a12 a22 M am 2

K a1n ? ? K a2 n ? O M ? ? K amn ? ?

m 个关于 n 个未知量 x1,x2,…,xn 的一次方程组成的方程组

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ? a x + a x +L+ a x = b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? L L L L ? ? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
线性方程组的系数矩阵

? a11 ? ?a A = ? 21 M ? ?a ? m1
线性方程组的增广矩阵

a12 a22 M am 2 a12 a22 M

K a1n ? ? K a2 n ? O M ? ? K amn ? ? b1 ? ? b2 ? M ? ? bm ? ?

? a11 ? ?a B = ? 21 M ? ?a ? m1

L a1n L a2 n O M

am 2 L amn

矩阵相等 同型矩阵 行矩阵(或称行向量) 列矩阵(或称列向量) n 阶矩阵或 n 阶方阵 单位矩阵 上三角矩阵 下三角矩阵 对角矩阵 二、矩阵的运算 1、线性运算 矩阵 A 与 B 的和:C=A+B 只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算。

? a11 + b11 ? ? a +b C = ? 21 21 M ? ?a + b ? m1 m1

a12 + b12 a22 + b22 M am 2 + bm 2

L a1n + b1n ? ? L a2 n + b2 n ? ? O M ? L amn + bmn ? ?

矩阵 A 与数λ的乘积(简称矩阵的数乘) ,记作 λΑ

? λa11 λa12 ? ? λa21 λa22 ? M M ? ? λa ? m1 λam 2

L λa1n ? ? L λa2 n ? O M ? ? L λamn ? ?

矩阵的加法及矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。 2 矩阵的乘法 设矩阵 A=(aij)m×s, B=(bij) s×n, 构作一个 m×n 矩阵 C= (cij) m×n,其中

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj = ∑ aik bkj
k =1

s

(i = 1,2, L, m; j = 1,2,L n)
那么,矩阵 C 称为设矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 ,记作:C = AB 一个 1×s 行矩阵与一个 s×1 列矩阵的乘积是一个 1 阶矩阵,即一个数。 所以,矩阵 C = AB 的第 i 行、第 j 列元素 cij 就是 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的 乘积。 左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时,两个矩阵才可以相乘 。 矩阵乘法不满足交换律。 矩阵乘法满足的运算规律: (1) (AB)C=A(BC) (2) (AB)=(λA)B=A(λB),其中 λ为数 (3) A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA 3 线性变换

? y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ? y = a x + a x +L+ a x ? 2 21 1 22 2 2n n ? LLLL ? ? ? ym = am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn
表示从变量 x1 ,x2 ,… ,xn 到变量 y1 ,y2 ,… ,ym 的线性变换 。

? x1 ? ? y1 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? y2 ? = = = ( ) , x , y A a ij m× n ? M? ? M ? ,则 y = A x 记 ? ? ? ? ?x ? ?y ? ? n? ? m?
4 矩阵的幂 矩阵的非负整数幂的定义(A 为 n 阶方阵) : A0=I , Ak+1=AkA 由于矩阵乘法满足结合律,所以 AkAl=Ak+l (Ak)l=Akl 又由于矩阵乘法不满足交换律,所以,一般

(AB)k≠Ak Bk 5、矩阵的转置 设矩阵 A 是一个 m×n 矩阵 ,构作一个 n×m 的矩阵 ,使它的第 i 行第 j 列元素是矩 阵 A 的第 j 行第 i 列的元素 (i=1,2,…,n , j=1,2,…,m ) , 那么这个矩阵称为 A 的转置矩阵 。 T 记作 A AT 的行为 A 的(相应)列,AT 的列为 A 的(相应)行。 矩阵的转置满足下列运算规律: (1) (AT)T = A (2) (A + B)T = AT + BT (3) (λA)T = λAT (4) (A B)T = BT AT 设 A 为 n 阶矩阵: 如果满足 AT=A ,则称 A 为对称矩阵;对称矩阵 A 的元素满足: aij=aji (i,j=1,2,…,n) T 如果满足 A =-A ,则称 A 为反对称矩阵。反对称矩阵 A 的元素满足: aij=-aji (i,j=1,2,…,n) 尤其注意,反对称矩阵 A 的主对角线元素 aii=0 6、矩阵的逆 设 A 是一个 n 阶矩阵,如果存在 n 阶矩阵 B,使得 AB=BA=I 成立,那么矩阵 A 称为可逆矩阵,并且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵,简称为矩阵 A 的逆。如果 A 的逆矩阵不存在,那么 A 称为不可逆矩阵。 矩阵的逆满足下列运算规律: 设 A、B 都是 n 阶可逆阵,数λ≠0,那么 (1)A-1 可逆,且(A-1)-1=A; ? (2) λA 可逆,且(λA)-1=A-1/ ; -1 -1 -1 (3) AB 可逆,且(AB ) =B A ; (4)AT 可逆,且(AT)-1=(A-1)T 。 7 分块矩阵 对于矩阵 A ,用若干条纵线和横线分成一些小矩阵,每一个小矩阵称为 A 的子块,以 子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 两种常用的分块矩阵:分别以矩阵的行和列为子块。 分块对角矩阵,或称准对角矩阵的概念 分块矩阵的运算方法(了解) 。

第二章 线性方程组与矩阵初等变换 1、线性方程组

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ? a x + a x +L+ a x = b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? LLLL ? ? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
可以写成 Ax=b 其中 系数矩阵 A=(aij)m×n 常数列 b=(b1,b2,…,bm)T 未知量列 x=(x1,x2,…,xn)T 增广矩阵 B=(A | b) 如果 b1,b2,…,bm 全部为零,那么上述方程组称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性 方程组。 2、高斯消元法 线性方程组的三种初等变换: (1) 交换两个方程的位置; (2) 以非零数 k 乘一个方程; (3) 把一个方程的 k 倍加到另一个方程上。 任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得到的方程组与原方程组等价; 任意一个线性方程组一定可以经过若干次适当的初等变换得到一个阶梯形的方程组。 一种求解线性方程组的一般方法: 对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变换, 使它变为等价的阶梯形方程组, 从而 达到求解的目的。——这种求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss)消元法 3、利用矩阵初等行变换解线性方程组 定义 1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)交换两行的位置(交换第 i,j 两行,记作 ri ? rj ); (2)以非零数 k 乘某一行(以 k 乘第 i 行,记作 k ri ); (3)把某一行的 k 倍加到另一行上(把第 j 行的 k 倍加到第 i 行上, 记作 ri+ k rj )。 三种初等行变换都是可逆的,并且其逆变换也是同一类型的初等行变换: 变换 ri ? rj 的逆变换就是它(该变换)自身; 变换 k ri (k≠0)的逆变换为 ri / k ; 变换 ri+ k rj 的逆变换为 ri+(-k) rj 。 任意矩阵 A=(aij)m×n 都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵。 对于线性方程组,我们先对它的增广矩阵施行若干次初等行变换使它化为行阶梯形矩 阵,再写出这个行阶梯形矩阵对应的阶梯形方程组并用“回代”法求解,就可以得到原方程组 的解。 ——这就是利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法, 是高斯消元法的另一 种表现形式。 4、一般的线性方程组解的三种不同情况

d1 ? ? c11 c12 L c1r c1,r +1 L c1n ? ? d2 ? ? 0 c22 L c2 r c2,r +1 L c2 n ? M M M M M M? ? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ? ? ? a x + a x +L+ a x = b 0 L crr cr ,r +1 L crn dr ? ? 0 ? 21 1 22 2 2n n 2 ――> ? ? LLLL 0 L 0 0 L 0 d r +1 ? ? ? 0 ? ? ? 0 0 L 0 0 L 0 0? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm ? ? M M M M M? ? M ? 0 0 L 0 0 L 0 0? ? ? ?c11 x1 + c12 x2 + L + c1r xr + c1,r +1 xr +1 + L c1n xn = d1 ? c22 x2 + L + c2 r xr + c2,r +1 xr +1 + L c2 n xn = d 2 ? ? LLLL ? ――> ? crr xr + cr ,r +1 xr +1 + L + crn xn = d r ? 0 = d r +1 ? ... = ... ? ? 0=0 ?
情形 1:dr+1≠0,对应一个矛盾方程 0x1+0x2+…+0xn=dr+1 方程无解。 情形 2:dr+1=0,r=n,此时非零行的行数等于未知量的个数,且 (2) crrxn=dr 使用回代法可得到方程组唯一解。 情形 3:dr+1=0,r<n,此时非零行的行数小于未知量的个数,设 (3) crrxr=dr-cr,r+1xr+1-…-crnxn 未知量 xr+1,xr+2,…,xn 取任意一组数值。再使用回代法可求得 x1,x2,…,xr-1。 因此方程有无穷多解。 齐次线性方程组: (1)

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 ? a x + a x +L+ a x = 0 ? 21 1 22 2 2n n ? L L L L ? ? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0
显然,x=(x1,x2,…,xn)T=(0,0,…,0)T 总是方程组的解。所以,齐次线性方程组总是有解的 (相容的) ,其解只可能出现情形 2 或情形 3。如果出现情形 2,方程组有唯一解,即它没有 非零解;如果出现情形 3,那么它有无数解,即它有非零解。 定理 1 对齐次线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换, 使其化为行阶梯形矩阵 S。那么齐次线性方程组没有非(只有)零解的充分必要条件是 S 中非零行的行数等于方程 组未知量的个数; 等价地,齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 S 中非零行的行数小于方程组未 知量的个数. 5 矩阵的初等变换

矩阵的三种初等列变换: (1)交换两列的位置(交换第 i,j 两列,记作 ci ? cj ); (2)以非零数 k 乘某一列(以 k 乘第 i 列,记作 k ci ); (3)把某一列的 k 倍加到另一列上(把第 j 列的 k 倍加到第 i 列上,记作 ci+ k cj )。 三种初等列变换也是可逆的,并且其逆变换也是同一类型的初等列变换。 矩阵的初等行变换与初等列变换,统称初等变换。 如果矩阵 A 经过有限次初等变换可以化为矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 等价,记作 A~B 6 初等矩阵 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得的矩阵称为初等矩阵。 (1) 交换两行(或列)的位置:把单位矩阵 I 中的第 i,j 行的位置交换(ri?rj); (2) 以非零数 k 乘某一行(或列) :以非零数 k 乘单位矩阵 I 的第 i 行(k ri); (3) 把某一行(或列) 的 k 倍加到另一行(或列)上。 把单位矩阵 I 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上(ri+k rj)。 用 m 阶初等矩阵 Em(i, j)左乘矩阵 A=(a)m×n,相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变 换:把 A 的第 i,j 行交换位置 (ri?rj); 相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换: 用 n 阶初等矩阵 En(i, j)右乘矩阵 A=(a)m×n, 把 A 的第 i,j 列交换位置 (ci?cj); 相当于对矩阵 A 施行第二种初等行变 用 m 阶初等矩阵 Em(i(k ))左乘矩阵 A=(a)m×n, 换:以非零数 k 乘 A 的第 i 行 (kri); 用 n 阶初等矩阵 En(i(k ))右乘矩阵 A=(a)m×n,相当于对矩阵 A 施行第二种初等列变 换:以非零数 k 乘 A 的第 i 列 (kci); 用 m 阶初等矩阵 Em(i, j(k ))左乘矩阵 A=(a)m×n,相当于对矩阵 A 施行第三种初等行 变换:把 j 行的 k 倍加到第 i 行 (ri+ krj); 用 n 阶初等矩阵 En(i, j(k ))右乘矩阵 A=(a)m×n,相当于对矩阵 A 施行第三种初等列 变换:把 i 列的 k 倍加到第 j 列 (cj+ kci); 定理 2 设 A 是一个 m×n 矩阵,对 A 施行一次初等行变换,相当于在 A 的左边 乘以相应的 m 阶初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。 初等矩阵是可逆的。 定理 3(逆矩阵定理) 设 A 是 n 阶矩阵,那么下列各命题等价: (1)A 是可逆矩阵; (2)齐次线性方程组 Ax=0 只有零解; (3)A 可以经过有限次初等行变换化为 In; (4)A 可表示为有限个初等矩阵的乘积。 7 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 设 n 阶矩阵 A 可逆,由定理 3 可知,存在初等矩阵 P1、P2、…、Ps,使得 In = Ps … P2 P1 A

即 In A-1 = Ps … P2 P1 A A-1 A -1 = Ps … P2 P1 In 以上公式表明: A 可以经过一系列初等行变换化为 I; I 经过这同一系列初等行变换化为 A-1 。 利用分块矩阵,公式 In = Ps … P2 P1 A 和 A -1 = Ps … P2 P1 In 可合并表示为: Ps … P2 P1 (A | In)=(In | A -1) 即对 n×2n 矩阵(A | In)施行初等行变换,当把子块 A 化为 In 时,另一子块 In 就 化为 A-1 。 利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可以推广为求矩阵 A-1B 的方法,由 A-1(A | B)=(I | A-1B) 可知,如果对矩阵(A | B)施行初等行变换,当把 A 化为 I 时,B 就化为 A-1B。 类似地,如果要求 CA-1,可以对矩阵(AT┆CT)T 作初等列变换,当把 A 化为 I 时, C 就化为 CA-1 。

? A ? ?1 ? I ? ? ?C ? ?A = ? ? CA?1 ? ? ? ? ? ?

第三章 行列式 1、全排列及其奇偶性 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列(简称排列)。 对于 n 个不同的元素,先规定各元素间有一个标准次序(如:n 个不同的自然数,可规 定自小到大排列为标准次序,此时,对应的排列称自然排列) ,于是,在这 n 个元素的任意 排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序。 一个排列 i1i2…in 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数,记作 t (i1i2…in) 逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。 在排列中,将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新排列的交换称为对换,将 相邻两个元素对换,称为相邻对换。 相邻对换使排列的逆序数增加 1 或减少 1。 由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实 现,所以对换改变排列的奇偶性。 2 n 阶行列式定义

? a11 ? ? a21 设有 n 阶矩阵 A = ? M ? ?a ? n1
乘积,并冠以符号 ( ?1)

a12 K a1n ? ? a22 K a2 n ? ,作出矩阵中位于不同行、不同列的 n 个数的 M M ? ? an 2 K ann ? ?
得到形如

t ( j1 j 2 ... jn )

(?1) t ( j1 j2 L jn ) a1 j1 a2 j2 L anjn
的项,其中 j1j2…jn 为 n 个正整数 1,2,…,n 的一个排列,t (j1j2…jn)为这个排列的逆序数。 由于这样的排列共有 n!个,因此形如上式的项共有 n!项,所有这些 n!项的代数和

j1 j2 L jn

∑ (?1)

t ( j1 j 2 L j n )

a1 j1 a2 j2 L anjn

称为矩阵 A 的行列式,记作

D = det A =

a11 a21 M an1

a12 K a1n a22 K a2 n M M an 2 K ann

(以上下划线部分只需了解即可) 3、行列式按行(列)展开 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行及第 j 列划去后,留下的 n-1 阶行列式称为元 素 aij 的余子式,记作 Mij;Mij 冠以符号(-1)i+j 得 Aij= (-1)i+j Mij,Aij 称为元素 aij 的代数余子 式。 交换行列式的两行(列)的位置,行列式变号。

定理 1 设 A = (aij)是 n 阶矩阵,D=detA ,那么 (1) D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,2,…,n) (j=1,2,…,n) (2) D=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj 于是,行列式等于它们的任一行(或列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 推论 1 如果 n 阶矩阵 A = (aij) 中有两行(或列)相同,那么行列式 D=detA=0。 推论 2 设 A = (aij) 是 n 阶矩阵,D=detA ,i≠j ,那么 (1) D1=ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 (2) D2=a1i A1j+a2i A2j+…+ani Anj =0 4、行列式的性质 性质 1 设 A = (aij) 是 n 阶矩阵,AT 是的转置矩阵,则 detA=detAT 即行列式经过转置后其值不变。 性质 2 如果行列式的某一行(或列)的元素都是两元素之和,那么 D 等于两个行列式 的和。 性质 3 行列式的初等变换 设 A = (aij) 为 n 阶矩阵, (1)交换 A 的第 i、j 行(或列)的位置得到 A1,则 det A1 = - det A; (2)把 A 的第 i 行(或列)乘以数 k(k≠0)得到 A2,则 det A2 = k det A; (3)把 A 的第 i 行(或列)的 k 倍加到第 j 行(或列)上,得到 A3,则 det A3 = det A; 推论 1 设 A 为任意 n 阶矩阵,则对 n 阶初等矩阵都有 det( E A )=(det E )( det A ) det( A E )=(det A )( det E ) 推论 2 如果行列式有两行(或列)的对应元素成比例,那么这个行列式为零。 5、行列式的计算 行列式的性质 3 提供了使用矩阵初等变换计算行列式的简便方法。利用初等变换计算 行列式的一个基本程序是通过适当的初等变换把行列式化为上三角行列式,然后利用上三 角行列式的计算公式得到行列式的值。 或者通过适当的初等变换把某一行(或列)尽可能化为 0,然后按该行(或列)展开, 实现降阶。 6、伴随矩阵与矩阵的逆 n 阶矩阵 A 的行列式 detA 的各个元素的代数余子式 Aij 构成的矩阵

? A11 ? ?A A* = ? 12 M ? ?A ? 1n

A21 K An1 ? ? A22 K An 2 ? M M ? ? A2 n K Ann ? ?

称为 A 的伴随矩阵。 引理 设 A*为 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵,那么 AA* = A*A = detA I 定理 2 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 detA ≠0;当 A 可逆时

A?1 =
其中 A*为 A 的伴随矩阵。

1 A* det A

如果 detA =0,则称 A 为奇异矩阵; 如果 detA ≠0,则称 A 为非奇异矩阵。因此: 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 为非奇异矩阵 推论 1 矩阵。 推论 2 定理 3 设 A 和 B 是两个 n 阶矩阵,如果 A 是不可逆矩阵,则 AB 和 BA 都是不可逆 如果 AB=I(或 BA=I) ,那么 A 可逆,且 A-1=B。

设矩阵 A、B 为 n 阶矩阵,那么 det(AB)=(detA) (detB) 即两个矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积。

设矩阵 A1、 A2 、…、Ar 都是 n 阶矩阵,那么 det(A1 A2…Ar)= (detA1) (detA2) …(detAr) 7、克拉默法则 克拉默法则

定理 5

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 ?a x + a x + L + a x = 0 ? 21 1 22 2 2n n 齐次线性方程组 Ax=0:? , 没有非零解的充分必 LLLL ? ? ?an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0

要条件是其系数矩阵 A 的行列式 D≠0;等价地,该方程组有非零解的充分必要条件是其系 数行列式 D=0。 8、矩阵的秩 k 阶子式:在 m×n 矩阵 A 中,任取 k 行和 k 列(1≤k≤min|m,n|),位于这些行列交叉 处的 k2 个元素, 按他们在矩阵 A 中的相对位置组成的 k 阶行列式, 称为 A 的一个 k 阶子式。 矩阵的秩的定义:

设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D,且所有 r +1 阶子式(如果存在的话)全 等于 0,那么 D 称为 A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵的秩,记着 R(A),并规定零矩阵 的秩等于 0。 根据矩阵秩的定义,m×n 阶矩阵 A 的秩满足 R(A)≤ min |m,n| 对于任意矩阵 A , R(A)是唯一确定的,但其最高阶非零子式不一定是唯一的。 由于行列式转置后其值不变,故矩阵 A 与其转置矩阵 AT 有相同的秩,即 R(A)= R(AT) 矩阵秩的计算: 对于行阶梯形矩阵,其秩就是其非零行的行数,因此,可通过将一 般矩阵转化为行阶梯形矩阵,从而求取一般矩阵的秩。 用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的 秩。 定理 6 初等变换不改变矩阵的秩。

对于 n 阶可逆矩阵,因|A|≠0,知 A 的最高阶非零子式为|A|,R(A)=n。由于矩阵的秩 等于阶数,故可逆矩阵又称作满秩矩阵,而奇异矩阵又称作降秩矩阵。 对于任意矩阵 Am×n,总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,然后通过有限 次初等列变换便可化成形如

? Ir ? ?0 ?

0? ? 0? ?

的矩阵,称为 m×n 矩阵 A 的标准形矩阵,其中 r =R(A)。 故存在 m 阶初等矩阵 P1, P2,… Ps 以及 n 阶矩阵 Q1, Q2,… Qt 使得

? Ir Ps L P2 P 1 AQ1Q2 L Qt = ? ?0 ?
? Ir PAQ = ? ?0 ? 0? ? 0? ? m×n

0? ? 0? ?

记 P =P1 P2 … Ps ,Q = Q1 Q2 … Qt,那么 P 为在 m 阶可逆矩阵, Q 为 n 阶可逆矩阵,且

矩阵 A 的标准形矩阵由 m,n,r 这三个数确定。

第四章 空间解析几何与向量运算 1、空间直角坐标系 坐标原点 O,横轴 x,纵轴 y,竖轴 z,相互垂直 ,正方向符合右手规则。 每两条坐标轴确定的平面称成为坐标平面。 三个坐标平面把空间分为八个部分,每一部分称为一个卦限 2、点的坐标 过空间中点 M, 分别作平行于三个坐标平面的平面, 交三个坐标轴于 P(x,0,0) , Q(0,y,0), R(0,0,z)三点,称序数组(x,y,z)为点 M 的坐标 ,记作 M(x,y,z) . 3、向量及其线性运算 (1)向量:具有一定大小和方向的量。 (2)向量的表示:以 A 为起点,B 为终点的有向线段 a。 (3)自由向量: 不考虑起点位置的向量。 (4) 相等向量:大小相等,方向相同的向量。 (5) 负向量:大小相等方向相反的向量。 (6) 平行向量:方向相同或相反的向量。 (7)向径:以坐标原点 O 为起点,终点为 M 的向量。 (8)向量的模|a| :向量的大小(或长度) 。 单位向量:模等于 1 的向量。 零向量 0 :模等于零的向量,方向任意。 向量的加(减)法 三角形法则(两向量的和) :设有向量 a 与 b,将 b 平移使其起点与 a 的终点重合,以 向量 a 的起点为起点,以 b 的终点为终点的向量称为向量 a 与 b 的和,记作 c=a+b. 平行四边形法则:两向量和是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。 多边形法则(n(n≥3)个向量的和) :以任何次序相继作向量,使这些向量首尾相连,而 第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量即为 n 个向量的和. 向量与数量的乘法 实数λ与向量 a 的乘积是一个向量,记作λa,它的模是|λa|=|λ||a| 。当λ>0 时,它与 a 方向相同;当λ<0 时,它与 a 方向相反;当λ=0 时,  a=0。 设 a0 表示与非零向量 a 同方向的单位向量,则 a=|a| a0,从而

a0 =
向量的加法与数乘统称为向量的线性运算。

1 a a

定理 1 设向量 a 与 b≠0,那么, a 平行于 b 的充分必要条件是存在唯一的实数λ,使 a=λb。 4、向量的分解与向量的坐标 (1)向量 OM

过点 M (x,y,z) ,分别作平行于三个坐标平面的平面,交三个坐标轴于 P、 Q、 R 三 点。设 e1、e2、e3 分别表示沿 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量。则

a = OM = xe1 + ye2 + ze3


a = ( x, y , z )
起点在原点的向量的坐标就是它的终点的坐标 (2)向量 M1M2 起点 M1(x1 , y1 , z1)、终点 M2(x2 , y2 , z2).

M 1M 2 = OM 2 ? OM 1

= ( x2 e1 + y2 e2 + z 2 e3 ) ? ( x1e1 + y1e2 + z1e3 ) = ( x2 ? x1 )e1 + ( y2 ? y1 )e2 + ( z 2 ? z1 )e3


M 1M 2 = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z 2 ? z1 )
(3)向量的线性运算的坐标表示式 设 a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z 2 ) 则

a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 ) , a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z 2 ) ,

λa = (λx1 , λy1 , λz1 )
(4) 向量在轴上的投影 (5) 两向量的夹角 (6) 空间一点在轴上的投影 (7) 向量在轴上的投影 Prju AB = A′B′ (8) 向量在轴上的投影性质: 向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦; 两个向量 a 与 b 的和在轴 u 上的投影等于向量 a 与 b 在该轴上的投影的和; 向量 a 与数λ的乘积 a 在轴上的投影等于向量 a 在轴 u 上的投影的λ倍。 (9) 向量的模与方向的坐标表示法 方向角 : 非零向量与三条坐标轴的夹角:0≤α、β、γ≤π/2

a = M 1 M 2 = ( x, y , z )

x = M 1M 2 cos α = a cos α

y = M 1M 2 cos β = a cos β z = M 1M 2 cos γ = a cos γ
向量 a 的模: a =

x2 + y 2 + z 2

? x ?cos α = 2 x + y2 + z2 ? ? y ? 方向余弦: ?cos β = x2 + y2 + z 2 ? ? z ? cos γ = 2 x + y2 + z2 ? ?
方向余弦的关系: cos
2

α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

与非零向量 a 同方向的单位向量:

a0 =

1 1 a = ( x, y , z ) a a

= (cos α , cos β , cos γ )
两点 M1 与 M2 之间的距离公式

d =| M 1M 2 |= M 1M 2 =

(x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 )2 + (z2 ? z1 )2

5、向量的数量积 两向量 a 与 b 的数量积定义为数|a| |b| cosθ , 记作 a · b= |a| |b| cosθ 其中θ为向量 a,b 的夹角。 当向量 a≠0 时, a · b= |a| Prjab 当向量 b≠0 时, a · b= |b| Prjba 向量数量积的运算律 (1)交换律 a·b = b·a ; (2 )分配律 (a+b)·c =a·c + b·c ; (3 )结合律 (λa)·b =  (a·b) = a·(λb), 其中λ 为数. 2 个重要结论 (1)a · a = |a|2; (2) a⊥b 的充分必要条件是 a · b = 0。 数量积的坐标表示式:设向量 a = (x1 , y1 , z1) , b = (x2 , y2 , z2) , 则 a · b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。 可以利用向量坐标计算向量的夹角 设 a≠0 , b≠0 , 由数量积定义,有

cos θ =

a ?b = | a || b |

x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2
2 2 2 x12 + y12 + z12 x2 + y2 + z2

6、向量的向量积 两向量 a 与 b 的向量积 a×b 是一个向量, 满足 (1)模 (2) a×b 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面,且 a、 b、a×b 符合右手规则。 向量积模的几何意义:以 a、b 为邻边的平行四边形面积。 向量的向量积运算律 (1) a × b = - b × a (2)分配律:(a + b ) × c = a × c +b × c c × (a + b ) = c × a + c × b (3)结合律:( λa )×b=a×( λb )=λ?(a×b) 两个重要结论: (1) a × a = 0 (2) a // b ? a × b = 0 向量积的坐标表示式 设向量 a = (x1 , y1 , z1) , b = (x2 , y2 , z2) , 则

a × b = ( y1 z2 ? z1 y2 )e1 + (z1 x2 ? x1 z2 )e2 + ( x1 y2 ? y1 x2 )e3 = x1 x2

e1

e2 y1 y2

e3 z1 z2

7、向量的混合积 数(a×b) · c 为三向量 a , b , c 的混合积,记作(a , b , c ). 混合积绝对值的几何意义:以向量 a , b , c 为邻边的平行六面体的体积。 向量混合积的运算律: 对调相邻因子,混合积变号,可通过混合积的坐标表示式理解、证明。即 (a×b) · c = - (b×a) · c = - (a×c) · b= (b×c) · a = (c×a) · b = - (c×b) · a 混合积的坐标表示式 设向量 a = (x1 , y1 , z1) , b = (x2 , y2 , z2) , c = (x3 , y3 , z3) ,则

x1 ( a , b , c ) = x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

一个重要结论:三向量 a , b , c 共面 ? (a × b) ? c = 0

8、平面的方程 平面的点法式方程:法向量 n = (A , B , C),设π上点 M0(x0 , y0 , z0),则

A( x ? x0 ) + B( y ? y0 ) + C ( z ? z0 ) = 0
平面的一般方程:平面方程是一个三元一次方程,其中 A , B , C 不全为零。

Ax + By + Cz + D = 0
任何一个三元一次方程,只要一次项系数不全为零,它的图形就是一个平面。 平面的截距式方程: 设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点,三交点分别为 P (a , 0 , 0)、Q(0 , b , 0)、R(0 , 0 , c),其中 a 、b 、c 均不为零,称为平面在三坐标轴上的截距。则

x y z + + =1 a b c
9、平面的位置 设平面的一般方程为 Ax + By + Cz + D=0 (1)A≠0,B≠0,C≠0,D≠0: 平面不过原点,在 x 轴、y 轴、z 轴、上的截距分 别为-D/A、-D/B、-D/C; (2) A≠0,B≠0, C≠0,D = 0:平面过原点; (3)A、B、C 中有一个为零 A = 0,平面方程为 By +Cz +D=0,平面平行于 x 轴; B = 0,平面方程为 Ax+Cz+D = 0,平面平行于 y 轴; C = 0,平面方程为 Ax+By+D = 0,平面平行于 z 轴; (4) A、B、C 中有两个为零 A = 0, B = 0 , 平面方程为 Cz+D = 0,平面与 z 轴垂直; B = 0, C = 0 , 平面方程为 Ax+D = 0,平面与 x 轴垂直; A = 0, C = 0 , 平面方程为 By+D = 0,平面与 y 轴垂直; (5) z = 0,xoy 平面; x = 0,yoz 平面; y = 0,xoz 平面。 10、点到平面的距离 点 P0(x0 , y0 , z0)到平面π :Ax+By+Cz +D=0 的距离:

d =

Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2

11、两平面间的位置关系 π1: A1x+B1y+C1z +D1=0 法向量:n1=(A1, B1, C1 ) π2 : A2x+B2y+C2z+D2=0 法向量:n2=(A2, B2, C2 ) (1)两平面的夹角 两平面的法向量之间的夹角 (锐角) 两平面间夹角的公式

cos θ = cos ∠(n1 , n2 ) =
=
(2)特殊关系的判别 ? 平行(但不重合) ?

n1 ? n2 n1 n2

A1 A2 + B1 B2 + C1C 2
2 2 2 + B2 + C2 A12 + B12 + C12 A2

A1 B1 C1 D1 = = ≠ A2 B2 C2 D2

Ⅱ 重合 ?

A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2

Ⅲ 垂直 ? A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 12、空间直线的方程 空间直线的参数方程直线 L 过点 M0(x0 , y0 , z0),且与非零向量 v=(l,m,n)平行。

空间直线的标准方程:由参数方程消去 t ,得到直线的标准方程(或对称式方程)

x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = l m n
其中方向向量 v = (l , m , n) , l、m、 n 不全为零。凡与 l , m , n 成比例的任何一组数都称 为直线的一组方向数。 如果 l、m、 n 某一个或两个可以为零 ,比如 l = 0 ,约定 x - x0 = 0。直线的标准方 程为

? x ? x0 = 0 ? ? y ? y0 = z ? z0 ? ? m n
空间直线的一般方程:两个相交的平面确定一条直线,因此直线的一般方程为

? A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ? ?A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
其中 n1 = (A1 , B1 , C1) 与 n2 = (A2 , B2 , C2) 不平行。 13、空间两直线间的位置关系 已知过点 M1(x1 , y1 , z1)与 M2(x2 , y2 , z2) 的直线

L1 :

x ? x1 y ? y1 z ? z1 = = , L2 : l1 m1 n1

x ? x2 y ? y 2 z ? z 2 = = , l2 m2 n2

方向向量: v1 = (l1 , m1 , n1 ), v2 = (l2 , m2 , n2 )。 两直线的夹角 两条直线 L1 与 L2 的方向向量 v1 与 v2 的夹角? 称为这两条直线的夹角:

cos ? =
两直线 L1 与 L2 的位置关系

v1 ? v2 l1l2 + m1m2 + n1n2 = 2 2 2 | v1 || v2 | l12 + m12 + n12 l2 + m2 + n2

(1) 平行(但不重合) ? ν 1 //ν 2 ,但不平行于 M 1M 2 ; (2) 重合 ? v1 // v2 // M 1M 2 ; (3) 相交 ? (v1 , v 2 , M 1M 2 ) = 0 ,且 v1 不平行于 v2; (4)垂直 ? v1 ? v2 = 0(即l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0) ; (5)异面 ? ( v1 , v 2 , M 1M 2 ) ≠ 0. 14、空间直线与平面间的位置关系 直线 L 的方向向量 v = (l , m , n),平面π 的法向量 n = (A , B , C) 直线与平面的夹角:直线 L 与它在平面π上的投影直线的夹角?,称为直线与平面的夹 角。

sin ? = cos ∠(v, n ) =
直线 L 与平面π 的位置关系

Al + Bm + Cn A + B 2 + C 2 l 2 + m2 + n2
2

(1) 平行(但 L 不在π上) ? v ? n = 0 但 Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0 ; (2) L 在π上 ? v ? n = 0 且 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ; (3) 相交 ? v ? n ≠ 0 ; (4) 垂直 ? v // n ?即 15、平面束 直线 L 的一般方程

? ?

A B C? = = ?. l m n?

? A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 π 1 ? ? A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 π 2
除平面π2 外,通过 L 的平面的全体称为通过直线直线 L 的平面束。方程

A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
称为通过 L 的平面束方程 ,其中λ为某一待定系数。

16、柱面 设已知一空间曲线 C 及一个非零向量 v,那么,平行于 v 且沿 C 移动的直线 L 形成的 轨迹称为柱面;C 称为柱面的准线,动直线 L 称为柱面的母线。 母线平行于坐标轴的柱面方程 ?、 F(x , y ) = 0 准线 C: xOy 平面上的曲线 F(x, y) = 0 母线 L 与 z 轴平行; Ⅱ、G(x , z) = 0 准线 C: xOz 平面上的曲线 G(x, z) = 0 母线 L 与 y 轴平行; Ⅲ、H( y , z) = 0 准线 C: yOz 平面上的曲线 H(y, z) = 0 母线 L 与 x 轴平行。 17、旋转曲面 以一条平面曲线 C 绕平面上一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。定直线称 为旋转曲面的轴,曲线 C 称为旋转曲面的一条母线。 xoy 平面上的曲线 C :F(x,y) = 0 绕 x 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为

F x, ± y 2 + z 2 = 0
xoy 平面上的曲线 C :F(x,y) = 0 绕 y 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为

(

)

F ± x2 + z 2 , y = 0
yOz 平面上的曲线 C :F(y, z) = 0 绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为

(

)

F ± x2 + y2 , z = 0
yOz 平面上的曲线 C:F(y, z) = 0 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为

(

)

F y ,± x 2 + z 2 = 0
xoz 平面上的曲线 C :F(x,z) = 0 绕 x 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为

(

)

F x, ± y 2 + z 2 = 0
xoz 平面上的曲线 C :F(x,z) = 0 绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为

(

)

F ± x2 + y2 , z = 0
18、用研究截痕法二次曲面 用坐标面及平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,通过 截痕形状研究曲面的性状.

(

)

x2 y 2 z 2 + + =1 椭球面: a 2 b 2 c 2 (a > 0, b > 0, c > 0)

单叶双曲面:

x2 y 2 z 2 + ? =1 a2 b2 c2 x2 y 2 z 2 + ? = ?1 a2 b2 c2

双叶双曲面:

x2 y 2 椭圆抛物面 : + = z ( p与q同号) 2 p 2q
双曲抛物面(马鞍面) :

x2 y2 ? = z ( p, q同号) 2 p 2q

19、空间曲线及其方程 空间曲线 C 可看作两个曲面 F(x , y , z) = 0 及 G(x , y , z) = 0 的交线. 空间曲线的一般方程

? F ( x, y , c ) = 0 ? ?G ( x, y, z ) = 0
空间曲线的参数方程

? x = x(t ) ? ? y = y (t ) (a ≤ t ≤ b) ? z = z (t ) ?
20、空间曲线在坐标面上的投影 求解步骤: 空间曲线 C 的一般方程

? F ( x, y , c ) = 0 ? ?G ( x, y, z ) = 0
(1) 投影柱面方程 (消去相应的变量)

H ( x, y ) = 0 或 R ( y , z ) = 0 或 T ( x , z ) = 0
(2) 得投影曲线方程

? H ( x, y ) = 0 ? R( y, z ) = 0 ?T ( x, z ) = 0 或? 或? ? ? z=0 ? x=0 ? y=0

第五章 n 维向量空间 1、n 维向量 n 个数 a1、a2、…、an 组成的有序数组称为 n 维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个分 量,第 i 个数 ai 称为它的第 i 个分量。 设两个 n 维向量 a = (a1,a2,…,an)T 与 b=(b1,b2,…,bn)T ,如果它们对应的分量都相等,即 ai= bi (i= 1, 2, …, n),那么 a 与 b 相等,记作 a = b。 定义零向量 0=(0,0,…,0)T ; 向量 a 的负向量, -a =(-a1,-a2,…,-an)T。 Rn 为由所有 n 维实向量组成的集合,并按下列规则在 Rn 中定义向量的加法与数乘 (统称向量的线性运算) : T 设 a=(a1,a2,…,an) ,b=(b1,b2,…,bn)T ,λ为数,则

a + b = (a1 , a2 , L , an ) + (b1 , b2 , L , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , L , an + bn )
Τ Τ

Τ

λa = λ (a1 , a2 ,L , an )Τ = (λa1 , λa2 ,L , λan )Τ
向量的加法与数乘应满足下列八条运算规律: (1) a + b = b + a ; (2) (a + b) + c = a + (b + c); (3) a + 0 = a ; (4) a +(- a) = 0 ; (5) 1a = a ; (6) λ?( μa ) =μ?(λa) =(λμ)a ; (7) λ (a + b) = λa + λb ; (8) (λ + μ) a = λa + μa 。 其中λ , μ是任意实数,a,b,c 是任意 n 维向量。 称 Rn 对于所定 非空集合 Rn 按我们定义的向量的加法与数乘满足上述的八条运算规律, 义的向量加法与数乘构成一个 n 维向量空间。 2、向量空间及其子空间 设 V 是 Rn 非空子集合,如果集合 V 对于向量加法与数乘两种运算都封闭,那么就称集 合 V 对于 Rn 的向量加法与数乘构成一个向量空间。 所谓集合 V 对于向量加法与数乘运算封闭,是指:如果 a ∈ V,b ∈ V ,那么 a + b ∈ V;如果 a ∈ V,λ∈ R,那么λa ∈ V。 一般地由向量 a1,a2,…,am 所生成 的向量空间为

L(a1 , a 2 ,L , a m ) = {x = λ1a1 + λ2a 2 + L + λma m | λ1 , λ2 , L, λm ∈ R}
设有向量空间 V1 及 V2,如果 V1 ?V2,那么就称 V1 是 V2 的子空间。 3、线性方程组、矩阵、向量组的对应关系 向量组:有限个或无限个同维数列向量(或行向量)所组成的集合称为一个向量组。 一个 m × n 矩阵 A=(aij)有 n 个 m 维列向量

aj=(a1j,a2j,…,amj)T (j=1,2,…,n) 它们组成的向量组 a1、a2、…、an 称为矩阵 A 的列向量组。 一个 m × n 矩阵 B=(bij)有 m 个 n 维行向量 biT=(bi1,ai2,…,ain) (i=1,2,…,m) 它们组成的向量组 b1T、b2T 、…、 bmT 称为矩阵 A 的行向量组。 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 m 个 n 维列向量所组成的向量组 a1、a2、…、am 可以构成一个 n × m 矩阵 A=(a1 a2 … am ) m 个 n 维行向量所组成的向量组 b1T、b2T、…、bmT 可以构成一个 m × n 矩阵
T ? b1 ? ? T? ?b ? B=? 2 ? ? M ? ? bT ? ? m?

把含有 n 个未知量的 m 个方程组成的线性方程组写成矩阵形式 Ax=b,从而线性方程组 可以与它的增广矩阵 B=(A | b)一一对应。这种对应如果看成一个方程对应 B 的一个行向量, 那么方程组就与 B 的行向量组对应。

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ? a11 ? ? a x + a x +L+ a x = b ? 21 1 22 2 ? a21 2n n 2 ――> B = ? ? LLLL M ? ? ?a ? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm ? m1

a12 a22
M

L a1n L a2 n O M

am 2 L amn

b1 ? ? b2 ? M ? ? bm ? ?

方程组与 B 的列向量组 a1、a2、…、an 、 b 之间也有一一对应关系。如果利用分块矩 阵的乘法把线性方程组写成向量形式

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ? a1n ? ? b1 ? ? a12 ? ? a11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a x + a x +L+ a x = b ? 21 1 22 2 ? a2 n ? ? b2 ? ? a22 ? ? a21 ? 2n n 2 ――> x1 ? ? ? + x 2 ? M ? + L + xn ? M ? = ? M ? M L L L L ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ?b ? ?a ? ?a ? ? + + + = a x a x L a x b mn n m ? m1 1 m 2 2 ? mn ? ? m ? ? m2 ? ? m1 ?
x1a1+x2a2+…+xnan=b 那么,当方程组有解时,向量 b 可以由向量组 a1、a2、…、an 通过线性运算得到。 如果向量组中向量间的某种关系可以用向量的线性运算(加法与数乘运算)来表示, 那么这种关系称为向量组的线性关系。 3、向量组的线性组合 a2、 …、 am, 对于任何一组实数 k1、 k2、 …、 km, 向量 k1a1+k2a2+…+kmam 设向量组 A: a1、 称为向量组 A 的一个线性组合, k1、k2、…、km 称为这个线性组合的组合系数。 设向量 b 与向量组 A:a1、a2、…、am,如果存在一组数λ1、λ2、…、λm,使 b = λ1 a1+ λ2 a2 + … + λm am,那么向量 b 是向量组 A 的线性组合,这时称向量 b 能由向量组 A 线性表

示。 向量 b 能由向量组 A 线性表示,也就是方程组 Ax=b 有解。 定理 1 设向量组 A:a1,a2,…,am 与向量 b (a1,a2,…,am , b 都是 n 维向量),记矩阵 A =(a1, a2, …, am) x =(x1, x2, …, xm)T B=(A|b) 那么下列三个命题等价: (1)向量 b 能由向量组 A 线性表示; (2)线性方程组 Ax=b 有解; (3)线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 B 的秩等于其系数矩阵 A 的秩,即 R(A)=R(B)

d1 ? ? c11 c12 L c1r c1,r +1 L c1n ? ? d2 ? ? 0 c22 L c2 r c2,r +1 L c2 n ? M M M M M M? ? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ? ? ? a x + a x +L+ a x = b 0 L crr cr ,r +1 L crn dr ? ? 0 ? 21 1 22 2 2n n 2 ――> ? ? L L L L 0 L 0 0 L 0 d r +1 ? ? ? 0 ? ? ? ? + + + = a x a x L a x b L L 0 0 0 0 0 0 mn n m ? m1 1 m 2 2 ? ? M M M M M? ? M ? 0 0 L 0 0 L 0 0? ? ?
借助于定理 1,我们可以直接使用矩阵的初等变换来判断向量 b 能否由向量组 A: 并且在 b 能由向量组 A 线性表示时求相关的组合系数(即 Ax=b 的解)。 a1,a2,…,am 线性表示, 其具体过程如下: 记 A =(a1, a2, …, am),B = ( A | b ) 对矩阵 B 施行初等行变换,使它变成行阶梯形矩阵 B1 ; 比较 R(A)与 R(B) ,如果 R(A)≠R(B) ,那么向量 b 不能由向量组 A 线性表示; 如果 R(A)=R(B) ,那么向量 b 能由向量组 A 线性表示。 继续对 B1 施行初等行变换使它变成行最简形矩阵 B2。此时,矩阵 B2 的最后一个列向量 能由其余列向量所组成的向量组线性表示,它的组合系数就是向量 b 关于向量组 A 的组合 系数。 设有两个向量组 A:a1,a2,…,am 及 B:b1,b2,…,bs 。如果向量组 B 中的每个向 量都能由向量组 A 线性表示,那么称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。如果向量组 A 与向 量组 B 能相互线性表示,那么称这两个向量组等价。 如果 Cm×n=Am×sBs×n,那么矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示,B 为这 一线性表示的系数矩阵。同时 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示,A 为这一线性表 示的系数矩阵 设矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵 B,那么 B 的每个行向量都是 A 的行向量组的线性 组合,即 B 的行向量组能由 A 的行向量组的线性表示。

由于初等行变换是可逆的,因此矩阵 B 也可以经过初等行变换变成 A,从而 A 的行向 量组也能由 B 的行向量组线性表示。于是 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。 类似地,如果矩阵 A 经初等列变换变成 B,那么 A 的列向量组与 B 的列向量组等价。 4、向量组的线性相关性 设 n 维向量组 a1, a2, …, am,如果存在一组不全为零的数 k1, k2, …, km,使得向量等式 k1 a1 + k2 a2 +… km am =0 成立,那么称向量组 a1, a2, …, am 线性相关;否则称向量组 a1, a2, …, am 线性无关,即如果 由上述向量等式成立可以推导出 k1= k2 = … = km=0,那么称向量组 a1, a2, …, am 线性无关。 定理 2 设 n 维向量组 a1, a2, …, am,记矩阵 A=(a1, a2, …, am) ,x=(x1,x2,…,xm)T,那么 下列三个命题等价: (1) 向量组 a1, a2, …, am 线性相关; (2) 齐次线性方程组 Ax=0 有非零解; (3) R(A)<m,即矩阵 A 的秩小于向量组所含向量的个数 m。 等价地,下列三个命题等价: (1) 向量组 a1, a2, …, am 线性无关; (2) 齐次线性方程组 Ax=0 只有零解; (3) R(A) = m,即矩阵 A 的秩等于向量组所含向量的个数 m。

? a11 ? ? a12 ? ? a1n ? ? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 ? ? ? ? ? ? ? a x + a x +L+ a x = 0 ? 21 1 ? a21 ? ? a22 ? ? a2 n ? 22 2 2n n ――> x1 ? + x2 ? + L + xn ? =0 ? M ? M ? M ? LLLL ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? + + + = 0 a x a x L a x m2 2 mn n ? m1 ? ? m2 ? ? mn ? ? m1 1

? c11 c12 L c1r c1, r +1 L c1n ? ? 0 c22 L c2 r c2, r +1 L c2 n ? M M M M M ? 0 L crr cr , r +1 L crn ? 0 ――> ? 0 L 0 0 L 0 ? 0 ? 0 0 L 0 0 L 0 ? M M M M ? M ? 0 0 L 0 0 L 0 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

推论 1 设 n 个维向量组 a1, a2, …, an, A=(a1, a2, …, an) ,那么下列三个命题等价: ; (1)向量组 a1, a2, …, an 线性相关(无关) (2)齐次线性方程组有非零解(只有零解); (3)detA=0(detA≠0) 推论 2 设 n 维向量组维向量组 a1, a2, …, am, m>n ,即向量组所含向量个数大于向 量的维数,那么 a1, a2, …, am 一定线性相关。 定理 3 如果向量组 A:a1, a2, …, am 线性相关,那么向量组 B:a1, a2, …, am , am+1 也 线性相关。等价地,如果向量组 B 线性无关,则向量组 A 也线性无关。

如果一个向量组有线性相关的部分组,那么该向量组线性相关。特别地,含零向量的向 量组一定线性相关。等价地,如果一个向量组线性无关,那么它的任意部分组都线性无关。

定理 4

? a1 j ? ? ? ? a1 j ? ? ? ? a2 j ? ? a2 j ? ? ( j = 1,2, L , m) ,即向量 a 在相同位置上都添 设a j = ? ,b j = ?M j ? ? ? M ? ? ? arj ? ?a ? ? ? ? rj ? ? ar +1, j ?

上一个分量后得向量 bj;如果向量组 A:a1, a2, …, am 线性无关,那么向量组 B:b1, b2, …, bm 也线性无关;等价地,如果向量组 B 线性相关,则向量组 A 也线性相关。 定理 5 设向量组 A:a1, a2, …, am 线性无关,而向量组 B :a1, a2, …, am , b 线性相关, 那么向量 b 一定能由向量组 A 线性表示,而且表示式是唯一的。 定理 6 向量组 a1, a2, …, am(m≥2)线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一 个向量能由其余 m-1 个向量线性表示。 5、向量组的秩与极大无关组 引理 设矩阵 A = ( a1, a2, …, am ), R(A)= r,向量组 A1 是向量组 A : a1, a2, …, am 的 且向量组 A 的任意 S+1 个向量线性相关, 部分组且包含 S 个向量。 如果向量组 A1 线性无关, 那么 S = r。 设向量组 A 的一个包含 r 个向量的部分组 A0 : a1, a2, …, ar,满足 (1)向量组 A0 线性无关; (2)向量组 A 中任意 r+1 个向量(如果 A 中有 r+1 个向量的话)组成的向量组都线性 相关。 ;极大无关组 那么向量组 A0 称为向量组 A 的一个极大线性无关向量组(简称极大无关组) 所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩。 矩阵 A 的列向量组的秩称为 A 的列秩,它的行向量组的秩称为 A 的行秩。 定理 8 矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)列向量之间的线性关系;矩阵的初 等列变换不改变(部分或全部)行向量之间的线性关系。 6、向量组极大无关组的性质 向量组 A 与它的极大无关组 A0 : a1, a2, …, ar 是等价的。 定理 9 设向量组 a1, a2, …, ar 能由向量组 b1, b2, …, bs 线性表示。如果 r > s,那么向 量组 a1, a2, …, ar 线性相关;或者等价地,如果向量组 a1, a2, …, ar 线性无关,那么 r ≤ s。 (即 r 个向量表示出的 r+1 个向量一定线性相关) 推论 1 设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩为 r2。如果向量组 A 能由向量组 B 线性表示,

那么 r1≤ r2。从而,等价的向量组一定有相同的秩。 推论 2 (极大无关组的等价定义) 设向量组 B 是向量组 A 的部分向量组。如果向 量组 B 线性无关,且向量组 A 能由向量组 B 线性表示,那么向量组 B 是向量组 A 的 一个极大无关组。 设 Cm×n=Am×sBs×n,那么 R( C )≤R( A ), R( C )≤R( B ) 7、向量空间的基、维数 设 V 为向量空间。如果 V 的向量组 a1,a2,…,ar 满足 (1) a1,a2,…,ar 线性无关; (2) V 中任一向量都能由 a1,a2,…,ar 线性表示。那么向量组 a1,a2,…,ar 称为向量空 间 V 的一个基,r 称为向量空间 V 的维数,记作 r = dimV,并称 V 为 r 维向量空间。 设 a1,a2,…,ar 是向量组 V 的一个基,根据定义 8 及§2 定理 5 可知,V 的任一向量 a 能 由 a1,a2,…,ar 线性表示,并且表示式唯一,即有 a =x1a1+ x2a2+… + xrar 上式称为 a 在基 a1,a2,…,ar 下的坐标表示式; (x1, x2,… , xr)称为 a 在基 a1,a2,…,ar 下 的坐标。 此时 V 可以表示为 V =L(a1,a2,…,ar ) ={x= λ1a1 + λ2a2 +… + λrar | λ1, λ2 , …λr ∈R} 8、齐次线性方程组解的结构

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 ? a x + a x +L+ a x = 0 ? 21 1 22 2 2n n ――> ? LLLL ? ? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0
其中 A=( aij )m×n,x=( x1,x2, …, xn )T

Ax=0

矩阵方程的解向量的性质: 性质 1 如果 x=ξ1,x=ξ2 为矩阵方程的解向量,那么 x=ξ1 +ξ2 也是矩阵方程的解向量。 性质 2 如果 x = ξ?为矩阵方程的解向量,k 为实数,那么 x = k ξ?也是矩阵方程的解向 量。 如果用 S 表示矩阵方程 A x =0 的全体解向量所组成的集合,那么性质 1 及性质 2 就是 (1) 如果ξ1∈S ,ξ2∈S ,那么ξ1+ξ2∈S ; (2) 如果ξ∈ S ,k∈ R ,那么 k ξ∈ S 。 这就说明集合 S 对向量的线性运算是封闭的,所以集合 S 是一个向量空间,称为 齐次线性方程组或矩阵方程的解空间。 求解空间 S 的一个基的方法。 (下述过程提供的求齐次线性方程组基础解系的方法,实 际上就是第二章中用矩阵初等行变换求方程组的通解的过程。 )

?1 ? ? ? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 ?0 ? a x + a x +L+ a x = 0 ? ? 21 1 22 2 2n n --> C = ? ? LLLL ?0 ? ? ? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0 ? ? ?0

L 0 c11 L L 1 cr 1 L L L L 0 0 L L 0 0

L c1,n ? r ? ? L ? L cr , n ? r ? ? L ? 0 ? ? ? L ? 0 ?

? x1 = ?c11 xr +1 ? L ? c1,n ? r xn ? --> ? LLL ? x = ?c x ? L ? c r 1 r +1 r ,n?r x n ? r
? xr +1 ? ? 1 ? ? 0 ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xr + 2 ? ? 0 ? ? 1 ? ?0? = 对应的 x1, … , xr 分别为 令 xr+1 , … , xn 取下列 n - r 组数:? L , , , ? M?, M ? ?M? ?M? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? x ? ? 0? ? 0? ? ? ? n ? ? ? ? ?

? ? c1,n ? r ? ? x1 ? ? ? c11 ? ? ? c12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? M ? = ? M ? , ? M ? , L , ? M ?。 ?? c ? ? x ? ?? c ? ?? c ? ? r ? ? r1 ? ? r 2 ? ? r ,n?r ?
从而求得齐次线性方程组 Ax=0 的 n – r 个解向量

? ? c11 ? ? ? c12 ? ? ? c1,n ? r ? ? ? ? ? ? ? ? M ? ? M ? ? M ? ?? c ? ?? c ? ?? c ? ? r1 ? ? r2 ? ? r ,n?r ? ξ1 = ? 1 ? , ξ 2 = ? 0 ? , L , ξ n ? r = ? 0 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? M ? ? M ? ? M ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ?
向量组ξ1,ξ2 ,…, ξn-r 就是齐次线性方程组的解空间 S 的一个基。从而知解空间 S 的 维数 dim S = n-r 。 当 R(A )= r = n 时,齐次线性方程组只有零解,解空间 S 只含一个零向量。 定理 11 设 A 是 m×n 矩阵, 齐次线性方程 Ax = 0 全体解向量所组成的集合 S 是一个 向量空间,当系数矩阵 A 的秩 R(A)=r 时,解空间 S 的维数是 n – r。 齐次线性方程组解空间 S 的一个基又称为方程组 A x = 0 的一个基础解系。 当 R( A ) = r = n 时,齐次线性方程组只有零解,因此没有基础解系; 当 R( A ) = r < n 时,齐次线性方程组一定有含有 n – r 个解向量的基础解系;那么齐次 线性方程组的解可以表示为

x = k1ξ1 + k 2ξ 2 + L + k n ? r ξ n ? r
其中 k1,k2,…,kn-r 为任意数。 上式称为齐次线性方程组的通解。此时,解空间 S 可以表示为

S = {x = k1ξ1 + L + k n ? r ξ n ? r | k1 ,L, k n ? r ∈ R
9、非齐次线性方程组解的结构

}

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ? a x + a x +L+ a x = b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? L L L L ? ? ?am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
A=(aij)m×n, x=(x1,x2,…,xn)T, b=(b1,b2,…,bm)T, 那么上述非齐次线性方程组可以写成矩阵方程 Ax=b 此时,齐次线性方程 Ax=0 称为非齐次线性方程组对应的(或导出的)齐次线性方程组。 记 性质 3 设 x=η1 及 x=η2 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解向量, 那么 x=η1 - η2 为对应 的齐次线性方程组 Ax=0 的解向量。 性质 4 设 x=η 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解向量, x=ξ 是非齐次线性方程组对应 的齐次线性方程组 Ax=0 的解向量,那么 x=η+ξ 是非齐次线性方程 Ax=b 的解向量。 如果已经求得非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解η0,又求得对应的齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系 ξ1,ξ2 ,…, ξn-r 那么根据性质 3 及性质 4 不难证明,非齐次线性方 程 Ax=b 的通解为

x = η0 + k1ξ1 + L + kn ? r ξ n ? r

第六章 特征值与特征向量 1、特征值与特征向量的概念及性质 设 A 是 n 阶矩阵,如果存在数 和 n 维非零列向量 x,使得 Ax= λx 那么数 λ称为矩阵 A 的特征值,非零列向量 x 称为矩阵 A 的属于特征值 λ的特征向量。 特征向量与特征值的概念相关联, 不同的特征值对应的特征向量不同, 且特征向量一定 是非零列向量。 性质 1 x 是矩阵 A 的属于特征值λ的特征向量,对于任意的非零常数 k ,则 k x 也是 矩阵 A 的属于特征值 λ的特征向量。 那么当 x1+x2≠0 时, x1+x2 也 性质 2 设 x1, x2 都是矩阵 A 的属于特征值 λ的特征向量, 是矩阵 A 的属于特征值 λ的特征向量。 从而 矩阵 A 的属于同一特征值 λ的有限个特征向量 x1, x2, … , xl 的任意一个非零线性组合 x = k1x1 +k2x2 +… +klxl 也是矩阵 A 的属于特征值 λ的特征向量。 定理 6.1 设λ1,λ2,…,λm 是 n 阶矩阵 A 的 m 个互不相同的特征值,x1, x2,…, xm 分别是 A 的属于 λ1,λ2,…,λm 的特征向量,那么向量组 x1, x2,…, xm 线性无关。 2、特征值与特征向量的计算 根据特征值与特征向量的概念: Ax= λx。可得 ( λ?I - A ) x = 0

从而

? λ ? a11 ? a12 L ? a1n ?? x1 ? ?? ? ? ? ? a21 λ ? a22 L ? a2 n ?? x2 ? =0 ? M M M M ?? M ? ?? ? ? ? ? ? ?a ? an 2 L λ ? ann ? n1 ?? xn ? ?
由特征值与特征向量定义知,上述齐次线性方程组有非零解(特征向量 x 非零) ,即

λ ? a11 λI ? A =
? a21 ? an1 M

? a12 L ? a22 L M M

? a1n ? a2 n M

=0

? an 2 L λ ? ann

|λI-A| 的展开式是一个关于 λ的 n 次多项式,称为矩阵 A 的特征多项式,上述行列式方 程称为矩阵 A 的特征方程.显然, λ是矩阵 A 的特征值的充分必要条件是 |λI-A|=0。所以 由方程 |λI-A|= 0 求出的它的全部根(称为 A 的特征根) ,就是矩阵 A 的全部特征值。 n 阶矩阵的 n 个特征值之和等于矩阵的主对角线上元素之和; 矩阵的 n 个特征值之积等于矩阵的行列式的值。 对于每一个特征值λ, 矩阵 A 的属于特征值 λ的特征向量 x 是下面方程组的非零解向量。

? λ ? a11 ? a12 L ? a1n ?? x1 ? ?? ? ? ? ? a21 λ ? a22 L ? a2 n ?? x2 ? =0 ? M M M M ?? M ? ?? ? ? ?? x ? ? ?a a L λ a ? ? 1 2 n n nn ?? n ? ?
求 n 阶矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤是: 第一步:求 A 的全部特征值,即求特征方程 | I-A|=0 的全部根; 第二步:求 A 的特征向量。 对于每一个特征值λi,求出齐次线性方程组( λ?I - A ) x = 0 的一个基础解系ξ1,ξ2 ,…, ξs,那么 x = k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs 就是 A 的属于λi 的全部特征向量,其中 k1 , k2 , … , ks 为不全 为零的任意数。 3、矩阵相似的概念与性质 设 A、B 都是 n 阶矩阵,如果存在 n 阶可逆矩阵 C,使 C-1AC=B,那么称矩阵 A 与矩 阵 B 相似。可逆矩阵 C 称为相似变换矩阵。 性质 1 相似矩阵的行列式相等。 性质 2 如果两个可逆的矩阵相似,那么它们的逆矩阵也相似。 性质 3 设 A 与 B 相似,那么 kA 与 kB 相似,Am 与 Bm 相似(其中 k 为任意数, m 为任意的正整数) 。 性质 4 设 A 与 B 相似,f ( x )为一多项式,则 f (A)与 f (B)相似。 性质 5 相似矩阵具有相同的特征多项式,因而具有相同的特征值。 4、矩阵的相似对角化 定理 6.2 n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量。 如果矩阵 A 可对角化 (1)对角矩阵对角线上得元素为矩阵 A 的特征值λ1 , λ2 ,… , λn ; (2) 对角化相似变换矩阵 C 的列向量就是矩阵 A 的特征值对应的特征向量 x1,x2,…,xn 。 这里需要注意 λ1 , λ2 ,… , λn 的顺序与 x1,x2,…,xn 的顺序的对应关系。 推论 成立。 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值,那么 A 一定可对角化;反之不一定

第七章

向量空间的正交性

1、向量的内积及其性质 那么实数(a ,b) = a1b1 定义 7.1 设有两个 n 维实向量 a = (a1,a2,…,an)T,b = (b1,b2,…,bn)T, T +a2b2 + … +anbn = a b 称为向量 a 与 b 的内积。 根据定义容易证明向量的内积满足下列运算规律: (1)(a , b) = (b , a); (2) (a + b, c) = (a , c) + (b , c); (3)(ka , b) = k (a , b) ; (4)对任意向量 a , (a , a)≥0;当且仅当 a = 0 时等号成立。 其中:a, b, c 为任意的 n 维实向量,k 为实数。

定义 7.2 定义 7.3

非负实数

(a, a ) 称为 n 维向量 a 的长度,记为| a |。

θ = arccos

(a, b )
| a || b |

称为非零向量 a 与 b 间的夹角;如果θ=π? / 2,那么 a 与

b 正交,规定零向量与任意向量正交。 2、向量的正交性 如果非零向量组 a1,a2,…,am 两两正交,那么向量组 a1,a2,…,am 称为正交向量组。特别 地,如果 a1,a2,…,am 全为单位向量那么正交向量组 a1,a2,…,am 称为标准正交向量组。 定理 7.1 设 a1,a2,…,am 是一个正交向量组,那么向量组 a1,a2,…,am 一定线性无关。

在维数为 r 的向量空间 V 中,如果 a1,a2,…,ar 是正交向量组,那么由定理 7.1 知, a1,a2,…,ar 一定为线性无关向向量组.因此, a1,a2,…,ar 构成 V 的一个基,称为 V 的一个正 那么它称为 V 的一个标准正交基 (或规范正交基) 。 交基。 如果 a1,a2,…,ar 为标准正交向量组, 3、施密特正交化过程 把 V 的基 a1,a2,…,ar 规范正交化的过程: (1)取 b1=a1 (2)设 b2=a2 +kb1 其中待定系数 k 由(b2 , b1)=0 确定,k = ?

(a 2 , b1 ) 。此时向量组 b1 , b2 正交且 (b1 , b1 )

与向量组 a1 , a2 等价。 (3)重复这种过程,最后设 br=ar +k1b1 + k2b2 +… kr-1br-1 其中待定系数 k1 , k2 , … , kr-1 由(br , b1)=0, (br , b2)=0, … , (br , br-1)=0 确定。

ki = ?

(bi , a r ) (b i , bi )

这样可以得到正交向量组 b1,b2,…, br,容易验证 b1,b2,…, br 与 a1,a2,…,ar 等价。

(4)再把 b1,b2,…, br 单位化。 4、正交矩阵 设 A 是 n 阶实矩阵,如果满足 ATA=AAT=I ,那么 A 称为正交矩阵。 对正交有矩阵 A 有;A-1 =AT 。 定理 7.2 n 阶实矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件为 A 的列向量组或行向量组为 标准正交向量组。 性质 1 性质 2 性质 3 如果 A 为正交矩阵,那么 detA=±1; 如果 A 为正交矩阵,那么 A-1、AT 都是正交矩阵; 如果 A、B 是同阶的正交矩阵,那么 AB、BA 也是正交矩阵。

5、实对称矩阵的特征值与特征向量 定理 7.3 实对称矩阵的特征值一定是实数。 定理 7.4 定理 7.5 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是正交的。 设 A 为 n 阶实对称矩阵,那么一定存在 n 阶正交矩阵 C,使得

? ? λ1 ? ? λ2 ? ? ?1 Τ C AC = C AC = ? ? O ? ? ? ? λ n? ?
其中 λ1, λ2,…, λn 是 A 的 n 个特征值。 正交矩阵 C 的列向量 e1,e2,…, en 是 A 的两两正交的单位特征向量。 (1) 由特征方程 |λI-A|= 0,求出 A 的全部特征值; (2) 设求出 A 的每个特征值为对应的特征向量,并单位化。特别注意的是,如果某特 征值为重根,则求出其对应的特征向量方程基础解系后,施行施密特正交化。从而得到 n 个两两正交的特征向量。 (3) 以这 n 个向量为列构作矩阵 C 即为所求的正交矩阵。

第八章

二次型

1、二次型的概念 含有 n 个变量 x1,x2,…, xn 的二次齐次多项式

f ( x1 , x2 ,L, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + L + 2a1n x1 xn +
2 a22 x2 + 2a23 x2 x3 + L + 2a2n x2 xn +

KKKKKKK
2 an ?1, n ?1 xn ?1 + 2an ?1, n xn ?1 xn + 2 ann xn

称为一个 n 元二次型。 取 aij = aji,那么 2aijxixj= aijxixj + ajixjxi 二次型写成

f ( x1 , x2 ,L, xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + L + a1n x1 xn +
2 a21 x2 x1 + a22 x2 + a23 x2 x3 + L + a2 n x2 xn +

LLLL
2 an1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + an 3 xn x3 + ann xn



? n ? ? ∑ a1 j x j ? ? j =1 ? ? a11 a12 L a1n ?? x1 ? ?? ? ? ? n ? a a a L ?? x2 ? ? a x 21 22 2 n 2 j j ? = ( x , x , L, x ) = xT Ax f ( x1 , x2 ,L, xn ) = ( x1 , x2 ,L, xn )? ∑ 1 2 n ? ? ? ? = 1 j ? ? M M M M ?? ? ? M ? ? ? ? ? ? ? an1 an 2 L ann ?? xn ? ? n ? ? ∑ anj x j ? ? j =1 ?
任给一个二次型,就唯一地确定一个对称阵;反之,任给一个对称矩阵 ,也可唯一地 确定一个二次型。这样,二次型与对称矩阵之间就存在一一对应的关系。因此,上式中的对 称矩阵 A 称为二次型 f (x1,x2,…,xn)的矩阵, f (x1,x2,…,xn)称为称为对称矩阵 A 的二次型。对 称矩阵 A 的秩称为二次型 f (x1,x2,…,xn)的秩。 2、二次型的标准形 形如 f ( x1 , x2 , L , xn ) = k1 x1 + k 2 x2 + L + k n xn 的二次型称为二次型的标准形(或法式)。
2 2 2

设由变量 x1,x2,…,xn 到变量 y1,y2,…,yn 的一个线性变换为

? x1 = c11 y1 + c12 y2 + L + c1n yn ?x = c y + c y + L + c y ? 2 21 1 22 2 2n n ? M ? ? ? xn = cn1 y1 + cn 2 y2 + L + cnn yn

? c11 c12 L c1n ? ? y1 ? ? x1 ? ? ? ? ? ? ? ? c21 c22 L c2 n ? ? y2 ? ? x2 ? 令 x = ? ? ,y = ? ? , ,上述线性变换可以写成 C =? M M M ? M M ? ? ? ? ? ? ? ?c ?y ? ?x ? c L c n n n 1 n 2 nn ? ? ? ? ? ?
x=Cy 当 C 为满秩矩阵时,变换 x = Cy 称为满秩线性变换;当 C 为正交矩阵时,变换 x = C y 称为正交变换。 任意实二次型 f (x1,x2,…,xn) 经过满秩线性变换 x = C y 后仍是一个二次型,并且它的 秩不改变。 对于两个 n 阶矩阵 A 与 B,如果存在 n 阶可逆矩阵 C,使得 B=CTAC,那么称矩阵 A 与矩阵 B 合同。 任给实二次型 f = xTAx ,总有正交变换 x = C y,使 f
2 2 f = λ1 y12 + λ2 y2 + L + λn y n

化为标准形

其中λ1, λ2,…, λn 是 f 的矩阵 A 的 n 个特征值。 采用实对称矩阵相似对角化方法化二次型为标准型。 3、正定二次型的概念及判定 二次型的标准形不是唯一的, 但是在标准形中所含的非零项的个数是确定的。 如果限制 变换为实满秩线性变换,那么标准形中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数也不变)。 设有实二次型 f z ,得 它的秩为 r, 分别作两个实的满秩线性变换 x =C1 y 与 x =C2 = xTAx ,
2 f = k1 y12 + k 2 y2 + L + k r yr2 (ki ≠ 0) 2 f = l1 z12 + l2 z2 + L + lr zr2 (li ≠ 0)

那么 k1,k2,…,kr 中正数的个数与 l1,l2,…,lr 中正数的个数相等。 设有实二次型 f (x1, x2, … , xn ) = xTA x , 如果对于任意一组不全为零的实数 x1 = c1 , x2 = c2 ,…, xn = cn ,都有 f (c1, c2, … , cn ) >0,那么 f (x1, x2, … , xn )称为正定二次型 ,它的矩阵 A 称为正定矩阵;如果对于任意一组不全为零的实数 x1 = c1 , x2 = c2 ,…, xn = cn ,都有 f (c1, c2, … , cn ) <0,那么 f (x1, x2, … , xn )称为负定二次型,它的矩阵称为负定矩阵。 实二次型 f (x1, x2, … , xn ) = xTA x 为正定的必要条件是 aii>0 A=(aij)。 (i=1,2,…,n) , 其中

实二次型 f (x1, x2, … , xn ) = xTA x 为正定的充分必要条件是它的标准型中 n 个系数全 为正。

实二次型 f (x1, x2, … , xn ) = xTA x 为正定的充分必要条件是它的矩阵的特征值全为正。 设 A=(aij)为 n 阶矩阵,那么位于 A 的左上角的主子式

di =

a11 a21 M ai1

a12 L a1i a22 L a2i M M ai 2 L aii

称为矩阵 A 的 i 阶顺序主子式。 实二次型 f = xTA x 为正定的充分必要条件是 f 的矩阵 A 的各阶顺序主子式全为正; f 为负定的充分必要条件是矩阵 A 的奇数阶顺序主子式全为负, 而偶数阶顺序主子式全为正。


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